人教版八年级上册数学 讲义 第05讲 角平分线的性质 讲义+练习（教师版）

角平分线的性质适用学科适用年级适用区域人教版课时时长（分钟）120知识点角平分线的性质教学目标通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．教学重点应用角的平分线性质定理．教学难点应用“综合法”进行表达【知识导图】一、导入一、导入复习预习1、利用练习题的形式复习全等三角形的五个判定2、复习三角形的边、角的性质，以及与三角形有关的线，其中挑出角平分线进行重点复习。二、知识讲解二、知识讲解角平分线上的点到角两边的距离相等。角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。操作观察：已知：∠AOB．求法：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E求证：PD=PE．【答案】证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中，∴△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE【解析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？【答案】已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．证明：经过点P作射线OC．∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt△PDO和Rt△PEO中，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）∴∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的平分线．【解析】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是______【答案】2【解析】过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出CD=ED，代入求出即可．解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，∴DC=DE=2（角平分线性质），故答案为：2．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的有（）AF平分BCB．AF平分∠BACC．AF⊥BCD．以上结论都正确【答案】B【解析】解：过F点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D，∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，∴EF=GF，GF=DF，∴EF=DF，∴AF平分∠BAC．故选B．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=【答案】2【解析】作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半解题△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=————【答案】由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，

