线性代数第三章线性方程组33

线性方程组有无解的等价提法线性方程组可以分别写为线性方程组有无解的等价提法线性方程组可以分别写为

Ax

b和x1a1

x2a2

xnan

b

因此

线性方程组Ax

b是否有解

就相当于是否存在一组数

x1

k1

x2

k2

xn

kn

使线性关系式

k1a1

k2a2

knan

b

成立

例如

b

(2,

1,1)

a1

(1,0,0)

a2

(0,1,0)

a3

(0,0,1)

则有

b

2a1

a2

a3

即b是向量组a1

a2

a3的线性组合

或者说b可由a1

a2

a3线性表示

一、向量组的线性组合定义3

5(线性组合与线性表示)

对于给定向量b

a1

a2

as

如果存在一组数k1

k2

ks

使关系式b

k1a1

k2a2

ksas成立

则称向量b是向量组a1

a2

as的线性组合

或称向量b可以由向量组a1

a2

as线性表示

一、向量组的线性组合定义3

5(线性组合与线性表示)

对于给定向量b

a1

a2

as

如果存在一组数k1

k2

ks

使关系式b

k1a1

k2a2

ksas成立

则称向量b是向量组a1

a2

as的线性组合

或称向量b可以由向量组a1

a2

as线性表示

定理3

3(判断方法)

设b

a1

a2

an是m维列向量组

则向量b可由向量组a1

a2

an线性表示的充分必要条件是

以a1

a2

an为列向量的矩阵与以a1

a2

an

b为列向量的矩阵有相同的秩

提示

根据方程x1a1

x2a2

xn

an

b有解的充要条件

定理3

3(判断方法)

设b

a1

a2

an是m维列向量组

则向量b可由向量组a1

a2

an线性表示的充分必要条件是

以a1

a2

an为列向量的矩阵与以a1

a2

an

b为列向量的矩阵有相同的秩

定理的另一叙述

设b

a1

a2

an是m维行向量组

则向量b可由向量组a1

a2

an线性表示的充分必要条件是

以a1T

a2T

anT为列向量的矩阵与以a1T

a2T

anT

bT为列向量的矩阵有相同的秩

定理3

3(判断方法)

设b

a1

a2

an是m维列向量组

则向量b可由向量组a1

a2

an线性表示的充分必要条件是

以a1

a2

an为列向量的矩阵与以a1

a2

an

b为列向量的矩阵有相同的秩

例1

任何一个n维向量a

(a1,a2,

,an)都是n维向量组e1

(1,0,

,0)

e2

(0,1,

,0)

en

(0,0,

,1)的线性组合

这是因为a

a1e1

a2e2

anen

向量组e1

e2

en称为Rn的初始单位向量组

例2

零向量是任何一组向量的线性组合

这是因为o

0

a1

0

a2

0

as

例3

向量组a1

a2

as中的任一向量ai(1

i

s)都是此向量组的线性组合

这是因为ai

0

a1

1

ai

0

as

例4

判断向量b1

(4,3,

1,11)与b2

(4,3,0,11)是否各为向量组a1

(1,2,

1,5)

a2

(2,

1,1,1)的线性组合

若是

写出表示式

设x1a1

x2a2

b1

解

秩(a1Ta2Tb1T)

秩(a1Ta2T)

且存在x1

2

x2

1使2a1

a2

b

所以b1可由a1

a2线性表示

因为二、线性相关与线性无关定理3

4(判断方法)

设a1

a2

an是m维列向量组

则a1

a2

an线性相关的充分必要条件是

以a1

a2

an为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n

提示

根据方程x1a1

x2a2

xn

an

o有非零解的充要条件

定理3

4(判断方法)

设a1

a2

an是m维列向量组

则a1

a2

an线性相关的充分必要条件是

以a1

a2

an为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n

定理的另一叙述

设a1

a2

an是m维行向量组

则a1

a2

an线性相关的充分必要条件是

以a1T

a2T

anT为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n

定理的另一叙述

设a1

a2

an是m维列向量组

则a1

a2

an线性无关的充分必要条件是

以a1

a2

an为列向量的矩阵的秩小等于向量的个数n

定理3

4(判断方法)

设a1

a2

an是m维列向量组

则a1

a2

an线性相关的充分必要条件是

以a1

a2

an为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n

推论1

设n个n维向量ai

(a1i

a2i

ani)(i

1

2

n)

则向量组a1

a2

an线性相关的充分必要条件是

提示

此时齐次线性方程组x1a1

x2a2

xnan

o总有非零解

定理3

4(判断方法)

设a1

a2

an是m维列向量组

则a1

a2

an线性相关的充分必要条件是

以a1

a2

an为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n

推论1

设n个n维向量ai

(a1i

a2i

ani)(i

1

2

n)

则向量组a1

a2

an线性相关的充分必要条件是

推论2

当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时

此向量组线性相关

提示

此时齐次线性方程组x1a1

x2a2

xnan

o总有非零解

例5

Rn中的初始单位向量组e1

e2

en是线性无关的

这是因为行列式所以e1

e2

en线性无关

例6

一个零向量线性相关

而一个非零向量线性无关

因为当a

o时

对任意k

0

都有ka

o成立

当且仅当k

0时ka

o才成立

而当a

o时

例5

Rn中的初始单位向量组e1

e2

en是线性无关的

这是因为行列式所以e1

e2

en线性无关

例7

判断向量组

a1

(1,2,

1,5)

a2

(2,

1,1,1)

a3

(4,3,

1,11)是否线性相关

解

因为秩(A)

2

3

所以向量组a1

a2

a3)线性相关

解

因为

例8

判断向量组

a1

(1,2,0,1)

a2

(1,3,0,

1)

a3

(

1,

1,1,0)是否线性相关

秩(A)

3

所以此向量组线性无关

恰等于向量组中向量的个

证

设x1b1

x2b2

x3b3

o

即

例9

证明

如果向量组a1

a2

a3线性无关

则向量组b1

a1

a2

b2

a2

a3

b3

a3

a1也线性无关

x1(a1

a2)

x2(a2

a3)

x3(a3

a1)

o

整理得(x1

x3)a1

(x1

x2)a2

(x2

x3)a3

o

因为向量组a1

a2

a3线性无关

所以必有即只有x1

x2

x3

0时

x1b1

x2b2

x3b3

o才成立

从而b1

b2

b3线性无关

定理3

5

如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关

则整个向量组线性相关

定理的另一叙述

线性无关的向量组组中任何一部分组皆线性无关

证

定理3

5

如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关

则整个向量组线性相关

例10

含零向量的向量组线性相关

因零向量线性相关

由定理3

5

该向量组也线性相关

定理3

5

如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关

则整个向量组线性相关

定理3

6

向量组a1

a2

as(s

2)线性相关的充分必要条件是

向量组中至少有一个向量是其余s

1个向量的线性组合

>>>定理3

7

如果向量组a1

a2

as

b线性相关

而a1

a2

as线性无关

则向量b可由向量组a1

a2

as线性表示且表示法唯一

>>>例如

任何一个n维向量a

(a1,a2,

,an)都可由n维初始单位向量组e1

(1,0,

,0)

e2

(0,1,

,0)

en

(0,0,

,1)唯一地线性表示

即

a

a1e1

a2e2

anen

向量组间的线性表示设有两个向量组

A

a1

a2

as

和B

b1

b2

bt

如果向量组A中每一向量都可由向量组B线性表示

则称向量组A可由向量组B线性表示

定理3

8

如果向量组A可由向量组B线性表示

而向量组B可由向量组B线性表示

则向量组A可由向量组C线性表示

定理3

9

设有两个向量组

A

a1

a2

as

和B

b1

b2

bt

向量组B可由向量组A线性表示

如果s

t

则向量组B线性相关

定理3

9

设有两个向量组

A

a1

a2

as

和B

b1

b2

bt

向量组B可由向量组A线性表示

如果s

t

则向量组B线性相关

定理的另一叙述

向量组B可由向量组A线性表示

如果B线性无关

则t

s

推论向量组A与B可以互相线性表示

如果向量组A与B都是线性无关的

则s

t

向量组A线性无关且可由向量组B线性表示

则s

t

向量组B线性无关且可由向量组A线性表示

则t

s

证明

于是s

t

例如

已知二维向量组

a1

(0,1)

a2

(1,0)

a3

(1,1)

a4

(0,2)

向量组a1

(0,1)

a2

(1,0)线性无关

且能表示其它向量

所以向量组a1

a2是向量组a1

a2

a3

a4的一个极大无关组

同样a2

a4也是一个极大无关组

全体n维向量构成的向量组记作Rn

则初始单位向量组是它的一个最大无关组

三、向量组的秩定义3

7(极大无关组)

设S是含m个n维向量的向量组

Sr是由S的r个线性无关的向量构成的向量组

如果S的任意r

1个向量都线性相关

则Sr称为S的一个极大线性无关部分组

简称极大无关组

三、向量组的秩定义3

7(极大无关组)

设S是含m个n维向量的向量组

Sr是由S的r个线性无关的向量构成的向量组

如果S的任意r

1个向量都线性相关

则Sr称为S的一个极大线性无关部分组

简称极大无关组

定理3

10

如果Sr是S的线性无关部分组

则它是极大无关组的充分必要条件是

S中的每一个向量都可由