2026年统计学专业期末考试题库统计与决策案例分析试题解析及答案

2026年统计学专业期末考试题库统计与决策案例分析试题解析及答案某食品加工企业为评估新产品"轻甜曲奇"的市场推广策略，收集了2023-2025年全国30个重点城市的首月销售数据及相关影响因素数据（数据见下表）。现需通过统计分析为2026年推广决策提供支持。要求运用描述统计、假设检验、回归分析及决策树方法完成以下问题。城市编号首月销售额（万元）广告投入（万元）终端价格（元/盒）促销活动（1=有，0=无）区域（1=东部，2=中部，3=西部）1128.54528112112.3383001..................3089.6223503注：30组数据中，东部12个城市，中部10个，西部8个；促销活动覆盖15个城市；广告投入均值32.6万元，标准差8.2万元；终端价格均值31.5元，标准差3.8元；首月销售额均值105.2万元，标准差18.7万元。试题1：描述性统计分析要求：（1）计算首月销售额的中位数、四分位数间距（IQR），并判断是否存在异常值；（2）绘制广告投入与销售额的散点图，描述二者相关性；（3）比较不同区域销售额的均值与方差，分析区域差异特征。解析与答案（1）将30个城市的销售额按升序排列，第15、16位数据分别为102.4万元、106.7万元，中位数=（102.4+106.7）/2=104.55万元。下四分位数（Q1）为第7.5位数据，即第7、8位均值（95.3+97.8）/2=96.55万元；上四分位数（Q3）为第22.5位数据，即第22、23位均值（113.2+115.8）/2=114.5万元。IQR=Q3-Q1=114.5-96.55=17.95万元。异常值判断阈值：下限=Q1-1.5IQR=96.55-26.925=69.625万元，上限=Q3+1.5IQR=114.5+26.925=141.425万元。观察原始数据，最大销售额为128.5万元（＜141.425），最小为89.6万元（＞69.625），无异常值。（2）以广告投入为x轴、销售额为y轴绘制散点图，可见数据点大致呈右上分布趋势。计算皮尔逊相关系数r=Σ[(xi-x̄)(yi-ȳ)]/[(n-1)sxsy]。代入数据计算得：x̄=32.6，ȳ=105.2，sx=8.2，sy=18.7，协方差=Σ(xi-32.6)(yi-105.2)/29≈(45-32.6)(128.5-105.2)+...+(22-32.6)(89.6-105.2)后除以29≈136.8。r=136.8/(8.2×18.7)≈136.8/153.34≈0.892，表明广告投入与销售额高度正相关。（3）分区域计算：东部12个城市销售额均值=（128.5+112.3+...+109.7）/12≈112.6万元，方差=Σ(yi-112.6)²/11≈(128.5-112.6)²+...+(109.7-112.6)²后除以11≈(252.81+...+8.41)/11≈286.3/11≈26.03；中部10个城市均值=（98.2+105.4+...+101.3）/10≈102.1万元，方差≈(98.2-102.1)²+...+(101.3-102.1)²/9≈(15.21+...+0.64)/9≈138.7/9≈15.41；西部8个城市均值=（89.6+92.3+...+95.8）/8≈93.2万元，方差≈(89.6-93.2)²+...+(95.8-93.2)²/7≈(12.96+...+6.76)/7≈85.4/7≈12.20。可见东部均值最高（112.6万元），西部最低（93.2万元）；方差随均值升高而增大，反映东部市场潜力大但波动更显著。试题2：假设检验分析要求：（1）检验东部与中部城市的首月销售额均值是否存在显著差异（α=0.05）；（2）检验促销活动对销售额的影响是否显著（α=0.05）。解析与答案（1）设东部均值μ1，中部均值μ2，原假设H0:μ1=μ2，备择假设H1:μ1≠μ2。两样本独立，方差未知且不等（东部方差26.03，中部15.41），采用Welch-Satterthwaite近似t检验。计算样本均值差d=112.6-102.1=10.5万元，标准误SE=√(s1²/n1+s2²/n2)=√(26.03/12+15.41/10)=√(2.17+1.54)=√3.71≈1.926。t统计量=10.5/1.926≈5.45。自由度df=(s1²/n1+s2²/n2)²/[(s1²/n1)²/(n1-1)+(s2²/n2)²/(n2-1)]=(2.17+1.54)²/[(2.17²/11)+(1.54²/9)]≈13.76/(0.428+0.264)=13.76/0.692≈19.88，取整19。查t分布表，双侧α=0.05，临界值±2.093。计算得t=5.45＞2.093，拒绝H0，东部与中部销售额均值差异显著。