即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，

所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，

∠ABC+∠ACB=180-40=140°

∠OBC+∠OCB=70°

∠BOC=180-70=110°【解析】由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△DEB的周长为10cm，求斜边AB的长【答案】∵AD平分∠BAC∴DE=CD∴△ACD≌△AED∴AC=CB=AE∴AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE=10cm【解析】由AD平分∠BAC交BC于点D，可以知道本题满足角平分线的性质定理得到：DE=CD,△ACD≌△AED，则AC=CB=AE，则AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE即可求出在△ABC中，∠ABC=100，∠ACB=20，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20°。求∠CED的度数。【答案】10°【解析】此题是考查利用角平分线的性质求角的度数。解：作EF⊥AC，延长CB，作EG⊥CB，EH⊥BD∵CE平分∠ACB，∠ACB=200，∴∠BCE=∠DCE=100，∵∠CBD=200，∴∠BDA=400∵∠ABC=1000，∠CBD=200∴∠ABG=800，∠ABD=800∴∠ABG=∠ABD，∴EH=EG可证△BEH≌△BEG（AAS）∵CE平分∠ACB，∴EF=EG（角平分线性质定理），∴EF=EH∴DE平分∠BDA（角平分线的判定定理），∴∠EDA=200∵∠EDA=∠ECA+∠CED，∴∠CED=200-100=100四、课堂运用四、课堂运用1、的角平分线AD交BC于点D，，则点D到AB的距离是（）A．1B．2C．3D．42、如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（）A．3B．4C．5D．6答案与解析BA1、到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）Ａ．三条中线的交点 Ｂ．三条高的交点Ｃ．三条边的垂直平分线的交点 Ｄ．三条角平分线的交点2、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB答案与解析D略1.AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下面三个结论:图1-4-15①OA=OD;②AD⊥EF;③AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是()A.①②B.①③C.②D.②③2.观察猜想探究:在△ABC中,∠ACB=2∠B.(1)如图1-4-19①,当∠C=90°,AD为∠BAC的平分线时,求证:AB=AC+CD;(2)如图1-4-19②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的平分线时,线段AB,AC,CD有怎样的数量关系?不需要证明,直接写出你的猜想;(3)如图1-4-19③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB,AC,CD有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.答案与解析1[答案]D[解析]∵AD平分∠EAF,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,又AD为公共边,∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).∴AE=AF,∴AD垂直平分EF,AE2+DF2=AF2+DE2,②③正确.2[答案]答案见解析[解析](1)证明:过D作DE⊥AB,交AB于点E,如图①.∵AD为∠BAC的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DE=DC,∠AED=∠ACD=90°,在Rt△ACD和Rt△AED中,∵AD=AD,DC=DE,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵∠ACB=2∠B,∴∠AED=2∠B.又∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠B=∠EDB.∴BE=DE=DC.∴AB=BE+AE=CD+AC.(2)AB=CD+AC.(3)AB=CD-AC.在AF上截取AG=AC,连接GD,如图②,∵AD为∠FAC的平分线,∴∠GAD=∠CAD.在△ADG和△ADC中,∵∴△ADG≌△ADC(SAS).∴CD=GD,∠AGD=∠ACD.∴∠ACB=∠FGD.∵∠ACB=2∠B,∴∠FGD=2∠B.又∵∠FGD=∠B+∠GDB,∴∠B=∠GDB.∴BG=DG=DC.∴AB=BG-AG=CD-AC.五、课堂小结五、课堂小结角平分线的性质六、课后作业六、课后作业1.如图1-4-1,已知OP是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,则下列结论错误的是()A.PE=PDB.OE=ODC.∠DPO=∠EPOD.OD=PE2.如图1-4-3,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC,求证:OB=OC.3.如图1-4-5,∠AOB=60°,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,且CD=CE,则∠DOC=________.1[答案]D[解析]由题意可得PD=PE,△ODP与△OEP均为直角三角形,又OP=OP,∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL),故OE=OD,∠DPO=∠EPO.故选D.2[答案]答案见解析[解析]证明∵AO平分∠BAC,CD⊥AB,BE⊥AC,∴OD=OE.在△BOD和△COE中,∠BDO=∠CEO=90°,OD=OE,∠DOB=∠EOC,∴△BOD≌△COE(ASA),∴OB=OC(全等三角形的对应边相等).3[答案]30°[解析]∵CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,∴点C在∠AOB的平分线上,∴OC平分∠AOB,∴∠DOC=12∠AOB=11.如图1-4-12,在△ABC中,BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,并且BD,CE相交于点O,过O点作OP⊥BC于点P,OM⊥AB于点M,ON⊥AC于点N,则OP,OM,ON的大小关系是______________.2.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下面三个结论:图1-4-15①OA=OD;②AD⊥EF;③AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是()A.①②B.①③C.②D.②③3.如图，△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为()A.48°B.36°C.30°D.24°答案与解析1[答案]OP=OM=ON[解析]因为BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,并且BD,CE相交于点O,OP⊥BC,OM⊥AB,ON⊥AC,所以OM=OP,ON=OP,所以OP=OM=ON.2[答案]D[解析]∵AD平分∠EAF,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,又AD为公共边,∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).∴AE=AF,∴AD垂直平分EF,AE2+DF2=AF2+DE2,②③正确.3[答案]A[解析]∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∵EF是BC的垂直平分线,∴FB=FC,∴∠FCB=∠DBC,∵∠ABD=24°,∴∠FCB=∠DBC=∠ABD=24°,又∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,即∠ABD+∠DBC+∠ACF+∠FCB=120°,∴∠ACF=120°-24°-24°-24°=48°.1.如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=()图1-4-17A.118°B.119°C.120°D.121°2.观察猜想探究:在△ABC中,∠ACB=2∠B.(1)如图1-4-19①,当∠C=90°,AD为∠BAC的平分线时,求证:AB=AC+CD;(2)如图1-4-19②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的平分线时,线段AB,AC,CD有怎样的数量关系?不需要证明,直接写出你的猜想;(3)如图1-4-19③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB,AC,CD有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.3如图1-4-9所示,△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为12、10、6,其三条角平分线的交点为O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=________.答案与解析1[答案]C[解析]∵∠A=60°,∠ABC=42°,∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=78°.∵BE、CD为∠ABC、∠ACB的平分线,∴∠FBC=12∠ABC=21°,∠FCB=1∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120°,故选C.2[解析](1)证明:过D作DE⊥AB,交AB于点E,如图①.∵AD为∠BAC的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DE=DC,∠AED=∠ACD=90°,在Rt△ACD和Rt△AED中,∵AD=AD,DC=DE,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵∠ACB=2∠B,∴∠AED=2∠B.又∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠B=∠EDB.∴BE=DE=DC.∴AB