2026年中考数学：与圆有关的计算（知识解读+例题讲义）原卷版

第28讲与圆有关的计算

3"知识导航

知识点1:正多边形与圆有关的计算

知识点2：弧长，扇形面积与圆锥的有关计算

知识点3：不规则图形面积的计算

M知识梳理

知识点1：正多边形与圆有关的计算

i.正多边形的相关概念

正多边形概念各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.

正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

正多边形的半径正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.

正多边形的中心正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

角

正多边形的边心中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

距

2.正多边形的常用公式

边长Qn=2Rn•sbi华（Rn为正多边形外接圆的半径）

周长Pn=n-3n外角/中心角360。

度数n

面积Sn=^an-rn-n对角线条数Mn-3)

2

边心距rn=Rn-COS^^内角和(n-2)X180°.

n

内角度数(n-2)x180°n边形的边数(内角和+1800)+2

n

。八Rn、rn的关.腿=吟+苧⑸、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个

值，第三个值可以借助勾股定理求解.）

【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成

2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系,

故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算.

3.正多边形常见边心距与边长的比值

图形OA:AB:OB内切圆与外接圆半径的

比

等边三角1:5:21:2

形

&OB=60。

正方形1:1:VT1：V2

，\OB=45。

①

正六边形VT:1:2vr：2

，4OB=30。

【备注】正多边形的内切圆与外接圆为同心圆.

知识点2：弧长，扇形面积与圆锥的有关计算

设。0的半径为R,n°圆心角所对弧长为1，n为弧所对的圆心角的度数，则

扇形弧长公式，=黑（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表

loU

示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位.）

r.nR21>

扇形面积公式sc^=—=-/DR

圆锥侧面积公式S圆推侧（其中1是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）

圆锥全面积公式S圆推全=nH+nr2（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）

圆锥的高h,圆r2+ft2=I2

锥的底面半径r

知识点3：不规则图形面积的计算

求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形

的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有：

1）直接用公式求解.

图形公式

S阴影二S扇形ABC

Ac

B

阴影二

SSAABC

B

S阴影二S四边形AECD=ab

Bc

2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或

差，进行求解.

①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S阻影二S常见图形士S常见图形）

图形面积计算方法图形面积计算方法

IT,

以s阴影=S4ACB-S扇形s阴影二s扇形BAB，+S半

CADK\〃圆AB，-S半圆AB

S阴影二S4AOB-S扇形HS阴影二S半圆AC+S

半圆BC_ACB

CODSA

A(「：

s阴影二S半圆AB-S阴影二$扇形BAD-S

2

Sz^AOB1:半圆A3

S阴影二S扇形EAF一s阴影二s扇形之和二

nnR2_nR2

等・SAADE

3602

4^----------lH

②构造和差法

冰依S阴影二S扇形BOE+S/XOCE-S扇形COD

3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进

行转化，为利用公式法或和差法创造条件，从而求解.

①全等法

图形公式

S阴影二S扇形BOC

②等面积法

图形公式

,阴影二’扇形COD

P0P0

③平移法

④旋转法

⑤对称法

F7题型精讲

【题型1正多边形与圆有关的计算】

【典例1】如图，。。的周长为8%，正六边形48C0E厂内接于。。.则△。4B的面积为

()

A.4B.4>/3D.6百

【变式1】将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是1)

A.60°B.90°C.180°D.360°

【变式2】如图，正五边形ABCDE内接于O。，连接4C,则N4CD的度数为.

【变式3】如图，边长为6的正三角形力内接于。。，则图中阴影部分的面积是

A

【题型2利用扇形的公式求弧长】

【典例2】如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图

（3）所示，48是以点0为圆心，18cm为半径的弧，弦48的长为18cm,则4B的长是

()

（1）（2）

A.24ircmB.12ncmC.lOncmD.6ncm

【变式1】如图，直线匕也，直线m分别交G于点4B，以力为圆心，48长为半径面弧,

分别交％、匕于直线m同侧的点C、D,^ADB=35°,48=9,则而的长等于（）

A.5nB.4nC.亦D.9

【变式2】在。。中，如果75。的圆心角所对的弧长是2.5ncm,那么。0的半径是（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm

47r

【变式3】将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2,弧长为可，则扇形

的圆心角大小为（）

A.30°B.60°C.90°D,120°

【题型3求扇形的面积】

【典例3】如图，A,B,C,D是O。上的点，半径。4=3,AB=CD,^DBC=25°,连接

4D,则扇形力。8的面积为（）

A.补B.视C.2KD.迎

【变式1】若扇形的面枳是它所在圆的面枳的彳，则这个扇形的圆心角的大小是度.

【变式2】习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂.东营市某学校组织

开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇.如图，

0A=20cm,OB=5cm,纸扇完全打卅后，外侧花竹条（竹条宽度忽略小计）的夹角

^AOC=120°.现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（）cm2.

25

A.ynB.75TTC.125TTD.150TT

【变式3】如图，以正六边形OABCDE的顶点O为圆心，。力的长为半径画圆，若圆与T六

边形重叠部分（图中躬影部分）的面积为3m则。。的半径为（）

【题型4求圆锥的侧面积】

【典例4】一个圆锥的底面直径为6cm,母线长为5cm,则这个圆锥的侧面积为（）

A.157rcm2B.307rcm2C.15cm2D.30cm2

【变式1】已知圆锥的底H圆半径为3,母线长为4,则圆锥的侧面枳为（）

A.6TTB.12nC.151TD.241r

【变式2】如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（）.

【变式3】如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面

半径为5cm,母线长为12cm的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是cm2

（结果用含n的式子表示）.

【题型5不规则图形的面积】

【典例5】如图，正六边形力BCDE9的边长为4,中心为点。，以点0为圆心，以力B长为半径

作圆心角为120。的扇形，则图中阴影部分的面积为

【变式1】如图，。。的半径为1，A,B,。是。。上的三个点.若四边形。43。为平行四

边形，连接4。，则图中阴影部分的面枳为

【变式2】两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆。'的一个直径端点与半圆。的圆心重

合，若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是（：

4l42「4^3

A.B.C.D.

【变式3】如图，止方形.44。。的边长是4,分别以点小B,C,。为圆心，2为半彼作圆,

则图中阴影部分的面积是（结果保留汗）.

M随堂检测

1.有一个正〃边形的中心角是36。，则〃为（)

A.7B.8C.9D.10

2.。。的半径为2,则它的内接正四边形的边长为（)

A.2B.V2C.2V2D.4

3.半径为3、圆心角为120。的扇形的面积为（)

2

A.2nB.3nC.利D.3

4.己知圆锥的底面圆半彷为2,母线长为3,则圆锥的侧面积为（）

A.3nB.67rC.9TTD.12TT

5.如图，扇形力OB的圆心角为60°点C是OA的中点，连接CB.若。4=4,则图中阴影部分

的面积为（)

47r87rf—87rr—

A.T-V3B.1■-百D.

6.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm