人教版八年级上册数学 讲义 第04讲 全等三角形的判定2讲义+练习（教师版）

全等三角形的判定2适用学科适用年级适用区域人教版课时时长（分钟）120知识点全等三角形的判定教学目标理解“角边角”、“角角边”、“斜边直角边”判定三角形全等的方法．经历探索“角边角”、“角角边”、“斜边直角边”判定三角形全等的过程，能运用已学三角形判定法解决实际问题．培养良好的几何推理意识，发展思维，感悟全等三角形的应用价值．教学重点应用“角边角”、“角角边”、“斜边直角边”判定三角形全等教学难点学会综合法解决几何推理问题．【知识导图】一、导入一、导入1．小菁做了一个如图1所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD，将上述条件注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？(1)(2)[答案：能，因为根据“SAS”，可以得到△EDH≌△FDH，从而EH=FH。]2．如图2，AB=AD，AC=AE，能添上一个条件证明出△ABC≌△ADE吗？[答案：BC=DE（SSS）或∠BAC=∠DAE（SAS）]．3．如果两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形一定会全等吗？试举例说明．二、知识讲解二、知识讲解问题探究：先任意画一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即使两角和它们的夹边对应相等），把画出的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？动手操作，感知问题的规律，画图如下：画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B：画A′B′=AB；在A′B′的同旁画∠DA′B′=∠A，∠EBA′=∠B，A′D，B′E交于点C′。探究规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）．在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？运用三角形内角和定理，以及“ASA”很快证出△ABC≌△EFD，并且归纳如下：归纳规律：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简与成AAS）．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”。一般三角形全等的条件对直角三角形同样适用，但“HL”定理只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用……如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：AD=AE．【答案】证明：在△ACD与△ABE中，∴△ACD≌△ABE（ASA）∴AD=AE【解析】本题利用全等三角形“角边角”的判定证明两个三角形全等，当证明完毕三角形全等之后就可以得到两个三角形其余的对应量相等。如图，小华不小心把一块三角形玻璃打碎为三块，他能否只带其中一块碎片到商店，就能配出一块和原来一样的三角形玻璃？如果能，带哪一块去？为什么？【答案】解：a只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；

b则只保留了部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；

而c不但保留了一个完整的边还保留了两个角，所以应该带“C”去，根据全等三角形判定“ASA”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃．【解析】此题是对全等三角形的判定方法在实际生活中的考查，通过实际情况来考查学生对常用的判定方法的掌握情况．小颖在作业本上画的△ABC被墨迹污染（如图），请你帮助小颖用尺规作一个与原来完全一样的△A'B'C'．要求：保留作图痕迹，不写作法，说明你的理由．【答案】解：作图：理由：△A′B′C′≌△ABC．【解析】此题考查全等三角形判定的应用及作图能力，难度不大已知：如图11-114所示，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′上的高，且AD＝A′D′．判断∠B和∠B′的关系．【答案】解：∠B＝∠B′．理由如下：∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的高，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°．在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′（HL）．∴∠B＝∠B′（全等三角形的对应角相等）【解析】先证Rt△ADB≌Rt△A′D′B′，根据条件AB＝A′B′，AD＝A′D′，用HL证明如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC【答案】证明：在Rt△ADC与Rt△BCD中AC=BD，CD=CD.∴Rt△ADC与Rt△BCD.（HL）∴AD=BC.（全等三角形的对应边相等）【解析】HL（斜边、直角边）即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等四、课堂运用四、课堂运用已知如图：AB//CD,AD//BC求证：AB=CD已知如图：AB//DE,BC//EF,AF=DC,求证：∠B=∠E3、已知：点A、C、B、D在同一条直线，AC=BD，AM∥CN，BM∥DN．求证：AM=CN，MB=ND。4、如图，AB∥DE，BF=EC，A=D。求证：AC=DF。（第4题图）（第4题图）5、如图已知：ABAC，DC=EB，AD=AE，求证AB=AC答案与解析略如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．2、如图，已知△≌△是对应角．

（1）写出相等的线段与相等的角；（2）若EF=2.1cm，FH=1.1cm，HM=3.3cm，求MN和HG的长度.3、

如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD．答案与解析1、分析：由△ABC≌△ADE，可得∠DAE=∠BAC=（∠EAB-∠CAD），根据三角形外角性质可得∠DFB=∠FAB+∠B.因为∠FAB=∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形外角性质可得∠DGB=∠DFB-∠D，即可得∠DGB的度数．解：∵△ABC≌△ADE，

∴∠DAE=∠BAC=（∠EAB-∠CAD）=．

∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°，

∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°．2、分析：（1）根据△≌△是对应角可得到两个三角形中对应相等的三条边和三个角；（2）根据（1）中的相等关系即可得的长度．解：（1）因为△≌△是对应角，

所以.

因为GH是公共线段，所以.（2）因为2.1cm，

所以=2.1cm.

