【RJ版春季课程初二数学】第06讲 勾股定理逆定理 教案（学生版）

第第6讲讲勾股定理逆定理概述概述适用学科初中数学适用年级初二适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点勾股定理的逆定理；互逆命题和互逆定理；勾股定理逆定理的应用；勾股数。教学目标了解勾股定理的逆定理的证明方法。掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。理解互逆命题、互逆定理的含义并能找出一个命题的逆命题。教学重点用勾股定理逆定理解决问题。教学难点勾股定理逆定理的探索过程。【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，仅举两种方法：情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。提供一个教学设计供讲师参考：一、课堂导入古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。二、复习预习1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方等于斜边的平方。2、定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。3、命题：判断事物是正确的或是错误的句子叫做命题。它是由题设（或条件）和结论两部分组成的。有的命题成立，有的命题不成立。二、知识讲解二、知识讲解考点1考点1勾股定理逆定理如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。它也被称为勾股定理的逆定理。在实际判断中，已知三角形的三边，就看是否最长边的平方等于其他两边的平方和，则该三角形为直角三角形；否则，该三角形不是直角三角形。注意：（1）此定理是直角三角形的判定定理，必须已知三角形的三边，且满足两短边的平方和等于最长边的平方，才可判断这个三角形是直角三角形，和最长边所对的角是直角。（2）不能机械地认为c边所对的角必为直角。如三角形的三边a,b,c之间满足a2-b2=c2,则a边所对的角就是直角。（3）a2+b2是否等于c2,必须通过计算验证，不能形成思维定式，总认为：a2+b2=c2考点考点2互逆定理，互逆命题的概念勾股定理和勾股定理的逆定理的题设、结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。例如：有两个命题，它们的题设、结论正好相反，如果把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题。如果命题1经过证明是正确的，我们把它称为定理，，而命题2是命题1的逆命题，经过证明也是正确的，它也是一个定理。我们称这两个定理互叫做逆定理。注意：（1）原命题成立的情况下，它的逆命题不一定成立；反过来，逆命题成立，它的原命题也不一定成立，它们成立与否有必然联系。（2）一个命题一定有逆命题，而一个定理就不一定有逆定理。考点考点3勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理主要应用于以下两个方面：（1）判断三角形是不是直角三角形；（2）解决方向角问题。对于后者，根据实际问题建立数学模型，画出图形是关键。勾股数：能够成为直角三角形三条边的三个正整数，称为勾股数。注意：（1）常见勾股数有3，4，5；6，8，10；5，12，13；9，12，15.（2）若a,b,c为一组勾股数，则na,nb,nc也是一组勾股数（n为正整数）。考点1一元二次方程的定义三、例题三、例题精析类型一勾股定理的逆定理例题1例题1下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m2+n2,m2–n2,2mn(m,n均为正整数,mn);④,,.其中能组成直角三角形的三边长的是()A.①②;B.①③;C.②③;D.③④例题2例题2下列命题中，假命题的是（）A．在△ABC中，若∠B+∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2＝（b＋c）（b－c），则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形类型二互逆命题、互逆定理的概念例题1例题1说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？如果两个实数相等，那么它们的相反数相等；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；两直线平行，同旁内角互补；全等三角形的对应高相等。类型三勾股定理的逆定理的运用例题1例题1“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？PPEQRN远航海天例题例题2在等边△ABC内有一点P，已知PA=3，PB=4，PC=5.现将△APB绕A点逆时针旋转60°，使P点到达Q点，连PQ，猜想△PQC的形状，并论证你的猜想.四、课堂运用四、课堂运用基础基础判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：a＝15,b＝8,c＝17a＝13,b＝15,c＝14满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是A.b2=c2－a2B.a∶b∶c=3∶4∶5C.∠C=∠A－∠BD.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15已知,则由此为三边的三角形是三角形.如图18－2－7，四边形ABCD中，，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．巩固巩固如果△ABC的三边分别为m2－1，2m，m2+1(m＞1)那么A.△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1B.△ABC是直角三角形，且斜边长2为mC.△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定D.△ABC不是直角三角形给出下列几组数：①；②8，15，16;③n2－1，2n，n2＋1；④m2－n2，2mn，m2＋n2（m>n>0）．其中—定能组成直角三角形三边长的是（）．A．①②B．③④C．①③④D．④有一只喜鹊正在一棵高3m的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24m且高为14m的一棵大树上，巢距离大树顶部1m，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，便立即赶过去．如果它飞行的速度为5m／s，那么它至少需要几秒才能赶回巢中?。为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：①能组成一个三角形②能组成三角形③能组成直角三角形④能组成直角三角形其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4拔高拔高我们知道，以3，4，5为边长的三角形为直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．（1）请你根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；（2）试用数学等式描述上述勾股数组的规律；（3）请证明你所发现的规律．为了庆祝红宝石婚纪念日，詹克和凯丽千家举行聚会．詹克忽然发现他的年龄的平方与凯丽年龄的平方的差，正好等于他的子女数目的平方，已知詹克比凯丽大一岁，现在他们都不到70岁．请问，当年结婚时，两个人各是多少岁?现在共有子女几人?（在西方，结婚40周年被称为红宝石婚，且该国的合法结婚年龄为16岁）五、课堂小结五、课堂小结1、勾股定理的逆定理2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题3、什么称为互为逆定理。六、拓展延伸六、拓展延伸基础基础三角形的三边长为,则这个三角形是()A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形.等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是（）A．8B．10C．11个D．12个的两边分别为5，12，另—边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c应为_________，此三角形为________．如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。如图18－2－8，校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m，另一棵树高8m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______m．如图