匀变速直线运动的位移与时间的关系（解析版）

第07讲匀变速直线运动的位移与时间的关系

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模块一思维导图串知识1.了解v-t图像围成的面积即相应时间内的位移，

模块二基础知识全梳理（吃透教材）提高应用数学研究物体问题的能力，体会变与不变的辨

模块三教材习题学解题证关系：

模块四核心考点精准练（7大考点）2.能用v-/图像得出匀变速直线运动的位移与时间

模块五小试牛刀过关测的关系式，进一步体会利用图像分析物体运动规律的研

究方示；

3.能推导出匀变速直线运动速度.与位移的关系式，

体会科学推理的逻辑性。

3模块一思维导图串知识

3模块二基础知识全梳理-----------------------------

■知识点一：匀速直线运动的位移

⑴位移公式：X=O

（2）位移在“图像中的表示：对于做匀速直线运动的物体，其位移在数值上等于“图线与

对应的时间轴所围成的矩形o如图1所示，阴影图形的面积就等于物体在r时间内的位

移。

图I图2

■知识点二：匀变速直线运动的位移

(1)位移与时间的关系式：X=O

(2)位移在。”图像中的表示：对于做匀变速直线运前的物体，其位移大小等于⑦图线与时

间轴所围成的o如图2所示，阴影图形的面积等于物体在，时间内的位移。

说明：对于任意形状的“图像，位移都等于。“图线与/轴包围的面积。

(3)两种特殊情形

①当。。=0时，A=,即由静止开始的匀加速直线运动，位移入与「成正比。

②当。=0时，工=,即匀速直线运动。

不管质点做匀速直线运动还是匀变速直线运动，不管速度图像是直线还是曲线,

号—£图像与坐标轴所围面积表示“位移”，对多阶段的直线运动，用面积计算

位移比分段计算更简便。

■知识点三：速度与位移的关系

(1)关系式：O式中优和。分别是_________和,X是这段时间内

的O

⑵推导：由0=。0+4/和工=,联立消去/,可得。2一涕=o

(3)当初速度。0=0时，有；当末速度。=0时，有o

【参考答案】1.匀速直线运动的位移：(1)17;(2)面积;

2.匀变速直线运动的位移

(1)V()t+

（2）梯形面积

（3）①%产；②加；

（4）加速度、初速度

3.速度与位移的关系：（1）v2-vi=lax,初速度、末速度、位移:

