2026年新高一数学暑假衔接专题《集合的含义》

预备新高一数学预备新高一数学专题01集合的概念一．选择题（共12小题）1．下列所给对象不能构成集合的是（）A．一个平面内的所有点 B．某校高一（1）班的高个子学生 C．所有大于零的正整数 D．不等于0的偶数2．已知集合，则（）A． B． C． D．3．已知集合，那么下列结论正确的是（）A． B． C． D．4．方程的所有实数根组成的集合用列举法表示为（）A．， B． C． D．，1，5．已知，0，，则（）A．0或1 B．或1 C． D．16．集合用列举法表示为（）A．，1，2， B．，2， C．，1，2，3， D．，2，3，7．设集合，则（）A． B． C． D．8．由单词“”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素个数为（）A．3 B．5 C．6 D．79．集合的元素个数是（）A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个10．已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（）A．3 B．4 C．6 D．911．已知，，，则实数的值是（）A．3 B．1 C．0 D．3或112．集合用列举法可表示为（）A．，1，2， B．， C．， D．，2，二．多选题（共4小题）（多选）13．方程组的解集是A．， B． C． D．（多选）14．下列结论不正确的是A． B． C． D．（多选）15．下列说法正确的是（）A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3 D．数1，0，5，，，，组成的集合中有5个元素（多选）16．若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且当时，，则称集合是“完美集”．下列说法正确的有（）A．集合，0，是“完美集” B．有理数集是“完美集” C．对任意的一个“完美集”，若，，则 D．对任意的一个“完美集”，若，，且，则三．填空题（共4小题）17．已知集合，，且，则．18．用列举法表示集合，，．19．已知集合，，若，则实数．20．已知集合，集合，且，若，则．四．解答题（共6小题）21．已知集合是由，，12三个元素组成的，且，求．22．已知集合．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．23．已知集合，为实数．（1）若，求的取值范围；（2）若中有且仅有1个整数元素0，求的取值范围．24．用适当的方法表示下列集合：（1）方程的所有实数根组成的集合；（2）由大于且小于5的所有整数组成的集合；（3）所有能被3整除且大于0的整数组成的集合．25．已知集合．（1）若，求实数的值；（2）若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围．26．已知集合，集合且．（1）判断，，0，中的哪些元素属于；（2）证明：若，，则．

一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案BCBABACCBBA题号12答案B二．多选题（共4小题）题号13141516答案CDBCADBCD一．选择题（共12小题）1．【答案】【分析】根据集合的定义一一判断即可．【解答】解：对于选项，“一个平面内的所有点”是确定的，能构成集合，故错误；对于选项，“某校高一（1）班的高个子学生”的标准不确定，因而不能构成集合，故正确；对于选项，“所有大于零的正整数”的标准确定，能构成集合，故错误；对于选项，“不等于0的偶数”的标准确定，能构成集合，故错误．故选：．2．【答案】【分析】根据元素与集合的关系逐项判断即可．【解答】解：对于选项，，错；对于选项，若，则，可得，所以，错；对于选项，，对；对于选项，，错．故选：．3．【答案】【分析】通过解方程可得集合中有2个元素0和1，由此可得答案．【解答】解：由或，且，故选：．4．【答案】【分析】首先解方程，将根用列举法表示即可．【解答】解：方程的实数根伟0或1，所以方程的所有实数根组成的集合用列举法表示为，．故选：．5．【答案】【分析】由题设可得，进而求解即可．【解答】解：由，0，，可得，解得或1．故选：．6．【答案】【分析】解不等式，根据可得出集合中的元素．【解答】解：由题意，，1，2，．故选：．7．【答案】【分析】根据元素与集合的关系判断．【解答】解：对于，因为不是自然数，所以，故错误；对于，集合与集合之间不能用“”，故错误；对于，因为不是自然数，所以，故正确；对于，因为不是自然数，所以，故错误．故选：．8．