高中物理 加强练习第三章　30.等时圆问题

30.等时圆问题(分值：30分)1~5题每题6分1.(2025·江苏苏州市检测)如图所示，在竖直平面内有ac、abc、adc三个细管道，ac沿竖直方向，abcd是一个矩形，将三个小球同时从a点静止释放，忽略一切摩擦，不计拐弯时的速度损失，当竖直下落的小球运动到c点时，另两个小球的位置关系可能正确的是()答案B解析设ac=d，∠acb=α，则沿ac运动的球到达c点的时间t1=2沿abc运动的球在ab斜面上运动的加速度大小a2=gsinα到达b点的时间t2=2dsin沿adc运动的球在ad斜面上运动的加速度大小a3=gcosα到达d点的时间t3=2dcos因t1=t2=t3，可知当竖直下落的小球运动到c点时，另两个小球分别到达b点和d点。故选B。2.圆1和圆2外切，它们的圆心在同一竖直线上，有三块光滑的板，它们的一端搭在墙上，另一端搭在圆2的圆周上，三块板都通过两圆的切点，A在圆1周上，B在圆1内，C在圆1外，从A、B、C三处同时静止释放一个小球，它们都沿光滑板运动，则最先到达圆2的圆周上的球是()A.从A处释放的球B.从B处释放的球C.从C处释放的球D.同时到达答案B解析设板与竖直方向夹角为α，O1与O2距离为l，由几何关系知两圆内板的长度s=2lcosα，下滑的加速度a=mgcosαm=gcosα，根据位移时间公式得，s=12at2，t=2sa=4lcosαgcosα=4lg，即当板的端点在圆1周上时，沿不同板下滑到底端的时间相同；由题意可知，A在圆3.倾角为θ的斜面固定在水平地面上，在与斜面共面的平面上方A点伸出三根光滑轻质细杆至斜面上B、C、D三点，其中AC与斜面垂直，且∠BAC=∠DAC=θ(θ<45°)，现有三个质量均为m的小圆环(看作质点)分别套在三根细杆上，依次从A点由静止滑下，滑到斜面上B、C、D三点所用时间分别为tB、tC、tD，下列说法正确的是()A.tB>tC>tD B.tB=tC<tDC.tB<tC<tD D.tB<tC=tD答案B解析由于∠BAC=θ则可以判断AB竖直向下，以AB为直径作圆，则必过C点，如图，圆环在杆AC上运动过程，由牛顿第二定律及运动学公式可得mgcosθ=ma2Rcosθ=12a联立解得tC=4可见从A点出发，到达圆周各点所用的时间相等，与杆的长短、倾角无关，可得tB=tC=tE<tD，故选B。4.(2026·安徽省皖南八校大联考)xOy为竖直平面，从M(4m，5m)点向圆心在O点，半径为9m的大圆环边缘架有若干条光滑的轻杆，每条轻杆上套一小环，从M点由静止释放，g取10m/s2，则小环从释放到滑到大圆环边缘的最短时间为()A.1s B.2s C.3s D.5s答案B解析如图所示，过M点作一个圆心在M正下方的大圆的内切圆，内切圆的半径为r，圆心为(4m，y0)，则有42+y02+r=9m，r+y0=5m根据等时圆模型有2r=12gt2，解得t=2s，故选B5.(2024·湖北黄石市三模)如图所示，AB是一个倾角为θ的传送带，距离传送带上表面为l的P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB传送带间建立一直线光滑管道，使原料无初速度地从P处以最短的时间到达传送带上，则最理想管道做好后，原料从P处到达传送带的时间为(重力加速度为g)()A.2lgC.2lg答案D解析如图所示，以P处为圆的最高点作圆O与传送带相切于C点，令PO沿竖直方向，设圆O的半径为R，从P处建立一管道到圆周上，设管道与竖直方向的夹角为α，原料下滑的加速度为a=mgcosαm=g管道长度为L=2Rcosα，由运动学公式可得L=12at2，解得t=2La=可知从P处建立任一管道到圆周上，原料下滑的时