内蒙古自治区乌兰察布市十四校联盟2026届九年级上学期11月期中联考数学试卷（含答案）

内蒙古自治区乌兰察布市十四校联盟考试2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题一、单选题1．我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书2．已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P（

）A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定3．关于x的一元二次方程的根的情况为（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断4．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（

）A． B．C． D．5．如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，测得直径为，，则提梁的长为（

）A． B． C． D．6．将绕点C逆时针旋转，得到，点A的对应点恰好落在边上，下列结论不正确的是（

）A．若，则 B．C． D．7．内蒙古自治区第十一届少数民族传统体育运动会于2025年7月20日至7月31日在赤峰市举办．在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状（如图所示）．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为（

）A． B． C． D．8．如图，为的直径，点在上，连接，以为边作菱形，交于点，垂足为，若，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．4.2二、填空题9．如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为___________度．10．若是一元二次方程的一个根，则的值为______．11．如图，四边形是的内接四边形，点D是弧的中点，点E是弧上的一点，若，则的度数为___________12．二次函数的图象如图，以下结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论序号为___________三、解答题13．（1）解方程：（2）如图，已知为的直径，是弦，且于点E，连接，．求的度数．14．如图，为的切线，A为切点，连接，过点A作，垂足为C，交于点B，连接，求证：为的切线．15．额尔古纳湿地位于内蒙古自治区呼伦贝尔市，是亚洲面积最大，保存最完好的木本湿地系统，被誉为亚洲第一湿地．为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人；标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元／人．(1)若某单位组织22人去额尔古纳湿地旅游，购买门票费用为___________元；(2)若某单位支付该景区门票费用共计1500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游．16．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A的坐标；(3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．17．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题．问题情境：如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为．问题解决：（1）判断最短路线的依据是___________；（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和）拓展迁移：（3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离．18．（1）阅读材料如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数；为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________；（2）基础运用请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题：如图②，在中，，，E，F为上的点，且．求证：（3）能力提升如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值．参考答案1．B【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；故选：B．2．A【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离，∴，∴点P在内；故选A．3．C【详解】解：∵，∴关于x的一元二次方程没有实数根，故选：C．4．C【详解】解：把抛物线，先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为：，即．故选：C．5．D【详解】解：∵隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，直径为，，∴，∴的长为：，故选：D．6．C【详解】解：由旋转的性质可得，∴，∴；当时，，∴；根据现有条件无法得到，故选：C．7．C【详解】解：如图所示，以的中点O为原点，以直线为x轴，以过点O且与直线垂直的直线为y轴建立坐标系，由题意得，，，，设经过A、B、三点的抛物线解析式为，∴，∴，∴经过A、B、三点的抛物线解析式为，在中，当时，，∴此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为．故选：C．8．B【详解】解：如图所示：，为的直径，，，则，在中，，则由勾股定理可得，四边形为菱形，，则，故选：B．9．45【详解】解：根据题意得，，∴正八边形的中心角为，故答案为：．10．【详解】解：将代入原方程得：，解得：，故答案为：．11．【详解】解：如图所示，连接，∵四边形是的内接四边形，∴，∵点D是弧的中点，∴，∴，故答案为：．12．②③④【详解】解：①：由图象可知，该函数的对称轴大于零，∴，即，∴，故①错误；②：∵该函数与x轴交于和两点，∴对称轴为，即，则有，∵点在函数图象上，∴，即，将，代入，即，可得，∴，∵函数图象开口向上，即，∴，则，故②正确；③：由②知，，，∴，故③正确；④：∵，且，∴，∴，故④正确；⑤∵，，∴⑤由图象可知，该函数的最小值小于，即，且，∴，故⑤错误．∴正确的结论序号为②③④．故答案为：②③④．13．（1）；（2）．【详解】解：（1）∵，∴，∴，解得；（2）∵，∴，∵，∴，∴．14．证明：如图所示，连接，，，，，为的切线，，即，，为的半径，为的切线．【详解】略15．(1)1452(2)25名【详解】（1）解：门票价格为（元／人），∴（元），故答案为：1452；（2）解：设该单位有名员工去该景区旅游，则可列方程：，整理得：，解得：，当时，，当时，舍去，该单位共有25名员工去该景区旅游．16．(1)；(2)；(3)存在，或．【详解】（1）解：将、代入得，，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：令，则，解得或，∴点A的坐标为；（3）解：设点P的坐标为，∵，，∴，，，∵是以为直角边的直角三角形，∴分以下两种情况讨论：当为斜边时，则，∴，解得，∴；当为斜边时，则，∴，解得，∴．综上所述，存在符合条件的P点，，．17．（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短；故答案为两点之间线段最短；（2）剪开后，，，，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为，（3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，圆锥的底面周长为，，解得：，该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，在中，，点为的中点，是的中位线，，蚂蚁爬行的最短距离为．18．（1）；（2）证明：如图所示，根据，，将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接，∴，∴，，∴，，，，又∵，∴，∴，∴，∴根据勾股定理得，即（3）【详解】解：（1）∵为等边三角形，∴，根据旋转的性质