2020年全国高中数学联赛B卷答案及评分标准

2020年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）80分两档；其他各题的94101158864若实数x满足log2xlog42xlog84x，则x 答案：128．logxlog2+logxlog4

x+x

x21logx 解得log2x7x

在平面直角坐标系xOy中，圆经过点(0,0),(2,4),(3,3)，则圆上的点 25解：记A(2,4),B(3,3)，圆经过点O,A,B．注意到 90（直线与AB的斜率分别为1和1），故OA为圆的直径．从而圆上的点到原点的距离的最大值为 25设集合X1,2, 所有元素可排成连续的正整数，则这样的集合A的个数为 A可由其最小元素a与最大元素b4.ABC43 5, 6，则sin6cos6A解：由余弦定理得cos4.ABC43 5, 6，则sin6cos6A解：由余弦定理得cos 2CA 25sin6 cos6A= cos2Asin4 sin2A cos4 A cos2 cos2 3sin2 3cos2 43 设9元集合Aabia,b1,2,3，i是虚数单位．z1, ,z9A中所有元素的一个排列，满足 8

z1

，则这样的排列的个数1i2i12i22i3i13i32i23i33i， z11i,z2,z32i,12i,z422i,z5,z63i,13i，由乘法原理知，满足条件的排列的个数为238已知一个正三棱柱的各条棱长均为3，则其外接球的体积 721P，PPA为外接球的半径．POAO，所以PO2PO2

3323 7故外接球的体积为32 在凸四边形ABCD中 2AD点P是四边形ABCD所在平面上一点满足PA 0设s,t分别为四边形ABCD与PAB的面积， 337

2,

4M,N,XYABCD,BD,AC则M,X,Y,N顺次共线并且 1．由

2PY，

2PX

0．故点P在线段XY上且 ．设A SPM MN 2 2已知首项系数为1的五次多项式f(x)满足：f(n)8n,n1, ,5，f(x)的一次项系数为 g(x)f(x8xg(x1g(n)f(n)8n0,n1, ,5 ,5，所以g(x)(x1)(x (x5)，于f(x)(x1)(x (x5)8xf(x的一次项系数等于1111158282 5 356分．解答应写出文字说明、证明过9.（16分）AB 解：由对称性，设椭圆

0，求 ABF1 1 0)，A(a,0),B(0,b)c,0),c,0),b2( BF AF0

(c,0)，其中c

0，故

42b 8记O 3， 2

12 ABF1 tan( OBF1)tan( 1 16 2 （20分）设正实数abc满足a24b29c24b12c2123

a22b123c223 5 3a22b123c22a2b13c22 即a2b3c329a2b3c6 10 c123a2b3c12 c 6 15 当abc1故123的最小值是 20 （20分）设数列an ,

证明：存在无穷多个正整数m，使得am4 1是完全平方数证明：记

5,

5，则

1 qn, 所以a1,a1．又注意到 qn qnqnqn qn qnqn由此易知，数列

an, an

5由计算易得 7，32n32n q2nq2n q2nq2n1q4n

q4n

qq2n1

qq2n1 1 1 1q4n

q4n

1q4n q4n 1q4n q4n q2n q2n

15 2n所以，对任意正整数n，a2n3a2n 1都是完全平方数．于是对于正奇数mam4

1均为完全平方数 20

2020年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）（本题满分40分）如图，A,B,C,D,E是圆上顺次的五点，满 CDEPQAD,BEP在线段CQ PEQ 证明：记S为AD与BE的交点，T为CQ延长线与圆的交点注意到ABC CDE，可设AB,CD所对的圆周角均为，BC,DE所对的圆周角均为． 由 PSQ得S,A,T,Q四点共圆，又由 PSQ得P,S,T,E所以 PEQ 40 S1S2（1） ， AS1S24S1的所有元素的和等于S2的所有元素的乘积？设 1,2,x,y 19 10则12 1912xy2xy，所2xyxy187 202x12y13751525所以 7, 30故取

S1,S2满足条件 4040（本题满分50分）给定整数 2．设a1,a2 , 0，

bn且对任意i,j

n，均有

bj．求

an解：记

bn

1i1ij 1ij bj 1)Saiij1ij i

20SSii1ijai ai2nS1ij注意

0

2n

40另一方面，当 2 ,n)时，条件满足，且 2n综上， an的最小值为2n 50（50分）设ab为不超过12的正整数，满足：存在常数C得

bn

C(mod13对任意正整数n(ab)．1：由条件知，对任意正整数n bn

an

bn12(mod13) 注意到13为素数，a,b均与13互素，由费马小定理知 1(mod13)因此在①中取

12，化简得

代入①，得

an

bn

an

bn

0(mod13) 20若 1(mod13)，则

1(mod13，又a

经检验可知a, 此时

bn

只能是 经检验，当(a, bn9模13余2为常数满足条件 30若 1(mod13)，则由②知，对任意正整数n，有 特别地， b(mod13)，故 b．所以 0(mod13)故 1(mod13)．通过检验

6mod13，可知

经检验，当(a, bn an an (a3)3 综合(i、(ii，所求的有序数对(ab为(1144)1010)1212 502：由条件知，对任意正整数n

bn9)(an

bn11 (an

bn10)2(mod13) 10化简得anbn

an2bn

9

由于