第四章《数列》章末综合复习检测（解析版）

数列章末综合复习检测

一、单选题

1.数列的通项公式可能是。”=()

A(-1尸口(-ir'

2〃+33〃+2

「(-ir口(-ir

3〃+22〃+3

2.在等差数列｛〃”)中，0o=18,s=2,则公差d=()

A.-1B.2C.4D.6

3.设S.是数列｛q｝的前〃项和，若"=3S.g=4,则“()

A.2x3。1tB.4x3"C.2x3为D.4x39s

4.已知数列｛q｝满足10gMT=log2a.+i(〃wN),若4+/+%+..…+/“”=2”.则

1%.）的值是（）

A.2//+1B.2n-\C.n+1D.n-\

/』+高小产’则右的表达式为，）

5.在数列｛%｝中,q=1,

2n-1n-\c3〃+2

A.----B.D.-----

nnn+\

1

6.已知数列｛〃“｝为正项等比数列，且满足=9q,,020=2%>i9+3%oi8，则----+-

m+2n

的最小值为（）

A。ID

B-7-I

7.我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫

天干地支.天干有十个，就是甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、王、癸，地支有十二个，依次

是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅……的顺

序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子.我国古人用这六十对干

支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法，今年（2021

年）是辛丑年，则百年后的2121年是（）年.

A.丙午B.丁巳C,辛巳D.辛午

8.设数列伍/满足=%+嘉（〃wN）,记北二（1一4）（1一生）（1则

使4<（）成立的最小正整数〃是（)

A.2020B.2021C.2022D.2023

二、多选题

9.等差数列｛《,｝的前〃项和为S”，«.<0,S6=513,则（)

A.%=（）B.

C.当2>。时，〃的最小值为2（）D.S2Vs6

10.己知等比数列｛凡｝的前几项和S,,=2"+i+皿〃?eR）,则（）

A.m=-\B.等比数列｛《,｝的公比为2

C.勺=2"D.4；+肉+…+端=1^11

11.提丢斯・波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年

由德国的一位中学老师戴维斯，提丢斯发现的，后来板柏林天文台的台长波得归纳成一

条定律，即数列｛4｝：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,1。，19.6,…表示的是太阳系第〃

颗行星与太阳的平均距离（以天文单位A.U.为单位）.现将数列｛6｝的各项乘以10后再

减4得数列｛2｝,可以发现出｝从第3项起，每一项是前一项的2倍，则下列说法正确

的是（）

A.数列出｝的通项公式为"=3X2TB.数列㈤｝的第2021项为（UXZ202、。4

C.数列｛4｝的前〃项和S.=0.4〃+0.3x2i-0.3D.数列｛，也.｝的前〃项和

7；=3（〃-1）2'川

12.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似

性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花

曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形,

并擦去中间一段，得图2,如此继续下去，得图（3）…记｛%｝为第〃个图形的边长，记

｛4｝为第〃个图形的周长，5“为｛%｝的前〃项和，则下列说法正确的是（）

试卷第2页，共4页

C.若，、"，为也｝中的不同两项，且以。=”也，则上+4最小值是1D.若

mn

\A

2K2s“一不石〃恒成立，则％的最小值为:

第口卷（非选择题）

三、填空题

13.已知等比数列｛q｝的各项均为正数，若%%+2%仆+短=16,则%+%=

14.已知数列｛〃”｝是等差数列，数列出｝是等比数列，其前〃项和分别为S“，Tn.若出=仄，

口,且冷=5,则$=_________________.

74*/2%+4

15.在正整数数列中，i1开始依次按如下规则取到的项：

第一次取1;第一次1

第二次取2个连续的偶数2,4；第二次24

第三次取3个连续的奇数5,7,9；第三次579

第四次取4个连续的偶数10,12,14,16,……第四次10121416

按此规律一直取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,...»则

在这个子数列中，第2020个数是___________.

16.已知数列｛%｝的各项都是正数，=%（"N）.若数列｛4｝各项单调递增,

则首项外的取值范围是___________;当4=3时,记"=若

3cin-\

Zv4+伉+'•+b2021Vk+1,则整数攵=.

四、解答题

17.已知数列｛q｝的前〃项和为3，«,=1,%>0,S：=a-,其中4为常数.

（1）求证：Se=2S,+/l.

（2）是否存在实数％,使得数列｛&｝为等比数列？若存在，求出义的值；若不存在，

说明理由.

18.数列包｝中4=8,%=2,且满足62-2q“1+a“=0（/?wN*）.

（1）求数列｛〃.｝的通项公式；

（2）设%=同+|&|+L+网）|,求S”.

19.已知数列｛〃“｝的前"项和为S"，％=3,（〃-1电=电_]+〃2-〃（〃..2,〃£河）.

（I）求数列｛〃“｝的前，项和为S.：

（II）求数列｛q｝的通项公式；

（III）令4吟,求数列出｝的前〃项和心

20.已知数列｛〃”｝的前〃项和为5“必=3,在①凡+L2S“+3（〃GN'）,②S,）=■|（3"-l）,

③]+（4+枭3+...+"4=〃（"M）这三个条件中任选一个，解答下列问题.

（1）求出数列乩｝的通项公式；

'、

（2）若设a=1Og3/,I，数列小1的前〃项和为I，证明：Tn<\

"J2

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

21.保障性租赁住房，是玫府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署.2021

年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市

陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿.为了响应国家号召，某地区计划

2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房.预计在今后的

若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外，每年新建住房中，保

障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米.

（1）到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积（以2021年为累计的第•

年）将首次不少于475万平方米？

（2）到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次

大于85%?

22.已知数列｛〃“｝的前日项和为S”，且点（«,Sn）在函数y=2㈤-2的图象上.

（1）求数列｛3｝的通项公式；

（2）设数列｛儿｝满足：历=0,bn"bn=an,求数列｛5｝的前〃项和公式；

（3）在第（2）间的条件下，若对于任意的〃不等式5V劝“+1恒成立，求实数％的

取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案

1.解：根据题意，数列的前4项为-；，；，…

皿士-1111-1111

则有6=------=—»a、=-------=—,/=------=—,a,=-------=—,

'2x1+35-2x2+372x3+3942x4+311

则数列的通项公式可以为4=上DL.故选：D.

2/2+3

2.题意知so—s=8d,卬84=16,4=2.

3.Sm=3S".S'二S13"T,又/二S2-SL2sL4,则S=2.■$『2x399故选：C

4.因为数列｛q｝满足logq-1=logM+i5cN),所以log2%1=噫,，即守二1】，

因为《+/+%++%/产2",所以/+&+/++a2n,

-1-1

=~+~+~+-+^=2""),所以1%(。2+。4+。6+...+%”)，=Iog22"=/:-1,故选：D

-111

5.由题意，5用=。“+n(n(+11)、=4+n---n+-I

11

一o,=----

6.D.°2020=2120l9+342018,«•fl20IS^=2。201Kq+3。刈&，

贝02=2夕+3,・，・夕=3或9=一1(舍去).由Ja“4=9q,得%即*"-2=34,

1(m+2+〃+m+2+〃1-nm+2

•、/〃+〃=6,则/"+2+〃=8,所以2+----+----

m+2n8m+2n8m+2n

LL,,11、1(cCI~〃2+2)1U取得最小

所以----+->-2+2J----------=-当且仅当〃?=2,〃=4时,

m+2〃81Vw+2n)2

值为故选：D.

7.天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、

午、未、申、酉、戌、亥，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，

2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，以2021年的天干和地支分别为首项，所以

100=10x10+0,则2121年的天干为辛；又100=12x8+4,则2121年的地支为巳，故2121

答案第5页，共15页

年是辛巳.故选：C.

D・・・az=%+四，la用一/=嘉，又q=g，数列｛《J为递增数列，,ad；

202\a+a~,

%+1=%+:.2021«,I+1=n2021c.=(2021+^X,

2021

2021I11111t1

------------=’--------------

••/=(2021+凡)凡一^一2021+4,

2021+44<八92021+"

2021j]

2-V------------->2-2021>1

£4+2021a202：<1・二

,,020222021+-

2

12022I]

=2-V-------------<2-2022------------<1,

“2023金6+20212021+1

•••嗫3>1当〃W2022时，l-«n>0,又QS

・•・当〃£2022时,Tn>(),当“二2023时，Tn<0：,使当<0成立的最小正整数〃是2023.

9.AC

因为$6=$3，・，・/+4+…+〃]3=。，,4o=4+91=。，即。[=一9".