因为3.3cm，

所以.3、分析：（1）要证OA=OB，由等角对等边知需证∠CAB=∠DBA，由已知△ABC≌△BAD即可证得．（2）要证AB∥CD，根据平行线的性质需证∠CAB=∠ACD，由已知和（1）可证得∠OCD=∠ODC，又因为∠AOB=∠COD，所以可证得∠CAB=∠ACD，即AB∥CD获证．证明：（1）因为△ABC≌△BAD，所以∠CAB=∠DBA，所以OA=OB．（2）因为△ABC≌△BAD，所以AC=BD.又因为OA=OB，所以AC-OA=BD-OB，即OC=OD,所以∠OCD=∠ODC.因为∠AOB=∠COD，∠CAB=，∠ACD=，所以∠CAB=∠ACD，所以AB∥CD．1.如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．2如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：（1）BD=DE+CE；（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？答案与解析1【答案】∠DFB=90°，∠DGB=65°.【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠BAC=（∠EAB-∠CAD）=(120°−10°)＝55°．∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°．2【答案】(1)见解析(2)△ABD满足∠ADB=90°.【解析】（1）解：∵△BAD≌△ACE，∴BD=AE，AD=CE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=DE+CE．（2）解：△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE，理由是：∵△BAD≌△ACE，∴∠E=∠ADB=90°（添加的条件是∠ADB=90°），∴∠BDE=180°-90°=90°=∠E，∴BD∥CE．3、【解析】解：求△DBE的周长，即求DE+EB+BD的值．∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE．可证△ACD≌△AED．∴AC=AE．又∵AC=BC，∴DE+EB+BD=DC+EB+BD=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB．又∵AB=10cm，∴△DBE的周长=DB+BE+DE=10cm．∴△DBE的周长是10cm．五、课堂小结五、课堂小结本节课主要讲授的是全等三角形的证明，用AAS及ASA的判定方法证明三角形全等。熟练掌握三角形全等的证明方法，并进行应用，从得到其他的条件。六、课后作业六、课后作业1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA．2.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE=AD+BE．3.如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1=∠2，D为AC上一点，AD=AB，则（）A．∠1=∠EFDB．FD∥BCC．BF=DF=CDD．BE=EC答案与解析1【答案】证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BEC=∠CDA=90°，在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°，在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA．【解析】本题根据AAS证明两三角形全等，难度适中．2【答案】证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ACD+∠BCE=90°，又∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，而∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠CAD．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴AD=CE，DC=EB．又∵DE=DC+CE，∴DE=EB+AD．【解析】先证明∠BCE=∠CAD，再证明△ADC≌△CEB，可得到AD=CE，DC=EB，等量代换，可得出DE=AD+BE．1.如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D点，AD=2.5cm，DE=1.7cm，则BE的长为（）A．0.8B．1C．1.5D．4.22.如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE．求证：∠B+∠ADC=180°．3.AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO=AC，BC=7，CD=2，则AO的长为（）答案与解析1.【答案】A．∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE=DC．CE=AD=2.5．∵DC=CE﹣DE，DE=1.7cm，∴DC=2.5﹣1.7=0.8．【解析】先得出∠E=∠ADC=90°，再由△CEB≌△ADC得出BE=DC，就可以求出BE的值．2略3.51.OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PE⊥OB，垂足为点E，点M，N分别在线段OD和射线EB上，PM=PN，∠AOB=68°，求∠MPN的度数．2.如图，在△ABC中，点Q、P分别是边AC、BC上的点，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，则下列结论：①AP平分∠BAC；②QP∥AB；③AS=AR；④△BPR≌△QSP，其中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④3.已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．答案与解析1【答案】∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOP=∠EOP，又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠DOP=∠EOP，在△ODP和△OPE中，，∴△ODP≌△OPE（AAS）∴PD=PE．∠PDO=∠PEO=∠PEN=90°．∵∠PDO+∠PEO+∠DPE+∠AOE=360°，∠AOB=68°，∴∠DPE=112°．在Rt△PDM和Rt△PEN中，，∴Rt△PDM≌Rt△PEN（HL），∴∠DPM=∠EPN．∴∠DPM+MPE=∠EPN+∠MPE，∴∠DPE=∠EPN=112°．【解析】根据四边形的内角和可得出∠DPE的值，证明△PDM≌△PEN得出∠DPM=∠EPN．2【答案】A．∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，即AP平分∠BAC，①正确；∴∠PAR=∠PAQ，∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠APQ=∠PAR，∴QP∥AB，②正确；在△APR与△APS中，，∴△APR≌△APS（HL），∴AR=AS，③正确；△BPR和△QSP只能知道PR=PS，∠BRP=∠QSP=90°，其他不容易得到，所以，不一定全等．④错误．综上所述，①②③正确．【解析】准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键3【答案】（1）证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，由题意知，在Rt△OEB和Rt△OFC中，，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠ABC=