2008年全国高中数学联赛试题及答案详解

受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对6道填空题和3道大题，满分150分。答卷时间为100分钟。全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。答卷时问为120分钟。一试4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为（（（A）764cm3或586cm3C）586cm3或564cm3（B）764cm3（D）586cm3xyz5．方程组z的有理数解(x,y,z)的个数为（y0（A）1（B）2（C）3（D）46．设的内角C所对的边c成等比数列，则ACABCB的取值范围是（5)（（A）)（B）251,5151C）()（D）(,)222二、填空题（每小题9分，共54分）11．设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)，且对任意xR，满足f(xf(x)32x，f(x6)f(x)632x，则f=.11的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是三、解答题（每小题20分，共60分）.1f(x)|x|的图像与直线y(k的最大值为，求证：cos12．sin314．解不等式log2(123105x83x61log2(x4．加试50分）如图，给定凸四边形ABCD，BD180，P是平面上的动点，令f(P)PABCPDCAPCAB．（1）求证：当f(P)达到最小值时，、C四点共圆；3（2）设E是外接圆O的AB上一点，满足：，31，21ECBECA，又,DC是O的切线，2，求f(P)的最小值．2答一图150分）设f(x)是周期函数，T和1是f(x)的周期且0T1．证明：1（1）若T为有理数，则存在素数p，使是f(x)的周期；p（2）若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列a}满足1aa0n1nn(n)，且每个an(n)都是f(x)的周期．50分）2k1设k0k2,,2008a1{x}满足以下条件：kn（1）0xxx，n；n10n（（2）limx存在；nn20082007k1k03）nn1axk1nk，n．knk一试解答1.【答案】Cx22x0【解析】当时，，因此1(44xx2)11f(x)(2x)2(2x)2x2x2x12在,2)上2xx1(,2)f(x)(2x的最小值为2．故选C.3.【答案】B5P2)P(AA)P(AA)，12129P4)P(AAAA)P(AAAA)P(AAAA)P(AAAA)1234123412341234211220)3()()3()]，813333P6)P(AAAA)P(AAAA)P(AAAA)P(AAAA)123412341234123421)2()2，33因此25208161626681．故选B。49814.【答案】A5.【答案】B6.【答案】C【解析】设c的公比为q，则baq,caq2，而ACAACACBCBBCBCsin(AC)sin(BC)B))Bbq．Aaqca或ccaaqaq2,要构成三角形的三边，必须且只需abc且bca．即有不等式组即aqaq2a1551q,515122q解得从而515122q或q.2251,51值范围是()．故选C。229.【答案】222解析】方法一：用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用表示名额．如|||【|”与每个“|”都视为不同的分配方法相当于24226端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2C23253校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31知，满足条件的分配方法共有253－31＝222(种)．3个学校的名额数分别为xxx，则每校至少有一个名额的分法123数为不定方程xxx的正整数解的个数，即方程xxx21的非负整数解的个1231233个不同元素中取21个元素的可重组合：H21C231C23253少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有11.【答案】2200712.【答案】723【解析】如图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面ABC//111平面，与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体PABC的中心，111ABC，垂足D为ABC的中心．因111111131VSPD4V4S，ABCPABCABCOABC1111111113111故4r，从而4rrr．记此时小球与面PAB的切点为P，连接OP，则11PO2OP2r)2r222r．11考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB)相切时的情况，易知小球在面PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角（第12题图1）PEF2．记正四面体的棱长为aP作PMPA于MMPP，111163有22r6r，故小三角形的边长1121E2a26r．小球与面PAB不能接触到的部分的面积为（如图2中阴影部分）3(a2(a26r)2)32ar6r2．SPABS1EF4又r1，a46SS13633．由对称性，且正四面体共4个第12题图2）面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723．14.方法一：由1log2(x4log2(2x42)log2y在)上为增函数，故原不等式等价于35x83x612x42．即35x83x62x410．x8分组分解22x82x64x84x64x4x6x4x2x4x210，(x82x64x4x2x4x20，0b15.【解析】设P(x,y),B(0,b),C(0,c)，不妨设bc．直线PB的方程:ybx，000ybxb化简得(yb)xxyxb0．又圆心0)到PB的距离为1，001，故000(0b)2x20(y0b)202(y0b)22xb(yb)x2b2，易知02，上式化简得00020x0，(02)b22ybx0(x2)c22ycx0．所以bc0000002024x2040280402则bc)2P(x,y)y220bc)2，(02)2000(02)22x1204bc0．所以Sbc)0x(x42448．当x20020002(02)24时，上式取等号，此时xy22．因此00S的最小值为8．31解得cos或cos（舍去），故30，ACE60．由已知223sinEAC300BC31=,有sin(EAC30)(3sinEAC，即sinEACEC31231sin(3sin，整理得sin，22221故23，可得EAC75，从而E，23DACDCAE，2CD1也是等腰直角三角形，故2，BD2122125，5．故f(P)52．BD交的外接圆O于P点（因为D在O外，故P在BD00过,C,D分别作P,PC,PD的垂线，两两相交得000（第1题图2）ABC，易知在ACD内，从而在ABC内，记之三内角分别为，，z，则P1110111APC180yzx，又因BCPA，BAPC，得By，同理有Ax，0110110111z，所以ABC∽．设BC，CACA，AB，则对平面上任意点M，111111111有f(P)(PAPDPC)0000PABCPDCAPCAB0110110112SABC111BCCAAB111111(MABCMDCAMCAB)f(M)，从而f(P)f(M)MP点是使f(P)P在O上，000故、、、C四点共圆．,B,C等代表,B,C所对应的复数．由三角形不等式，对于复数z,z，有zzzz，当且仅当z与z（复向量）同向时取等号．12121212有，n（1）若T是有理数，则存在正整数m,n使得T且(m,n)1，从而存在整数m1a,b，使得ma1．于是abTa1bT是f(x)的周期．又因mm110T1m2p是mmpm是f(x)mpm的周期．2）若T是无理数，令1（11T，则0a1，且a是无理数，令11T11a均为无理数且0a1．又a21a，a1a，由数学归纳法易知n1nnn11an11111，故1aa，即an11aa．因此a}是递nnnnnnanann减数列．1最后证：每个a是f(x)的周期．事实上，因1和T是f(x)的周期，故a1T亦n1T1是f(x)k是f(x)ak11a也是f(x)