又6<。，所以d>(),A对，B错：当笄均=〃(-%/)+吗D/〉。，解得

n>19,・—0,故C对；S|6-S2=Q+3|^d-(2q+d)=l仞+119d=-7d<0

•••SgVS?,D错.故选：AC

10.BC因等比数列｛«,｝的前〃项和为S“=2"”+〃?，当〃之2时,S,i=2"+/〃，则

a=S“—S-=2""-2"=2",

因此，等比数列｛q｝的公比为2,当〃=1时，q=号=4+也，显然4+机=2,则〃?=-2,q=2”,

A错误，B、C正确;

而=4,于是得数列何｝是等比数列，其首项为4,公比为4,则有

4"-4

+*=，D错误.

3

11.CD

数列伍"各项乘10再减4得到数列｛"｝：(),3,6,12,24,48,96,192,…,

故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列,

0,/?=1

所以d二3x2.2,故选项人错误;

答案第6页，共15页

b+410.4,n=1

n2

所以。”=10=[o3*2-+0.4,.2'

所以喂i=0.3x2刈9+0.4,故选项B错误；

当〃=1时，，=q=0.4,

,,-2

当〃..2时，Sfl=«1+^+^+...+«„=0.4+0.3x(2°+2+...+2)+0.4(//-1)

=0.4/?+0.3x=0.4/»+0.3-2#,1-0.3,当〃=1时，，=0.4也适合上式，

1-2

所以S.=0.4n+0.3・2”T-0.3,故选项C正确;

0.n=1一

因为也2’所以当〃=1时，彳=4=。，

当〃..2时，7；=4+24+3优=()+3x(2x2。+3x21+4x2?+...+〃•2"2)①，

则2<=3x(2x2i+3x22+4x23+...+〃2T^

l2n2n-|nrl

所以①一②可得，-7；=0+3x(2+2+2+...+2--/:-2)=3(2+^—^--n-2-')=3(i-n)-2-f

1—2

所以7；=3(〃-l).2"T,又当〃=1时，(也适合上式，所以7；=35-l).2"T,故选项D正确.

12.ACD

解：对于A,由题意可知,下一个图形的边长是上一个图边长的;，边数是上一个图形的4

14,、4

倍，则周长之间的关系为所以数列出｝是公比为：，首项为3的等比

xn-1

<4

数列，所以勿,所以A正确,

对于B,由题意可知,从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的;，所以

数列｛〃“｝是I为首项,：为公比的等比数列，所以S“=1)3___1

n-1

3;2-2-3

3

所以B错误,

对于c,由a=36j〔a也="也,得3•0/’t-1/4

I.唱1J呜,所以

xw+/n-2

44]121211

，所以k+加=6,因为，所以当〃=1时，“2=5,则一+—=-+—=—,

3J3;m〃515

121251712

当〃=2时，m=4,则一+—=—+—=—,当〃=3时，阳=3,则一+-=-+—=1,当，7=4

m〃424mn33

>e121211।山…皿12127…I2

时,m=2,贝jl-F—=—+-=—+—=1,当〃=5时，tn=1,则—1•一=一+—=—,所以一+一

〃2422m〃155nin

答案第7页，共15页

最小值是I,所以C正确,

对于D,因为s“=53-/I=11-可IA在〃€”上递科所以23即

1WS.弓3

令）'=2S”—（，则y=2S.一?在s“e[0）上递增，

327I7

所以2X1-14）Y2X1-1,即14），＜屋即1K2S”一晨＜“

因为2K2s“一不工〃恒成立，所以〃-％的最小值为所以D正确，

故选：ACD

13.4

在等比数列｛4｝中，。叼7=d，44=4%，

贝|J白必+2aM+ai=4；+2。必+a；=（%+%尸，

依题意，（%+%尸=16,而｛《,｝的各项均为正数，于是得牝+%=4,

:.%+。7=4.

故答案为：4.

14.

设等差数列的公差为d,等比数列的公比是。，

%=b^a4=b»:.aA-d=-

q

即4一2•=1,

q

a5+a4_26+d_5

2a4+a4--

-----------------

%+幺

q

左边可以分子分母同时除以4,得：T=5,

1+-

q

解得“=-3,

答案笫8页，共15页

根据等差中项可知，4+4=24,

a5+6_2a$_2%_2_3

a+&-_~~--10--5

q33

3

故答案为：•1

15.3976

依题意，每次取出的各个数从小到大各排成一行，奇数次取数个数是奇数，偶数次取数个数

是偶数，

每一行数的个数与次数相同，每一行最后一个数依次为1,4,9,16,25,…，则第〃行最

后一个数为〃2,

前〃行数的总个数为1+2+3+..+〃=普2,当〃=63时，一共有63,+1)=为|6个数,

于是，第2020个数是第64行的第4个数，而第63行最后一个数为63?=3969,则第2020

个数是3976,

所以2020个数是3976.