（2）oof+/2、2ax\

（3）v2-lax^vo=2ax

4.数剧分析：（2）均匀增加、不变

纷模块三教材习题学解题------------------

教材习题01解题方法

2022年6月17日上午，我国完全自主设计建造的首①舰载机起飞过程：已知初速度、加

艘弹射型福建舰下水，福建舰采用平直通长飞行甲速度、时旬，求位移？（选择位移公

板，配置电磁弹射和阻拦装置，以利于航空母舰的舰式处理）

载机在航母上起飞，降落。②飞机在航母上降落：已知初速度、

（1）某舰载机起飞时，采用弹射装置使飞机获得时间、末速度，求加速度和位移。

10m/s的速度后，由机上发动机使飞机获得25m/s2的

加速度在航母跑道上旬加速前进，2.4s后离舰升空。

飞机匀加速滑行的距离是多少；

（2）飞机在航母上降落时，需用阻拦索使飞机迅速

停卜.来。若某次飞机着舰时的速度为80m/s,飞机钩

住阻拦索后经过2.5s停下来。将这段运动视为匀减速

直线运动，此过程中飞机加速度的大小及滑行的距离

各是多少。

【答案】(1)96m；(2)32m/s2,100m

教材习题02解题方法

动车铁轨旁两相邻里程碑之间的距离是1km。某同学①建立物理模型:动车做匀减速直线

乘坐动车时，通过观察里程碑和车厢内电子屏上显示运动

的动车速度来估算动车减速进站时的加速度大小。当②分析动车的两个过程，已知哪些物

他身边的窗户经过某一里程碑时，屏幕显示的动车速理量，求什么物理，选取相应的公式。

度是I26km/h(如图)。动车又前进了3个里程碑时，

速度变为54km/h。把动车进站过程视为匀减速直线

运动，那么动车进站的加速度是多少？它还要行驶多

远才能停下来？

I

小—Z\V

【答案】0.167m/s2,方向与动车运动方向相反；674m

教材习题03解题方法

以I8m/s的速度行驶的汽车，制动后做勺减速直线运注意判断刹车停下来所用的时间。若

动，在3s内前进36m。求汽车的加速度及制动后5s所求时间大于刹车时间，则用刹车时

内发生的位移。间计算，若所求时间小于刹车时间，

则用所求时间计算。

【答案】加速度大小为4m/s2,方向与初速度方向相反：40.5m

6模块四核心考点精准练------------------------------------------

考向一：位移与时间关系式的应用

【例1】如图所示，骑自行车的人以5m/s的初速度匀减速上一个斜坡，加速度的大小为

0.4m/s2,斜坡长30m,骑自行车的人通过斜坡需要多长时间？

【答案】10s

【详解】由关系式工二加十%/2

代入数据得：3()=5/-3x04产

解得：力二10s,力=15s。

将力=l()s和力:15s分别代入匀变速直线运动的速度与时间的关系式。二优+加计算两个

对应的末速度，得1m/s和。2二-im/s,m二-1m/s与上坡的速度方向相反，与实际情况

不符，应该舍去。

考向二：速度与位移关系式的应用

【例2】猎豹是目前世界上陆地奔跑速度最快的动物，速度可达每小时110多公里，但它

不能长时间高速奔跑，否则会因身体过热而危及生命。猎豹在一次追击猎物时可认为由静止开

始做匀加速直线运动，加速度大小为7.5m/s2,经过4s速度达到最大，然后匀速运动保持了4

s仍没追上猎物，为保护自己它放弃了这次行动，然后以大小为3的加速度做匀减速运动

直到停下，设猎豹此次追捕始终沿直线运动。求：

(1)猎豹奔跑的最大速度可达多少？

(2)猎豹从开始做匀减速运动直到停下的位移是多少？

【答案】(1)30m/s(2)150m

解析(1)设猎豹奔跑的最大速度为。，对于匀加速直线运动过程，有。=。m=7.5x4m/s

=30m/so

0-研_302

(2)对于匀减速直线运动过程，根据速度与位移的关系式得4=、丁=南二可m=150m。

考向三：逆向思维法解题

【例3】物体做匀减速直线运动，初速度为10m/s,加速度大小为1m/s2,则物体在停止

运动前1s内的平均速度为()

A.5.5m/sB.5m/s

C.1m/sD.().5m/s

【答案】D

【解析】对于末速度为0的匀减速直线运动，采用逆向思维法后，根据速度与时间的关系

1V-V0

式和位移与时间的关系式。二川、X二呼尸，计算更为简洁。物体减速所用的时间，。二二二

()-1()m/s.

