2026年四川省成人高考数学（理）全真模拟试题：数列通项公式推导攻略

2026年四川省成人高考数学（理）全真模拟试题：数列通项公式推导攻略考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.本试卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2-2n$，则$a_5$等于(A)24(B)30(C)36(D)422.等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=5$，公差$d=-2$，则$a_{10}$等于(A)-13(B)-15(C)-17(D)-193.等比数列$\{b_n\}$中，若$b_1=2$，公比$q=3$，则$b_4$等于(A)18(B)24(C)36(D)544.已知数列$\{c_n\}$满足$c_n=c_{n-1}+5$，且$c_1=1$，则$c_{10}$等于(A)44(B)49(C)54(D)595.已知数列$\{d_n\}$满足$d_n=2d_{n-1}$，且$d_1=1$，则$d_5$等于(A)4(B)8(C)16(D)32二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。6.等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=7$，$a_5=15$，则公差$d$等于________。7.等比数列$\{b_n\}$中，若$b_1=1$，$b_4=81$，则公比$q$等于________。8.等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=2n^2+3n$，则$a_6$等于________。9.等比数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n=2^{n+1}-2$，则$b_3$等于________。10.已知数列$\{c_n\}$满足$c_n=n(n+1)$，则$c_1+c_2+\cdots+c_5$等于________。三、解答题：本大题共5小题，共100分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11.(15分)已知数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_2=7$，$a_5=15$。求：(1)数列$\{a_n\}$的通项公式；(2)数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$。12.(15分)已知数列$\{b_n\}$是等比数列，且$b_1=2$，$b_4=16$。求：(1)数列$\{b_n\}$的通项公式；(2)数列$\{b_n\}$的前$n$项和$S_n$。13.(20分)已知数列$\{c_n\}$满足$c_n=c_{n-1}+3n$，且$c_1=2$。求：(1)数列$\{c_n\}$的通项公式；(2)数列$\{c_n\}$的前$n$项和$S_n$。14.(20分)已知数列$\{d_n\}$满足$d_n=2d_{n-1}-1$，且$d_1=2$。求：(1)数列$\{d_n\}$的通项公式；(2)数列$\{d_n\}$的前$n$项和$S_n$。15.(30分)已知数列$\{a_n\}$满足$a_n=a_{n-1}+\frac{1}{n(n+1)}$，且$a_1=1$。求：(1)数列$\{a_n\}$的通项公式；(2)数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$。(3)求$\lim_{n\to\infty}a_n$。试卷答案一、选择题1.C2.C3.D4.B5.D二、填空题6.27.38.399.410.55三、解答题11.解：(1)设数列$\{a_n\}$的公差为$d$。由$a_2=7$，$a_5=15$，得$\begin{cases}a_1+d=7\\a_1+4d=15\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_1=5\\d=2\end{cases}$。所以数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d=5+(n-1)\cdot2=2n+3$。(2)数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(5+(2n+3))}{2}=\frac{n(2n+8)}{2}=n^2+4n$。12.解：(1)设数列$\{b_n\}$的公比为$q$。由$b_1=2$，$b_4=16$，得$\begin{cases}b_1=2\\b_1q^3=16\end{cases}$，解得$\begin{cases}b_1=2\\q^3=8\end{cases}$，即$\begin{cases}b_1=2\\q=2\end{cases}$。所以数列$\{b_n\}$的通项公式为$b_n=b_1q^{n-1}=2\cdot2^{n-1}=2^n$。(2)因为$q=2$，所以数列$\{b_n\}$的前$n$项和$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{2(1-2^n)}{1-2}=2(2^n-1)=2^{n+1}-2$。13.解：(1)由$c_n=c_{n-1}+3n$，得$c_n-c_{n-1}=3n$。将上述等式从$n=2$到$n$求和，得$\sum_{k=2}^{n}(c_k-c_{k-1})=\sum_{k=2}^{n}3k$，即$c_n-c_1=3(2+3+\cdots+n)$。由等差数列求和公式，$2+3+\cdots+n=\frac{(2+n)(n-1)}{2}$。所以$c_n-2=3\cdot\frac{(2+n)(n-1)}{2}=\frac{3n^2+3n-6}{2}$。由$c_1=2$，得$c_n=\frac{3n^2+3n}{2}$。(2)数列$\{c_n\}$的前$n$项和$S_n=\sum_{k=1}^{n}c_k=\sum_{k=1}^{n}\frac{3k^2+3k}{2}=\frac{3}{2}\sum_{k=1}^{n}k^2+\frac{3}{2}\sum_{k=1}^{n}k$。由等差数列和等平方数列求和公式，得$S_n=\frac{3}{2}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{3}{2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{2}$。14.解：(1)由$d_n=2d_{n-1}-1$，得$d_n+1=2(d_{n-1}+1)$。令$b_n=d_n+1$，则$b_n=2b_{n-1}$。因为$d_1=2$，所以$b_1=d_1+1=3$。所以数列$\{b_n\}$是首项为3，公比为2的等比数列，其通项公式为$b_n=3\cdot2^{n-1}$。所以数列$\{d_n\}$的通项公式为$d_n=b_n-1=3\cdot2^{n-1}-1$。(2)数列$\{d_n\}$的前$n$项和$S_n=\sum_{k=1}^{n}d_k=\sum_{k=1}^{n}(3\cdot2^{k-1}-1)$。$S_n=3\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}-\sum_{k=1}^{n}1=3(2^n-1)-n=3\cdot2^n-3-n$。15.解：(1)由$a_n=a_{n-1}+\frac{1}{n(n+1)}$，得$a_n-a_{n-1}=\frac{1}{n(n+1)}$。将上述等式从$n=2$到$n$求和，得$\sum_{k=2}^{n}(a_k-a_{k-1})=\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$，即$a_n-a_1=\sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$。这是一个望远镜求和，求和后得$a_n-1=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{n}$。由$a_1=1$，得$a_n=2-\frac{1}{n}$。(2)数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=\sum_{k=1}