云南省昆明市黄冈实验学校高二数学教学设计：选修2-1 2.4.3直线与抛物线的位置关系

云南省昆明市黄冈实验学校高二数学教学设计：选修2-12.4.3直线与抛物线的位置关系授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计思路本节课设计以学生为主体，通过实际问题引入，引导学生探索直线与抛物线的位置关系。通过小组合作、探究讨论，让学生理解并掌握直线与抛物线相交、相切和相离的条件，并能运用所学知识解决实际问题。课程设计注重理论联系实际，培养学生分析问题和解决问题的能力。核心素养目标1.发展数学抽象思维能力，理解直线与抛物线关系的数学模型。

2.培养逻辑推理能力，掌握直线与抛物线相交、相切、相离的判定方法。

3.增强直观想象能力，通过图形直观理解位置关系的几何意义。

4.提升数学建模能力，学会运用数学语言描述和分析现实问题。重点难点及解决办法重点：直线与抛物线相交、相切、相离的判定条件及判定方法。

难点：直线与抛物线相交、相切时方程组的解的情况与位置关系的对应关系。

解决办法：

1.重点：通过实例分析和小组讨论，帮助学生理解判定条件的推导过程，强化对判定公式的记忆和应用。

2.难点：通过数形结合的方式，引导学生观察直线与抛物线交点的几何意义，结合方程组的解的情况，帮助学生建立直观的几何形象，从而突破难点。同时，通过练习题的逐步深化，逐步提高学生解决复杂问题的能力。教学资源1.软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、电脑）、黑板、粉笔。

2.课程平台：学校内部教学平台，用于发布教学资料和作业。

3.信息化资源：直线与抛物线位置关系的动画演示软件、相关数学公式和定理的电子文档。

4.教学手段：实物教具（如直尺、圆规）、多媒体课件、课堂练习题。教学流程1.导入新课

详细内容：首先，通过展示一组直线与抛物线在实际生活中的图片，如抛物线运动轨迹、建筑物的屋顶等，引导学生思考直线与抛物线的位置关系。随后，提出问题：“直线与抛物线之间有哪些位置关系？如何判定这些关系？”以此激发学生的学习兴趣，引出新课内容。

用时：5分钟

2.新课讲授

（1）讲授直线与抛物线相交的条件

详细内容：结合实例，讲解直线与抛物线相交时，方程组的解的情况。通过展示方程组的解与交点个数的关系，引导学生理解“交点个数”的概念，并掌握相交条件的判定方法。

（2）讲授直线与抛物线相切的条件

详细内容：介绍相切的概念，讲解直线与抛物线相切时，方程组的解的情况。通过实例分析，让学生理解相切条件的判定方法，并掌握相切点的坐标求解方法。

（3）讲授直线与抛物线相离的条件

详细内容：讲解相离的概念，分析直线与抛物线相离时，方程组的解的情况。通过实例演示，让学生掌握相离条件的判定方法，并学会分析实际问题中的相离情况。

用时：15分钟

3.实践活动

（1）完成课本练习题

详细内容：布置课本中的相关练习题，要求学生在规定时间内完成。通过练习题的解答，巩固学生对直线与抛物线位置关系的理解，提高学生的解题能力。

（2）小组讨论直线与抛物线的应用

详细内容：将学生分成小组，要求每个小组讨论并举例说明直线与抛物线在现实生活中的应用。通过讨论，让学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的实际应用能力。

（3）展示学生讨论成果

详细内容：每组选出代表，向全班展示讨论成果。教师对学生的展示进行点评，指出优点和不足，帮助学生更好地理解直线与抛物线的应用。

用时：15分钟

4.学生小组讨论

（1）直线与抛物线相交的实例

举例回答：如抛物线y=x^2与直线y=2x相交，求交点坐标。

（2）直线与抛物线相切的实例

举例回答：如抛物线y=x^2与直线y=2x+1相切，求切点坐标。

（3）直线与抛物线相离的实例

举例回答：如抛物线y=x^2与直线y=2x+3相离，说明理由。

用时：10分钟

5.总结回顾

内容：本节课学习了直线与抛物线的位置关系，包括相交、相切、相离三种情况。重点讲解了相交和相切条件的判定方法，难点在于理解方程组的解与位置关系的对应关系。通过实例分析和实践活动，学生应掌握直线与抛物线位置关系的判定方法，并能应用于实际问题。

用时：5分钟

总计用时：45分钟知识点梳理1.直线与抛物线的基本概念

-抛物线的定义：平面上所有点到一个固定点（焦点）的距离与到一条固定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。

-直线的定义：平面上任意两点可以确定一条直线。

2.抛物线的标准方程

-一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0）

-标准形式：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。

3.直线的一般方程

-点斜式：y-y1=m(x-x1)，其中m为斜率，(x1,y1)为直线上的任意一点。

-一般式：Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，且A≠0或B≠0。

4.直线与抛物线的位置关系

-相交：直线与抛物线有两个不同的交点。

-相切：直线与抛物线有一个交点，且该点是抛物线的切点。

-相离：直线与抛物线没有交点。

5.判定直线与抛物线相交、相切、相离的条件

-相交：将直线方程代入抛物线方程，得到一个二次方程，根据判别式Δ（b^2-4ac）的值判定。

-Δ>0，有两个不同的实数解，直线与抛物线相交。

-Δ=0，有一个重根，直线与抛物线相切。

-Δ<0，没有实数解，直线与抛物线相离。

-相切：将直线方程代入抛物线方程，得到的二次方程有一个重根，且重根对应的点满足直线方程。

6.求解直线与抛物线的交点坐标

-将直线方程代入抛物线方程，得到一个二次方程，求解该方程得到交点的横坐标，再将横坐标代入直线方程得到交点的纵坐标。

7.直线与抛物线的几何意义

-交点的几何意义：直线与抛物线的交点可以表示为抛物线上某点的坐标，也可以表示为抛物线在该点处的切线斜率。

-相切点的几何意义：相切点是直线与抛物线的唯一交点，也是抛物线在该点处的切点。

8.直线与抛物线的应用

-在物理学中，抛物线可以描述物体的运动轨迹。

-在工程学中，抛物线可以用于设计抛物面天线等。

-在经济学中，抛物线可以用于描述需求曲线或供给曲线。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《高等数学》中关于二次曲线（包括抛物线、双曲线、椭圆）的章节，了解二次曲线在更高数学领域的应用和性质。

-视频资源：在线教育平台上搜索“抛物线的应用实例”视频，观看抛物线在实际生活中的应用案例，如建筑设计、物理运动轨迹等。

2.拓展要求：

-鼓励学生利用课后时间阅读相关材料，加深对抛物线性质和应用的理解。

-观看视频资源，通过直观的方式了解抛物线在实际问题中的运用，提高对数学知识的兴趣和应用能力。

-学生可以尝试将所学知识应用于解决实际问题，如设计一个简单的抛物线模型，解释其在实际中的应用。

-教师可以推荐一些相关的书籍或网站，供学生进一步学习和研究。

-学生在自主学习过程中遇到疑问，可以及时向教师寻求解答，教师应提供必要的指导和帮助。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了直线与抛物线的位置关系，包括相交、相切、相离三种情况。重点讲解了相交和相切条件的判定方法，以及如何求解交点坐标。通过实例分析和实践活动，学生应该掌握了以下知识点：

1.抛物线的标准方程和直线的一般方程。

2.直线与抛物线相交、相切、相离的判定条件。

3.利用方程组求解直线与抛物线的交点坐标。

当堂检测：

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