_1m/s2=10s,该匀减速直线运动的逆运动为：初速度为零、加速度为标=1m/s2的匀加

速直线运动，则物体在匀减速直线运动中停止运动前1S内的位移与逆运动第1S内的位移相

||----X

等。x二5。'-=]X1X12m=0.5m,故物体停止运动前1s内的平均速度。=]=0.5m/s,D

正确。

考向四：多过程运动问题

【例4】如图所示，竖井中的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一竖井的深

2

度为104m,升降机运行的最大速度为8m/s,加速度大小不超过1m/so假定升降机到井口的

速度为（），则将矿石从井底提升到井口的最短时间是（）

A.13sB.16s

C.21sD.26s

【答案】C

【解析】当升降机先以允许的最大加速度加速上升达到允许的最大速度后，接着以允许

的最大速度匀速运动，最后以允许的最大加速度减速到速度为。时，升降机提升矿石所用时间

v2v

最短，升降机加速上升的距离为例二五二32m,加速时间为力=£=8s;减速上升的距离〃3二

/n=32m,减速时间△二人二8s,故中间匀速上升的距离也二力-加-用二40m,匀速运动的时

间介二牛二5s。所以最短时间，=力+/2+f3=8s+5s+8s=21s,C正确。

模块五小试牛刀过关测-----------------------------

一、单选题

1.如图为消防队员正在进行滑杆训练的示意图，若某次下滑过程中，消防队员先做初速度为零的匀加速直

线运动，后做匀减速直线运动，到地面时速度恰好为零，下滑过程中最大速度为5m/s,下滑所用的总时间

为3s,则消防队员下滑的总高度为（）

A.15mB.10mC.7.5mD.5m

【答案】C

【详解】下滑的总高度

故选C。

2.做匀减速直线运动的物体经4,停止，若在4s内的位移是32m,则最后1s内的位移大小是（）

A.3.5mB.2m

C.1mD.0

【答案】B

【详解】把物体的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，4s内的位移大小

1c

户一32=32m

2

解得

a=4m/s2

最后1s内的位移大小

v=L产

2

解得

y=2m

故选B。

3.汽车在平直公路上行驶，其速率二次方与位移的关系图像（v2x）如图所示，下列说法正确的是（）

B.汽车初速度的大小为4m/s

C.汽车的加速度大小为0.5nVs2

D.汽车的加速度大小为1m/s2

【答案】C

【详解】A.由

v2-%?=2ax

可得

v2=2ax+%,

可知F—E图像的斜率等于2d斜率不变，则汽车的加速度恒定不变，且U随着X的增大而增大，则汽车做

匀加速直线运动，故A错误；

B.由题图知，x=0时，

v2=4m2/s2

得

v=2m/s

即汽车初速度的大小为2m/s,故B错误；

CD.图像的斜率

k=2a

则可知

k116—42\ci2

a=-=-x--------m/s=t0.5m/s

222

故C正确，D错误。

故选Co

4.假设某舰载机的起飞速度为60m/s,某航空母舰甲板上的弹射装置使飞机获得50m/s的初速度，飞机在

甲板上滑行100m时起飞，则飞机起飞时的加速度为（）

A.4.5m/s2B.5.0m/s2

C.5.5m/s2D.6.0m/s2

【答案】C

【详解】根据速度位移关系式

2

v-VQ=2ax

可得

4=5.5m/s2

故选C。

5.如图所示，物体A在斜面上由静止开始匀加速滑行距离为后，又在水平面上匀减速滑行距离巧后停下,

测得6=2%,物体经过两平面交接处速率不变，则物体在斜面上的加速度4与在水平面上的加速度生的大

小关系为（)

D.4=2%

【答案】D

【详解】设物体经过两平面交接处的速度大小为口则物体在斜面上运行时有

2。内=d—0

物体在水平面上运行时有

2

-2a2x2=0-v

又

x2=2x1

联立可得

4=2生

故选D。

6.某物体做直线运动的UT图像如图所示。关于这个物体在前8s内的运动，下列说法错误的是（）

A.物体在第6s末改变运动方向

B.0〜4s内的加速度大于6〜为内的加速度

C.前6s内的位移为12m

D.第6s末物体离出发点最远

【答案】B

【详解】A.由题中图像知，。〜6$内物体沿正方向运动，6〜8s内物体沿负方向运动，故A正确;

B.0〜4s内的加速度

Av_4-0

=lm/s2

Ar4

6〜8s内的加速度

△v-4-0

=-2m/s2

Ar=2

这里的负号表示方向，不表示大小，故B错误;

C.根据UT图像围成的面积表示位移，可得前6s内的位移

x=—x6x4=12m

,2

故C正确：

D.因物体在第6s末改变运动方向，因此物体在第6s末离出发点最远，故D正确.

由于本题选择错误的，故选B。

7.我国的深海探测技术在国际上处于领先水平，"蛟龙号''载人潜水器是迄今为止我国自主设计的最复杂的

海洋调查装备，具有世界第一的下潜深度。在某次试验时，“蛟龙号”从水面开始竖直下潜，其运动的u“图

B.40s〜60s内加速度方向向下

C.80s〜100s内加速度大小为O.5m/s2

D,下潜的最大深度为300m

【答案】C

【详解】A.40s末速度最大，“蛇龙号”继续下潜，A错误：

B.40s〜60s内“蛟龙号”速度减小，所以加速度方向向上，B借:吴;

C.80s〜100s内加速度大小为

Av

-------m/s2=O.5m/s2

Z100-80

C正确;