（2）设促销组（15个城市）均值μA，非促销组（15个城市）均值μB，H0:μA=μB，H1:μA≠μB。促销组销售额均值=（128.5+...+108.4）/15≈110.3万元，方差=Σ(yi-110.3)²/14≈(128.5-110.3)²+...+(108.4-110.3)²/14≈(331.24+...+3.61)/14≈1256.8/14≈89.77；非促销组均值=（112.3+...+89.6）/15≈100.1万元，方差=Σ(yi-100.1)²/14≈(112.3-100.1)²+...+(89.6-100.1)²/14≈(148.84+...+110.25)/14≈1865.3/14≈133.24。方差不齐，采用Welch检验。均值差d=110.3-100.1=10.2万元，SE=√(89.77/15+133.24/15)=√(5.98+8.88)=√14.86≈3.855，t=10.2/3.855≈2.646。自由度df=(5.98+8.88)²/[(5.98²/14)+(8.88²/14)]≈221.4/(2.55+5.63)=221.4/8.18≈27.07，取27。双侧α=0.05临界值±2.052，t=2.646＞2.052，拒绝H0，促销活动对销售额有显著影响。试题3：回归分析要求：以首月销售额（Y）为因变量，广告投入（X1）、终端价格（X2）、促销活动（X3，虚拟变量）、区域（X4=1中部，X5=1西部，东部为参照）为自变量，建立多元线性回归模型，完成：（1）写出模型表达式；（2）分析各变量显著性（α=0.05）；（3）解释广告投入系数的经济意义；（4）预测当广告投入40万元、价格28元、有促销活动、东部区域时的销售额。解析与答案（1）模型设定为：Y=β0+β1X1+β2X2+β3X3+β4X4+β5X5+ε。使用SPSS进行多元线性回归，得到输出结果（部分关键值）：常数项β0=25.3（p=0.012）β1=2.15（p=0.001）β2=-1.83（p=0.027）β3=12.6（p=0.035）β4=-8.2（p=0.041）β5=-15.7（p=0.008）调整R²=0.821，F=28.7（p＜0.001）（2）各变量p值均小于0.05，说明在α=0.05水平下，广告投入、终端价格、促销活动、区域（中部、西部）均对销售额有显著影响。（3）广告投入系数β1=2.15表示：在其他变量不变的情况下，广告投入每增加1万元，首月销售额平均增加2.15万元。（4）代入预测值：X1=40，X2=28，X3=1（有促销），X4=0（东部非中部），X5=0（东部非西部），则Y=25.3+2.15×40+(-1.83)×28+12.6×1+(-8.2)×0+(-15.7)×0=25.3+86-51.24+12.6=72.66万元。考虑模型误差（残差标准差=5.2），95%置信区间为72.66±1.96×5.2≈72.66±10.19，即62.47-82.85万元。试题4：决策树分析企业需在2026年选择三种推广策略：S1（高投入，广告50万元）、S2（中投入，广告35万元）、S3（低投入，广告20万元）。根据历史数据及市场调研，不同策略下成功（销售额≥120万元）与失败（销售额＜120万元）的概率及收益如下：S1：成功概率0.6，成功收益80万元，失败收益-10万元（成本超支）；S2：成功概率0.4，成功收益50万元，失败收益5万元（收支平衡）；S3：成功概率0.2，成功收益30万元，失败收益15万元（微利）。要求：（1）绘制决策树；（2）计算各策略期望收益；（3）推荐最优策略。解析与答案（1）决策树结构：根节点为决策点（选择S1/S2/S3），每个策略分支分为成功（概率p）和失败（概率1-p），末端为收益值。（2）期望收益计算：S1期望收益=0.6×80+0.4×(-10)=48-4=44万元；S2期望收益=0.4×50+0.6×5=20+3=23万元；S3期望收益=0.2×30+0.8×15=6+12=18万元。（3）比较期望收益，S1（44万元）＞S2（23万元）＞S3（18万元），应选择高投入策略S1。试题5：综合决策建议结合上述分析，为企业2026年"轻甜曲奇"推广提出3条核心建议。解析与答案（1）优先选择东部区域推广：东部销售额均值显著高于中、西部（112.6万元vs102.1/93.2万元），且广告投入与销售额高度正相关（r=0.892），建议将60%以上推广预算倾斜至东部，重点城市加大广告投入（如40万元以上）。（2）强制开展促销活动：假设检验显示促销活动可显著提升销售额（均值差10.2万元），回归模型中促销变量系数12.6（p=0.035）表明有促销时销售额平均多12.6万元，建议所有推广城市同步开展促销（如买二送一、满减），覆盖至少80%终端。（3）控制终端价格在30元以下：回归分析显示价格每上涨1元，销售额平均减少1