【答案】【分析】根据集合中元素的互异性可得出答案．【解答】解：根据集合中元素的互异性，由单词“”中的字母组成的集合，，，，，．所以中的元素个数为6．故选：．9．【答案】【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得．【解答】解：因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有1，2，3，6所以对应的的值分别为5，4，3，0，故集合，4，3，，元素个数是4．故选：．10．【答案】【分析】由△进行求解．【解答】解：因为集合中有且仅有一个元素，所以△，解得．故选：．11．【答案】【分析】由题意可知或，再结合元素的互异性求解即可．【解答】解：因为，，，所以或，解得或，当时，集合为，2，，符合题意，当时，不满足元素的互异性，舍去，所以实数的值是3．故选：．12．【答案】【分析】根据集合描述列举出集合元素即可．【解答】解：由，．故选：．二．多选题（共4小题）13．【答案】【分析】根据题意求得方程组的解，由集合的表示方法，结合选项，即可求解．【解答】解：由方程组，解得，因为方程组解的形式是有序实数对，故可排除，；其中是用的列举法表示集合，是用的描述法表示集合，所以，正确．故选：．14．【答案】【分析】根据，，及的范围，对各选项进行判定即可．【解答】解：表示实数集，故，故正确；表示有理数集，，故错误；表示正整数集，，故错误；表示整数集，，故正确．故选：．15．【答案】【分析】利用集合的定义及集合中元素特征，对各个选项逐一分析判断，即可求解．【解答】解：对于选项，因为联合国安理会常任理事国是确定的，所以联合国安理会常任理事国能组成一个集合，故正确；对于选项，因为喜欢足球的同学不确定，所以我校很喜欢足球的同学不能组成一个集合，故错误；对于选项，因为不大于3的自然数有0，1，2，3，则由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为0，1，2，3，故错误；对于选项，因为，，所以数1，0，5，，，，组成的集合中有5个元素，则正确．故选：．16．【答案】【分析】根据“完美集”的定义，结合元素与集合的关系求解．【解答】解：对于选项，因为，，但是，所以不是“完美集”，故错误；对于选项，有理数集满足“完美集”的定义，故正确；对于选项，因为，，，所以，所以，故正确；对于选项，任取，，当，中有0或1时，显然，当，均不为0，1时，因为，，所以，所以，所以，由选项可知对任意的一个“完美集”，若，，则，所以，同理可得，则，，所以，所以，所以，所以，所以，故正确．故选：．三．填空题（共4小题）17．【答案】．【分析】结合元素与集合关系即可求解．【解答】解：，，，由题意，，即．故答案为：．18．【答案】，0，1，．【分析】结合列举法与描述法的转化即可分别求解．【解答】解：当时，，当时，，当时，，当时，，所以用列举法表示集合为，0，1，．故答案为：，0，1，．19．【答案】．【分析】根据集合相等以及一元二次不等式的性质求解．【解答】解：集合，，若，则和3是方程的两根，所以．故答案为：．20．【答案】1．【分析】由得必须同时整除和，设，由题题建立方程求解即可．【解答】解：因为，所以需满足，因为，且，所以存在整数，使得，将等式两边分离有理部分和无理部分，得，，其中，，所以必须同时整除和，设，则是和的公约数，令，，代入的表达式得，两边除以得，因为和均为整数，所以唯一可能的解为且时无整数解），所以．故答案为：1．四．解答题（共6小题）21．【分析】由已知条件知，或，这样解出，然后再得出集合的三个元素，看是否满足集合元素的互异性，从而得出的值．【解答】解：；，或；；时，，，，不满足集合元素的互异性；而时，；．22．【答案】（1）；（2），，．【分析】（1）若，则，进而求出实数的取值范围；（2）若，则，进而求出实数的取值范围．【解答】解：（1）若，则，即，解得，所以实数的取值范围为；（2）若，则，即解得或，所以实数的取值范围为，，．23．【答案】（1），，；（2），．【分析】（1）根据集合与元素之间的包含关系列不等式求解；（2）根据集合与元素的包含关系列不等式组求解即可．【解答】解：（1）若，则由条件可得，解得或，即的取值范围，，；（2）由知，因为中有且仅有1个整数元素，故必然有，解得，所以的取值范围为，．24．【答案】（1），；（2），1，2，3，；（3），．【分析】（1）解方程，再用列举法写出集合即可；（2）根据题意大于且小于5的整数为0，1，2，3，4，再用列举法写出集合即可；（3）根据题意用描述法表示集合即可．