2026年四川省成人高考数学（理）全真模拟试题（含数列通项公式）高频考点复习指南

2026年四川省成人高考数学（理）全真模拟试题（含数列通项公式）高频考点复习指南考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_3=7$，$a_5=11$，则该数列的通项公式为$a_n=$(A)$3n+4$(B)$4n+3$(C)$2n+5$(D)$n+6$2.已知等比数列$\{b_n\}$中，$b_1=2$，$b_4=16$，则该数列的通项公式为$b_n=$(A)$2^n$(B)$2^{n-1}$(C)$2^{n+1}$(D)$4^n$3.设数列$\{c_n\}$满足$c_1=1$，$c_n=c_{n-1}+2n$（$n\geq2$），则$c_6$的值为(A)21(B)22(C)23(D)244.设数列$\{d_n\}$满足$d_1=1$，$d_n=2d_{n-1}+1$（$n\geq2$），则该数列的通项公式为$d_n=$(A)$2^n-1$(B)$2^n+1$(C)$3^n-1$(D)$3^n+1$5.已知数列$\{e_n\}$的前$n$项和为$S_n=n^2+n$，则该数列的通项公式为$e_n=$(A)$2n$(B)$2n+1$(C)$n+1$(D)$n$二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。6.已知数列$\{f_n\}$的通项公式为$f_n=3n-2$，则$f_1+f_2+\cdots+f_5$的值为7.已知数列$\{g_n\}$的通项公式为$g_n=2^n$，则$\frac{g_2}{g_1}\cdot\frac{g_3}{g_2}\cdot\frac{g_4}{g_3}\cdots\frac{g_n}{g_{n-1}}$的值为8.设数列$\{h_n\}$满足$h_1=2$，$h_n=\frac{h_{n-1}}{n}$（$n\geq2$），则$h_4$的值为9.设数列$\{k_n\}$的前$n$项和为$S_n=2^n-1$，则该数列的通项公式为$k_n=$10.已知数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$都是等比数列，且$a_1=1$，$b_1=2$，$a_3=b_2$，则$a_5+b_5=$三、解答题：本大题共5小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11.(本小题满分10分)设数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=n^2+2n$，求该数列的通项公式，并证明它是等差数列。12.(本小题满分10分)设数列$\{b_n\}$满足$b_1=1$，$b_n=b_{n-1}+\frac{1}{n(n+1)}$（$n\geq2$），求该数列的通项公式。13.(本小题满分10分)设数列$\{c_n\}$满足$c_1=2$，$c_n=2c_{n-1}-1$（$n\geq2$），求该数列的通项公式，并用数学归纳法证明之。14.(本小题满分10分)已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n(n+1)$，求数列$\{\frac{1}{a_n}\}$的前$n$项和$S_n$。15.(本小题满分10分)在一个无穷等比数列中，各项均为正数，且从第三项起，每一项都等于它相邻两项之和的$\frac{1}{3}$，求该数列的公比和首项的取值范围。试卷答案一、选择题1.(B)2.(A)3.(C)4.(D)5.(B)二、填空题6.557.2^{n-1}8.$\frac{1}{6}$9.$2^n$(当$n=1$时成立;当$n\geq2$时,$k_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}$,综上,$k_n=2^n$)10.34三、解答题11.解：$a_1=S_1=3$.当$n\geq2$时,$a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1$.当$n=1$时,$a_1=3$满足上式.故$a_n=2n+1$.数列$\{a_n\}$是等差数列,首项为3,公差为2.12.解：$b_n-b_{n-1}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.故$b_2=b_1+\frac{1}{1\cdot2}=1+1=2$,$b_3=b_2+\frac{1}{2\cdot3}=2+\frac{1}{6}=\frac{13}{6}$,$b_4=b_3+\frac{1}{3\cdot4}=\frac{13}{6}+\frac{1}{12}=\frac{27}{12}=\frac{9}{4}$.