故答案为:3976

16.(0,2)-4

由题意，正数数列｛七｝是单调递增数列，且%

,,Qn~°n*t=an*-l~~24"+|<°，解得€(0,2),

..〃2€(0,2).

4=42-OyG[-1,2).

4

丁q>0,

/.0<«(<2.

答案第9页，共15页

2

且数列｛"J是递增数列,

2113

・,.%2£(£,2),即;;一w(3,5),

3a2(n\一乙

二整数k=T.

故答案为：(。，2)：-4.

17.(1)证明见解析；(2)存在，2=1.

(1)证明・・・。川=5向一，，S：=a3-4Sw，

:、S：=(S"x-5”『-心…•・S,川(S,向一2s「3=0.

・・・勺>。・・・%>0,・・・S”+「2S”T=0,Sz=2S”+4

(2)・・・S"|=2S"+"S,=2S“T+4〃N2),相减得4(〃之2),

・・・｛4｝从第二项起成等比数列・・・・S2=2E+；l,即出+%2q+A,

=1,

•,・/=1+2>0,­・.%=.+］『,〃22.

若使｛叫是等比数列,则的3=心

・•・2(4+1)=(4+1『，A2=-1(舍)或4=1.

18.(1)

数列｛《J满足q+2-2勺_I+%=。，即，“+2+an=2%+I，

・••数列｛%｝为等差数列，设公差为d.

2-8

，q=q+3d=2,d=——=-2.

atl=%+(〃-1)d=8-2(n-1)=10-2/7.

(2)

•••%=10-2〃，令%=0,得〃=5.

当〃>5时，4<。；当〃<5时，«„>0.

**•SJO=%+生++牝+(一缘—%—…一%))

2+2x50-10

5+x45=2090.

2—

答案第10页，共15页

19.（I）S.=1+2〃；（H）q=2〃+l（〃eN'）；（HI）（=5-^^.

qq

（I）由（〃-1）邑=〃S.T+〃2—〃，得2一壬=],

nn-1

又牛=3,所以数列｛｝｝是首项为3,公差为1的等差数列，

所以W=3+（〃—l）=〃+2,g|JSo=/?+2/7.

（II）当〃之2时，由（I）得a“=S,-S“T=2〃+1,

又为也符合上式，所以q=2〃+l（〃eN）

（III）由（H）得我二空」,

口一I3572〃+1

所以（=亍■+尹+A++一①

Q3572，?一12〃+1

z=+・一'

2n2T+27+2T+2-

①-@，得

1322222/2+1

27；=7+2r+2y+F+"+F"^r

311112〃+152/?+5

=—T--1--1--卜4-------=------

2"2^2"一‘2"+'22"+'

故（=5-空.

20.

（I）利用/=S“-Sa（〃之2）求得为的递推关系，求出q=3”（〃之2）,验证当〃=1时是否符

合通项公式即可求解；

2n_,

（2）由（1）知勿='叫=log33=2/1-1,可得

1二1=1（1______

2%一（2〃-1）（2〃+1）一212〃-12n+lJ

再利用裂项相消法求出。，最后由放缩法即可证明.

（1）

若选条件①，

当〃22时，4.1=25”+3,①，4=2szi-]+3,②，

则由①一②得％.「q=2”,即凡+[=3aM>2）,

所以数列｛〃,,｝为从第2项开始的等比数列，且公比为3.

又％=3,当〃=1时，生=24+3=9,符合，=3,*所以数列｛叫的通项公式为

答案第11页，共15页

an=3"(neN*).

若选条件②，

当〃N2时，凡=9-3=弓4(3”-1)-4+31-1)=京230-31)=3"

当〃=1时也成立，所以数列｛《,｝的通项公式为4=3"(〃2.

若选条件③，

当〃22M，+最七+/。3+…十"可二〃①，

1I11.公

铲+?%++…=〃一②，

①一②得"/=〃—(〃—1)=1,即4=3"(〃N2).

当〃=1时也成立，所以数列｛《,｝的通项公式为%=3"(neN*).