D.下潜的最大深度为

〃=竺出2江加=40（仙

2

D错误。

故选C。

8.如图所示，在足够长的光滑斜面上，小物块（可视为质点）以初速度%沿斜面上滑，经过4s运动到最高

点，则物块上滑的第1s内的位移大小与第3s内的位移大小之比为（）

8

A.7：3B.5：3C.3：1D.5：1

【答案】A

【详解】根据题意，把小物块在斜面运动到最高点的运动，由逆向思维可视为初速度为零的匀加速直线运

动，由推论可得，相同相邻时间间隔内位移之比为1：3:5:7:-.：（2〃-1）,则第Is内的位移与第3s内的位移

大小之比为7:3。

故选Ao

9.一物体做匀加速直线运动，加速度是2m//,则（）

A.在任意1秒内，末速度是初速度的2倍B.在连续相等的时间内的位移比为1:3:5:7

C.在任意相邻1s内的位移差是4mD.在任意相等时间内速度的变化量都相同

【答案】D

【详解】A.根据匀变速直线运动，有

当Z=ls时，有

故A错误；

B.当初速度为零时，连续相等的时间内的位移比为1:3:5:7。故B错误；

C.根据匀变速直线运动中“连续相等时间间隔内的位移差为一恒定的值”即

可得在任意相邻Is内的位移差是

At=2m

故C错误；

D.依题意，在任意相等时间内速度的变化量为

Av=«-A/

故D正确。

故选D。

10.一个物体沿直线运动，从/=0时刻开始，2T的图像如图所示，图线与纵坐标交于4,与横坐标交于

t

L，横坐标4=2人下列说法正确的是（）

A.在。时刻，物体运动的方向改变

B.在乙时刻，物体运动的加速度方向改变

C.在。到4时间间隔内，物体的位移为0

D.在［到，2时间间隔内,物体的位移为M

【答案】D

【详解】AB.根据匀变速直线运动位移与时间的关系式

变式可得

X1

结合土—图像可知，该物体初速度方向与加速度方向相反，做匀变速直线运动，初速度和加速度分别为

2b

%="，a=—

当，气时,根据速度时间关系可得

v=v()+at=-b+—.tl=b

可知，在％时刻之前，物体运动的方向就已改变，故AB错误;

C.在。到4时间间隔内，物体的位移为

，,c力，c、2C,

x,=vj+—1at~=-b-2t+—Ix—2x(2G~=2bti

2i2

故C错误;

D.根据以上分析可知，在乙时刻的速度为〃，则由位移与时间的关系可得在乙到，2时间间隔内，物体的位

移为

12b,

x；=b(t2—/))+—x——(z2-/))■

解得

x2=2bL=初2

故D正确。

故选D。

二、多选题

11.甲、乙两物体沿同一方向同时开始做直线运动，它们的位移x与时间/的图像如图所示。下列说法正确

的是（)