观察上述结果,$\frac{b_n}{n}=\frac{b_{n-1}}{n-1}+\frac{1}{n(n-1)}=\frac{b_{n-1}}{n-1}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=\frac{b_{n-1}}{n-1}+1-\frac{1}{n}$.故$\frac{b_n}{n}-\frac{b_{n-1}}{n-1}=1-\frac{1}{n}$.于是$\frac{b_2}{2}-\frac{b_1}{1}=1-\frac{1}{2}$,$\frac{b_3}{3}-\frac{b_2}{2}=1-\frac{1}{3}$,$\frac{b_4}{4}-\frac{b_3}{3}=1-\frac{1}{4}$.以上各式相加得$\frac{b_n}{n}-\frac{b_1}{1}=(1-\frac{1}{2})+(1-\frac{1}{3})+\cdots+(1-\frac{1}{n})=(n-1)-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})=n-1-(\frac{1}{1}-1)-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-\cdots-(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})=n-1-1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}=n-\frac{1}{n}$.故$b_n=n(n-\frac{1}{n})=n^2-1$.13.解：$c_2=2c_1-1=2\cdot2-1=3$,$c_3=2c_2-1=2\cdot3-1=5$,$c_4=2c_3-1=2\cdot5-1=9$.观察$c_n-c_{n-1}$,$c_2-c_1=3-2=1$,$c_3-c_2=5-3=2$,$c_4-c_3=9-5=4$.$c_{n}-c_{n-1}=2c_{n-1}-1-c_{n-1}=c_{n-1}-1=2(c_{n-2}-1)=2^{n-2}\cdot(c_1-1)=2^{n-2}\cdot1=2^{n-2}$.故$c_n=c_{n-1}+2^{n-2}=c_{n-2}+2^{n-3}+2^{n-2}=\cdots=c_1+2^0+2^1+\cdots+2^{n-2}=1+\frac{1-2^{n-1}}{1-2}=1-(1-2^{n-1})=2^{n-1}$.下面用数学归纳法证明:(1)当$n=1$时,$c_1=2^{1-1}=2^0=1$,结论成立.(2)假设当$n=k$($k\geq1$)时结论成立,即$c_k=2^{k-1}$.则当$n=k+1$时,$c_{k+1}=2c_k-1=2\cdot2^{k-1}-1=2^k-1$.故当$n=k+1$时结论也成立.根据(1)和(2),对任意$n\geq1$,$c_n=2^{n-1}$成立.14.解：$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.故$S_n=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$.15.解：设数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$.由题意知$q>0$,且$a_{n+2}=\frac{1}{3}(a_{n+1}+a_n)$,即$3a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$.取$n=1$,得$3a_3=a_2+a_1$.取$n=2$,得$3a_4=a_3+a_2$.两式相减得$3(a_4-a_3)=(a_3-a_2)+(a_2-a_1)$.由$a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_{n+1}+a_n)-a_{n+1}=-\frac{2}{3}a_{n+1}+\frac{1}{3}a_n$得$a_4-a_3=-\frac{2}{3}a_3+\frac{1}{3}a_2$,$a_3-a_2=-\frac{2}{3}a_2+\frac{1}{3}a_1$.代入上式得$3(-\frac{2}{3}a_3+\frac{1}{3}a_2)=(-\frac{2}{3}a_2+\frac{1}{3}a_1)+(-\frac{2}{3}a_2+\frac{1}{3}a_1)$.整理得$-2a_3=-\frac{4}{3}a_2+\frac{2}{3}a_1$,即$3a_3=2a_2-a_1$.结合$3a_3=a_2+a_1$,得$2a_2-a_1=a_2+a_1$,即$a_2=2a_1$.代入$3a_3=a_2+a_1$得$3a_3=2a_1+a_1=3a_1$,故$a_3=a_1$.由$a_{n+2}-a_{n+1}=-\frac{2}{3}a_{n+1}+