(2)

2,1l

证明：由(1)知，bn=1叫生,“=log33~=2/7-1

T得^7一(2〃_1)(2"+1)=/[^?一^77,

21.

(1)

设保障性租赁住房面积形成数列仅“｝,

由题意可知，｛4｝是等差数列,其中4=25,d=5,

则5„=25〃+〃(丁)x5=g(5〃2+45/1),

令;(5,5+45〃)为75,即〃?+9〃-190..0,而〃为正整数，解得〃口。，

故到2030年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年;，将首

次不少于475万平方米：

(2)

设新建住房面积形成数列｛2｝，

由题意可知，｛"｝是等比数列，其中々=40,^=1.08,

则包=40x(1.08)1,

由题意知，。“>0.85"，则25+(”-l)x5>40x(L08)”\满足上式不等式的最小正整数〃=6,

故到2026年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于

答案第12页，共15页

85%.

(--彳(〃为偶数)

22.(1)a.=2'(〃cN*)；(2)北=43,3；(3)(1,+8)

——]0〃然)奇数

⑴由题意可知，S“=2”+「2.

当.2时,%=S“-SM=2"+,-2-(2"-2)=2",

当〃=1时，％=S[=2*-2=2也满足上式，

所以a“=2"(〃wN*).

k

(2)由⑴可知be+bn=2"(“eN"),即45+a=2(kGN*).

当&=1时，打+仇=2、©

当〃=2时，用+4=2:所以一打一仇=一2。②

当攵=3时，仇+2=2)(3)

当〃=4时，々+仇=2，，所以—"一仇=一21④

当&=〃-1时("为偶数),im所以一2一/%=_2"T

以上〃一1个式子相加，得2+。=2-22+2'-2，+...+2"T

2|1-(-2)"-'12(1+2/,1)2"2

=---------=--------=---F—,乂4=。,

1-(-2)333人।

所以，当〃为偶数时，/7„=—+--

"33

同理，当〃为奇数时，-"+4=2-22+23-2、...-2一

2(1-(-2)"-']2-2"

二1-(一2)=二-，

2n2

所以，当〃为奇数时，b,=---.

33

因此，当〃为偶数时，数列｛"｝的前〃项和O二仇+仇+?b„

44+(当令+4一令+(当令+...+4+3

3333333333

222TI2(1—2")2向2

—H1"…+—=—-----------=------------:

33331-233

当〃为奇数时，数列依)的前〃项和(=仄+…+"T+"

(济)+4+••••+《+》专管

答案第13页，共15页

故数列电｝的前刀项和T

-g（〃为奇数）

3

5+：（〃为偶数）

⑶由⑵可知〃,=（JJ

?（〃为奇数）

JJ

2

-T-+一

①当〃为偶数时，卷=券丹=卷爸=;+/

-33

所以3随〃的增大而减小，

"升1

从而，当〃为偶数时，3的最大值是今=1•

%A

r_2

?~32--213

②当〃为奇数时,K

%丝+22*222川+2

33

bb212*32亭1

所以*随〃的增大而增大'且亡

b

综上，广的最大值是1.

"0+1

因此，若对于任意的“wN*,不等式"〈财，用恒成立，只需4>1,

故实数九的取值范围是a"°）.

综合训练

一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知数列仍〃）是等比数列，为是1和3的等差中项，则b2bl6=（）