【解答】解：（1）解方程得或，所以用列举法表示方程的所有实数根组成的集合为，；（2）大于且小于5的整数为0，1，2，3，4，所以用列举法表示大于且小于5的所有整数组成的集合为，1，2，3，；（3）能被3整除且大于0的整数可表示为，所以用描述法表示所有能被3整除且大于0的整数组成的集合为，．25．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由题意3是方程的根，代入解方程即可；（2）当时，方程为有一个解符合题意，当时，利用判别式法列不等式求解范围，最后两种结果求并集即可得解．【解答】解：（1）由题意，，因为，所以，解得；（2）当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意；当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解，即△，解得且，综上所述，实数的取值范围是．26．【答案】（1）和；（2）证明：因为，，则，设，则，而，，所以，又，设，，，，，则有，所以．【分析】（1）根据集合的定义验证；（2）由，，证明且即可．【解答】解：（1）由题意，可知，，0，均是集合中元素，又，，无意义，，所以和属于；（2）证明：因为，，则，设，则，而，，所以，又，设，，，，，则有，所以．

预备新高一预备新高一数学专题01集合的概念1．通过实例了解集合与元素的含义．2．掌握集合中元素的三个特性．3．能判断元素与集合的关系．4．识记常见数集的表示符号．1．集合与元素的含义一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．2．集合中元素的三个特性（1）确定性（2）互异性（3）无序性3．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．集合A与集合B相等，记作A=B．4．元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果是集合A中的元素，就说a属于Aa∈A“a属于A”不属于如果不是集合A中的元素，就说a不属于AaA“a不属于A”题型01判断一组对象是否为集合1．集合中元素的三个特性（1）确定性（如：接近0的数，不满足元素的确定性，不能组成一个集合，接近0不是一个明确的标准，根据这个不明确的标准，不能判断0.1是否接近0）确定性负责判断这组元素是否构成集合．（2）互异性（集合中的元素不重复出现．方程有两个相等的实数根，但是该方程的解集只有一个元素2，因为集合中的任意两个元素不能相同）互异性负责判断构成集合的元素的个数，常见作用是提示我们求出结果后要检验．（3）无序性（集合{长江，黄河}与集合{黄河，长江}相等，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．）无序性：主要作用是方便定义集合相等．表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．2．一组对象能构成集合的两个条件（1）能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．（2）任何两个对象都是不同的．学以致用学以致用【例1】下列各项中能表示集合的是（）A．温柔的老师 B．所有偶数 C．漂亮的花朵 D．好玩的玩具【答案】【分析】由集合中元素的确定性判断．【解答】解：由集合的性质可知，中所有偶数都是确定的，可以构成集合，因为“温柔”，“漂亮”，“好玩”都没有确定的标准，所以中研究对象都不确定，不能构成集合．故选：．【例2】下列各组对象可以组成集合的是（）A．数学必修1课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数【答案】【分析】根据题意，由集合的定义，依次分析选项中对象是否可以组成集合，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项，对于，数学必修1课本中所有的难题，不满足集合中元素的确定性，不能组成集合；对于，小于8的所有素数，满足集合中元素的确定性，可以组成集合；对于，直角坐标平面内第一象限的一些点，不满足集合中元素的确定性，不能组成集合；对于，所有小的正数，不满足集合中元素的确定性，不能组成集合；故选：．【例3】下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数 B．新学期学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手【答案】【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可．【解答】解：对于选项，“非常接近”不具有确定性，故错误；对于选项，对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故正确；对于选项，“比较好”不具有确定性，故错误；对于选项，“高手”不具有确定性，故错误．故选：．题型02判断元素与集合的从属关系1．元素与集合的两种从属关系（1）属于关系（如：自然数集包含0、1、2，所以，，该对象符合集合范围，可判定属于）属于关系用于判定个体在集合范围内的情况，是元素与集合的基础对应关系．（2）不属于关系（如：正整数集不含0，所以；有理数集不含无理数，所以，该对象不符合集合范围，可判定不属于）不属于关系用于判定个体不在集合范围内的情况，元素与集合只有属于、不属于两种状态．2．从属关系的两种判断方式（1）数集判断：熟记五大数集范围，根据数字类型直接判断归属．（2）描述法集合判断：将数值代入集合约束条件，满足条件则属于集合，不满足条件则不属于集合．学以致用学以致用【例4】设集合且，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据题意，得到集合表示小于1的无理数，逐项分析判断，即可求解．【解答】解：由集合且，可得集合表示小于1的无理数，对于，由，所以，故错误；对于，由且，所以，故正确；对于，由且，所以，故错误；对于，由，所以，故错误．故选：．【例5】下列关系中：①，②，③，④，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【分析】根据常用数集的概念进行判断即可．【解答】解：对于①，不是整数，故①错误；对于②，不是有理数，即，故②正确；对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误；对于④，是无理数，也是实数，故④正确；故正确的个数为2．故选：．【例6】已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据，时的情况判断；分别令，求解对应的，并结合判断．【解答】解：对于，当时，，故错误；对于，令，解得，故，即错误；对于，当时，，故正确；对于，令，解得，故，故错误．故选：．题型03利用元素与集合的关系求参数1．解题核心依据（如：已知数值属于含参数的集合，说明该数值满足集合的约束条件，可代入条件列方程求解参数；若数值不属于集合，则该数值不满足集合约束条件，可列出不等式或排除对应解）元素与集合的从属关系是连接参数与集合条件的核心桥梁，是求解参数的基础依据。2．完整解题逻辑（1）根据题干条件，明确已知元素是属于或不属于该参数集合。（2）若元素属于集合，将元素代入集合的等式、不等式约束条件，列出对应方程或不等式。（3）求解方程或不等式，得到参数的所有候选取值。（4）将参数代回原集合，结合集合元素互异性、取值范围检验，舍去不符合条件的参数值。3．核心作用利用元素与集合的从属关系，可建立方程求解未知参数，结合集合特性筛除增根，保证参数取值合法合规，是集合参数类基础题型。学以致用学以致用【例7】已知集合，，，且，则（）A．1 B．1或3 C．3 D．【答案】【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值．【解答】解：因为集合，，，且，所以或，当时，解得或，若时，，，集合的元素出现重复，舍去，若时，，，，符合题意，当时，解得，此时，集合的元素出现重复，舍去，综上所述，．故选：．【例8】已知集合，若，且，则的取值范围是（）A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】求出集合，然后根据，且，即可得出关于的不等式组，解出的取值范围即可．【解答】解：；因为且，所以，解得，所以的取值范围是，．故选：．【例9】已知集合，且，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】【分析】结合元素与集合关系即可求解．【解答】解：由集合，且代入得，解得．故选：．题型04利用集合互异性求参数1．解题依据：集合元素具有互异性（如：若集合含有参数，求解后出现两个相同元素，则该参数不成立，必须舍去）互异性是参数题型的核心约束条件，方程的解不一定符合集合要求．2．完整解题逻辑（1）根据元素属于集合，列出所有可能相等的情况，分类讨论．（2）解方程求出所有参数候选值．（3）将参数代回原集合，检查元素是否重复．（4）保留元素互不重复的参数，舍去造成元素重复的参数．3．核心作用：互异性专门用来筛除不合理解，保证集合结构合法．学以致用学以致用【例10】集合，，中的不能取的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】【分析】根据集合的互异性，即可求解．【解答】解：集合，，中，由互异性可知，，或或，得或或．故选：．【例11】由，，4组成一个集合，中含有3个元素，则实数的取值可以是（）A．1 B． C．6 D．2【答案】【分析】通过选项的值回代验证，判断集合中有3个元素即可．【解答】解：当时，由，，4组成一个集合，中含有2个元素，当时，由，，4组成一个集合，中含有1个元素，当时，由，，4组成一个集合，中含有3个元素，当时，由，，4组成一个集合，中含有2个元素，故选：．【例12】集合，，，，5，6，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】【分析】根据第二象限坐标特征分类结合分类加法原理计算求解．【解答】解：由题意可知，集合，，，，5，6，，若集合提供横坐标，集合提供纵坐标，则符合题意的点有，，共2个，若集合提供纵坐标，集合提供横坐标，则符合题意的点有，，，，共4个，综上，在第二象限内的点的个数为．故选：．题型05辨析不同形式的描述法集合1．判断核心：只看描述法竖线前的代表元素（如：代表元素是，为数集；代表元素是，为点集）代表元素直接决定集合的类型，与后面的解析式无关．2．两类集合区分（1）数集：代表元素为单个字母，集合内全部是数字，用于研究取值范围．（2）点集：代表元素为有序数对，集合内全部是坐标，用于研究图像上的点．3．判定结论：数集和点集类型不同，永远不相等、不存在包含关系．学以致用学以致用【例13】用描述法表示函数图象上的所有点的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据集合描述法定义可解决此题．【解答】解：根据集合描述法定义可得函数图象上的所有点的集合是，故选：．【例14】若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（）A．， B． C．， D．，【答案】【分析】解方程组得，即可得到集合．【解答】解：由，解得，所以．故选：．【例15】选择适当方法表示下列集合：（1）由不超过5的所有自然数组成的集合；（2）不等式的解集组成集合；（3）二次函数的图象上所有的点组成的集合．【答案】（1），1，2，3，4，；（2）；（3）．【分析】（1）利用列举法表示集合即可；（2）利用描述法表示集合即可；（3）利用描述法表示集合即可．【解答】解：（1）集合，1，2，3，4，；（2）集合；（3）集合．题型06列举法与描述法的互化1．列举法转描述法（如：集合，元素均为偶数，可总结统一规律写成描述法）解题思路：观察所有元素的共同特征，总结统一规律、取值范围、奇偶限制，写成标准描述法格式，保证不多元素、不漏元素．2．描述法转列举法（如：，根据约束条件筛选出整数，逐一写出元素）解题思路：根据不等式、取值限制筛选合法元素，去重后有序列举．3．转化原则：转化前后集合元素完全一致，集合含义不变．学以致用学以致用【例16】集合，2，3，4，，用描述法可表示为，（答案不唯一）．【答案】，（答案不唯一）．【分析】根据集合元素特征和描述法定义得到答案．【解答】解：集合，2，3，4，，用描述法可表示为，．故答案为：，（答案不唯一）．【例17】集合，3，5，7，用描述法可表示为A．是不大于9的非负奇数 B．，，且 C．， D．，【答案】【分析】根据题中集合元素的特征可直接判断．【解答】解：根据题意，集合，3，5，7，中的元素为不大于9的非负奇数，题中选项、均可表示，故选：．【例18】用描述法表示下列集合：（1），2，4，6，；（2），9，27，81，；（3），，，，；（4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合；（5）如图中阴影部分的点（含边界）的集合．【答案】（1），是偶数；（2），；（3），；（4），；（5），，且．【分析】利用集合的表示方法直接求解．【解答】解：（1），2，4，6，表示为，是偶数；（2），9，27，81，表示，；（3），，，，表示为，；（4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合表示为，；（5）如图中阴影部分的点（含边界）的集合：图中阴影部分的点（含边界）有集合是一个无限集，把横坐标与纵坐标的范围用不等式表示出来即可，用描述法表示为，，且．题型07利用集合相等求参数1．集合相等的定义（如：与是相等集合，元素相同、顺序无关）只要两个集合包含的所有元素完全相同，无论顺序如何，两个集合都相等．2．解题步骤（1）根据集合相等，对应位置元素相等或剩余元素对应相等，列出方程．（2）求解参数所有候选值．（3）代回集合检验互异性，排除元素重复的解．3．核心作用：无序性用于判断集合