A.甲、乙两物体相遇两次

B.%时刻，甲、乙两物体的速度相等

C.出发时物体乙在物体甲前切处

D.物体甲做匀加速直线运动，物体乙做减速直线运动

【答案】AC

【详解】A.由图可看出，甲、乙两物体的心/图像有两个交点，故两物体相遇两次，故A正确；

B.x“图像的斜率表示速度，故，2时刻，物体乙的速度大于物体甲的速度，故B错误；

C.由图可知，物体甲从原点出发，物体乙从小处出发，故C正确；

D.由干X4图像其斜率表示物体的速度，所以甲做匀速直线运动，物体乙做加速育线运动，故D错误。

故选AC。

12.物体甲的XT图像和物体乙的—图像分别如图所示，则这两物体的运动情况是（）

A.甲在整个，=6s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4m

B.甲在整个，=6s时间内有来回运动，它通过的总位移为零

C.乙在整个，=6s时间内有来回运动，它通过的总位移为零

D.乙在整个r=6s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4m

【答案】AC

【详解】AB.由图甲可知，图线斜率不变，则运动方向不变，总位移大小为

x=2m-（-2）m=4m

故A正确，B错误：

CD.由图乙可知，物体先做反向匀减速直线运动，再沿正方向做匀加速直线运动，有来回运动，正方向运

动和负方向运动的位移大小相等，总位移为零。故C正确，D错误。

故选ACo

13.滑块以某一初速度从斜面底端。上滑到最高点。，用频闪仪记录的上滑过程如图所示，则（）

A.滑块在6点的速度大小为在。点的两倍

B.滑块在A点的速度大小为在。点的两倍

C.48和CO的距离之比为3:1

D.A8和CO的距离之比为5:1

【答案】AD

【详解】AB.滑块从。到。做匀减速运动，可看成从D到0的初速度为零的匀加速直线运动，设频闪仪

记录的时间间隔为丁，滑块的加速度为。，则

vc=aT,vB=2aT,vA=3aT

滑块在〃点的速度大小为在。点的两倍，滑块在A点的速度大小为在C点的三倍，故A正确，B偌误：

CD.由初速度为零的匀加速直线运动推论知AB和CO的距离之比为5:1,故C错误，D正确，

故选AD。

14.某人骑自行车在平直道路上行进，图中的实线记录了自行车开始一段时间内的口―图像，已知从，=0时

刻由静止开始运动，与和。时刻的速度均为匕，下列说法正确的是（）

A.0~与这段时间内的平均加速度等于FB.在。时刻，加速度大于1

C.。~八这段时间内的平均速度一定小于与D.在4~□时间内，自行车的位移小于h&-4）

【答案】ABD

【详解】AB.图线中某点的切线斜率代表该时刻物体的加速度，这段时间内的平均加速度等于?，在

小时刻，虚线的斜率为实线的斜率明显大于故AB正确；

C.0~〃这段时间内的虚线和实线所对应位移无法比较，所以不能确定这段时间平均速度与会的关系。故

C错误；

D.由图像可知自行车位移为图中实线与时间轴所围面积，小于虚线所围面积，故小于匕（。-4）。故D正

确。

故选ABDo

三、解答题

15.交警部门开展的“车让人”活动深入人心，不遵守“车让人”规定的驾驶员将受到罚款、扣分的严厉处罚.如

图所示，以8m/s匀速行驶的汽车即将通过路口，司机发现一老人正在过人行横道，此时汽车的车头距离停

车线8m,该车刹车制动可视为匀减速直线运动，加速度的最大值为5m/s?。贝ij：

（1）如果司机立即以最大加速度刹车制动（不计反应时间），求1s内汽车前进位移；

（2）如果考虑司机的反应时间，若该司机的最长反应时间为0.1s,通过计算判断汽车车头能否刚好停在停

车线处。

【答案】（1）5.5m；（2）不能

【详解】（1）汽车匀减速运动可知加速度

a=-5m/s2

根据运动学公式+代入数据可得

x=5.5m

（2）司机反应时间内汽车做匀速运动，则匀速位移为

玉==0.8m

设司机刹车后汽车做匀减速运动最大位移为巧，根据运动学公式F-4=2&马代入数据可得

上=6.4m

联立可得汽车前行最大位移为

7.2m<8m

所以汽车车头不能刚好到达停车线。

16.火车机车原来的速度%=54knVh,经过一段长540米的坡路，机车的速度大小减为u=IO.8knVh。

（1）求机车减速行驶时的加速度大小；

（2）求机车减速过程的时间和平均速度大小。

【答案】（1）O.Zm/s2；（2）60s,9m/s

【详解】（1）根据动力学公式有

片-v2=2ax

其中

%=54km/h=15m/s

v=10.8km/h=3mzs

机车减速行驶时的加速度大小为

tz=0.2m/s2

（2）机车减速过程的时间为

g=2s=60s

a0.2

机车减速过程平均速度大小为

t60

17.某一做直线运动的物体的UT图像如图所示，根据图像求:

（1）物体距出发点的最远距离；

（2）前4s内物体的位移大小;

（3）前4s内物体的平均速率。

7

【答案】（1）6m；（2）5ni；（3）—m/s

4

【详解】（1）速度图像与坐标轴围成的“面积”大小等于物体通过的位移，由图可知，前3s内物体沿正向运

动，3s后沿负向返回，所以在仁3s末时刻离出发点最远，则最远距离为

I1

x=—v.t.=—x44x3m=6m

mni2।2

（2）前4s的位移为

1/1一U

X=一毛二4、-5y2,2=6m—QX2X1m=5m

（3）前4s的路程为

s=xm+x2-xni+—v2t2=6m+^x2xlm=7m

前4s内物体的平均速率

_s1,