A.16B.8C.4D.2

2.在等差数列｛〃”）中,已知前21项和§21=63,则42+〃5+。8+…+〃20的值为（）

A.7B.9C.21D.42

3.在等差数列｛斯｝中⑸6〉（）,S17<0,当其前〃项和取得最大值时,〃=（）

A.8B.9C.16D.17

4.已知数列｛⑶｝是以2为首项,1为公差的等差数列,他”｝是以1为首项,2为公比的等比数歹（

则%।+与2+…+与】。=（）

A.1033B.1034C.2057D.2058

5.用数学归纳法证明】+2+22+-+25〃」（〃£]<）能被31整除时，从〃斗到〃4+1添加的项数为

（）

A.7B.6C.5D.4

6中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图1是某古建筑物中的举

答案第14页，共15页

架结构是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑

屋顶截面的示意图.其中OA,CG,88MAi是脊,0Z）MG.CBi.B4是相等的步,相邻桁的举步

的比分别为粤=05第=尿粤二心裂二依,若左»2,依是公差为0.1的等差数列，直线04的斜率

UD｝DC1CojUA\

为0.725,则心=（）

7已知等比数列｛%｝的前n项和为S〃，公比。/>0⑼=1,。3=。2+2.若数列｛仇｝的前n项和为

〃,4"+1=/%5"+15小贝1」79=（）

A512B现C®D，

,511*10241023-1023

8.已知数列｛斯｝的各项都为正数,定义:6=山出产二口为数列｛〃〃｝的“匀称值”.已知数列

｛“〃｝的“匀称值”为a=〃+2,则该数列中的00等于/）

812921

A-3BTJD.-

二、多项选择题（在每小题给出的选项中,有多项符合题E要求）

9.等差数列｛m｝的前〃项和为S”,公差4=1.若“+3a$=S7,则以下结论一定正确的是（）

AO5=1B5的最小值为S5

C.Si=S6D.S“存在最大值

10.已知数列123,5,…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记S”为数列｛〃“｝

的前〃项和，则下列结论正确的是（）

A.S6=«8

B.S7=33

C.0+。3+。5+…+。2021=02022

D.说+谴+退+…+。加20=。202M2021

11.已知等比数列｛〃“｝的各项均为正数,公比为名且小>1,俏+。7>，«7+1>2,记｛4〃｝的前〃项积为

心,则下列选项正确的是（）

A.0<^<|Bae〉］

C.T|2>1D.7,|3>1

12.［2023江苏盐城月考］设等差数列｛斯｝的前〃项和为&,若S8=$2，且（”+l）S〃<〃S0+i（〃£N〉，

则下列说法正确的是（）

A.数列｛斯｝为递增数列

B5o和S”均为S的最小值

C存在正整数匕使得&二0

D.存在正整数见使得S”二S3,”

三、填空题

13.设等比数列｛小｝的前〃项和为S小若S+12=0,53+12=0,贝IJ45+46=.

14.若等差数列｛斯｝的前n项和为3”,且。2=。,$5=1U,数列｛d｝满足。尸。，且匕〃+1=斯+1++,则数列

答案第15页，共15页

｛b„］的通项公式为.

15.设数列｛斯｝的前n项和为S”,若52=4,即+户25”+1,〃£?4",则。尸,Ss=.

16.已知〃为正偶数，用数学归纳法证明"l』+9—：+~+=—L2(*+与+—+；)”Jt^

234n-1nn+2n+42n

一步的验证为;若已假设〃=4女22且k为偶数)时等式

成立，则还需要用归纳假设证n=时等式成立.

四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

+JSn」(心2),③。”>0底+an=2Sn中任选一个，补充到下

面问题中,并给出解答.

已知数列(〃“)的前〃项和为S„x/i=l,.

(1)求数列｛④｝的通项公式:

⑵若0gs+2成等比数列，求正整数k的值.

18.设｛〃“｝是等差数列M=・10,且生+10。3+8,出+6成等比数列.

(I)求｛为｝的通项公式；

⑵记(如｝的前〃项和为S”,求Sn的最小值.

19.已知数列｛｝和也｝满足=1,bi=0,4az=3%也+4,4:“+\=3bn-an-4.

(1)证明:｛。“+正｝是等比数列,｛。-瓦｝是等差数列;

(2)求｛%｝和｛儿｝的通项公式.

20.已知等比数歹人a„］满足他S=2〃4=32.

(1)求｛"〃｝的通项公式；

(2)记数列｛m｝的前〃项和为S“，证明:当〃22时尾>S“+5.

21.已知等比数列｛斯｝满足〃2=445=32.

⑴求数列｛小｝的通项公式：

答案第16页，共15页

⑵设加丽F?求数列⑸的前〃项和s小

22.已知数列｛斯｝的前n项和为5”,且5n=2^'-2.

(1)求数列｛⑶｝的通项公式；

(2)设A〃=k)g2ai+log2a2+…+log2a小求使(〃・8)仇人成对任意〃£N・恒成立的实数k的取值范围.

综合训练

1.C因为为是1和3的等差中项，所以2b9=1+3抑氏=2.由等比数列｛乩｝的性质可得

b2b16=据=4.

2.C•・•等差数列｛。“｝的前21项和S2I=63=2"笠叫,・.0+公产6.

由等差数列的性质可得ai+。201+。21=6,则ai+。5+。8+…+。20="仞署°)==21.故选

C.

3.A依题意,S]6>0,即4|+。16=。8+。9>057<0,即4]+4|7=2〃9<0,所以49VoM8>0,所以等差

数列｛斯｝为递减数列，且前8项为正数，从第9项以后为负数，所以当其前〃项和取得最大

值时,〃=8.故选A.

4.A由已知可得知=〃+1力”=2"'\于是Q%=。2冷1=2""+1,因此%+

1?10

的2+…+%10=(2°+1)+⑵+1)+・,・+(29+1)=(1+2+22+・・・+29)+10=含+10=1033.

5.C设,/(〃)=1+2+2、…+25〃二假设当n=kBt^)=l+2+22+―+25td能被31整除，当

〃=A+1时^+l)=l+2+22+-+25t+4,则

1攵+1)次々)=1+2+22+-+25乂4.(1+2+22+-+257)=25a+25川+25*2+25X3+25”则从〃M到

n=k+]共添加了5项.故选C.

6.D不妨设。。产。G=C8I=84I=1,则OG=0.5,CG=h88产心工人尸质.由题意得

。。1+67?1+881+4勺_0力弓

V

ODi+DCi+CBx+BAx~'，

即空也也也=0.725.

4

•.Z产如0.24二60.1,

。〃八一勺、

•••0.5+k3-2+'13-0.1+3-_U.’23.

4

解得通=0.9.故选D.

7.C:01=1,43=6+2,

，/-4-2=0,.二4=2或q=-l.

q>0,4=2,，%=2"".

...s尸笔山=霁=2"・1.•••斯+产》S/1S“,・•・Sn+1$=婚”+!S”,・•・力产部心,即fL.

1・q】・/Ai+Qnin、八十1

._...11、/11、11、11.1

・・7；=/?i+岳+…+儿=（z针--）+（--针）+…+（z不-T-）=----=l-^+TT-

$1*S?S3Sn5n+1Si5n+l2-1

“闫-夫=瑞•故选c

8.D•:Gn二

止也把工I%产〃+2,

n

；・〃=〃.（〃+2）=ai+2a2+3。3+j・+〃4”，；・

10x（10।2）=0+2a243a3+—I10tzi（）;9x（9+2）=czi•2a2』3内」—十9。%两式相减得10ai«=21,

答案第17页，共15页

・'a10=养故选D.

9.AC•・•等差数列｛的｝的前〃项和为S”,公差d=l,m+3a5=S7,・・・ai+3(0+4)=70+^xl,

解得。尸-3.

〃5=-3+4X1=1,故A正确；

*.*a,i=a\+(/?-1)d=〃-4,

・•・均小于零以4=0。5M6,…均大于零,・•・S3=S4,，为S”的最小值$无最大值，故B

错误,D错误⑸=。产・3,56=6乂(・3)+竽'1=-3,.・5=56,故C正确.故选AC.

10.BCD由于48=21,S6=2OS=S6+I3=33,故A不正确,B正确；

由。|=42,。3=44-〃2,的=。6-0|,・・・,〃2021=。2022-〃2020,可彳寻。1十43十的十・・・十〃2021=〃2022,故C正确；

由于该数列总有m+2=。〃+|+。小0-1=。2。1,则

«2=«2(«3-«1)-aiQy-Cha\,(1^=。3(。4-。2)=。3a4-。3。2,…㈤019=。2019^2020田2019^2018,«2020=。2

02002021-«2020^2019,+谖+4+…+谴020=。202皿2021,故D正确.故选BCD.

11.ABC由于等比数列｛小｝的各项均为正数,公比为q,且0>1,〃6+。7>。襁7+1>2,所以

(恁-1)(。7-1)<0,所以0<。6<1且。7>1或。6>1且0<。7<1.当0<«6<1且。7>1时，”二9>1,又

0>1,所以｛斯｝是递增数列，所以恁>0>1,矛盾；当。6>1且0<S<l时,0<望<1,即0<第1.因

06

为06a7+1>2,所以。6。7>1,力2=。「。2....。1「4|2=(。6。7)6>1713=。/<1.故选ABC.

12.ACD设等差数列｛为｝的公差为&因为N*时,(〃+l)S〃<，S+i,即S〃<〃(Se$)=，a+i,

故因为S,产〃〃i+"；"a所以又a〃+]=0+〃d,所以+/&即

n2n22

等小>0.因为〃+1>0恒成立，所以d>0,故等差数列｛%｝为递增数列,A正确;因为S8=S⑵所

[g1991

以