思维提升 培优点4 概率与统计中的递推关系-2026年高考数学二轮复习

培优点4概率与统计中的递推关系

［考情分析］统计与概率内容是数学知识的综合应用，也是中学数学一个重要的交汇点，已经成为联系多

项知识内容的媒介；数列是高中数学的重点内容，易与其他内容交汇融合.由于此类考题条件多，背景新

颖，成为近年各种考试的一个热点问题，其所考查的数学知识和思想方法相当深刻，难度也较大.

考点一递推数列在计数原理中的应用

例1有4，也，…，4、共六个人，他们的座位分别为4，Bz，…,现要求每一个人坐一个座位,

且都不坐自己座位，则不同的方法种数为（）

A.9B.16C.44D.265

答案D

解析记〃（〃22）个人坐座位且自己不坐自己的座位的方法数构成一个数列｛小｝（〃22）,易得42=1,6/3=2,

首先，让小选位，小不选3,则共有（〃-1）种方法，不妨设小选了以（〃金1）,然后再让4选位，

①当业选办时，则余下的（〃-2）个人和（〃-2）个座位，共有为.2种坐法；

②当念不选81时，则余下的（机1）个人都有一个不能选的座位，则共有为」种坐法，

所以斯=（〃-1）（即2+M1）,

所以。4=3（。2+。3）=9,。5=4（。3+。4尸44,

。6=53+〃5）=265.

［规律方法］在计数原理中，当计数的基数较大时，用枚举法会显得非常困难.如果问题带有明显的递推特

征，把此类计数问题的基数从有限个且数目很少推广到〃个，运用数列知识建立递推关系，经过推广就可

以解决这类计数问题.

跟踪演练1有9级台阶，每次只能向上走1级、2级或3级台阶（不能往回走），则走完9级台阶的方

法种数为（）

A.24B.44C.81D.149

答案D

解析记走完〃级台阶的方法种数构成数列｛。“｝,易得。1=1,42=2,43=4.

走完这〃级台阶可考虑最后一步走的是1级、2级或3级这三种情况，

则。尸。“-1+〃”-2+。个3（〃34）.

所以。4=。3+。2+。1=7,

。5=〃4+。3+。2=13,

。6=。5+。4+。3=24,

。7=。6+。5+。4=44,

。8=。7+。6+。5=81,

。9=熊+。?+。6=149.

考点二递推数列在概率、统计中的应用

考向1。“=〃即一1+夕型

例2(2023・新课标I卷)甲、乙两人投篮，每次山其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，

若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中

率均为08由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为05

(1)求第2次投篮的人是乙的概率：

(2)求第，次投篮的人是甲的概率；

nn

(3)已知随机变量X服从两点分布，且。(％=1)=1・尸(乂=0尸3，，=1,2,…，小则凤》%尸Z%.记前

i=1i=1

〃次(即从第1次到第〃次投篮)中甲投篮的次数为匕求E(Y).

解(1)记“第，•次投篮的人是甲”为事件4,“第，次投篮的人是乙”为事件8，

所以P(&)=尸(4&)+P(S&)

=尸(4)尸(%|4)+P(B)?(①冈)

=0.5X(l-0.6)+0.5X0.8=0.6.

(2)设P(4)=p»,依题可知，P(Bi)=l-p”

则尸(4+。=尸(44+1)十尸(6Mi+i)

=P(4)尸(4+i|4)+P(8)P(4+i同),

即p-i=0.6“+(1-0.8)X(1-〃,尸0.4/2+0.2,

构造等比数列仍汁

设/?Z-l+A=|(/7,+A),解得2=1，

则/^一。，

又p弓pi宗，

所以｛0一才是首项为右公比为总的等比数列，

即用x(才,P*x⑨飞•

(3)因为,弓乂(§弓，/=1,2,n,

/2\"

所以当〃WN*时，E(r)="+P2+・F《X1；呼号"[1-(|)“情，

故E⑺噎专

考向2。m=。〃负〃)型

例3一个书包中有标号为“1,1,2,2,3,3,…，〃，/'的2〃张卡片.一个人每次从中拿出一张卡

片，并且不放回，如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如

果他手中有.3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为

P“，则尸3=，P产.

/rA-327

U条55005

解析2〃张卡片选取3张卡片的选法共有喘“种，

事件“手中这3张卡片中含有2张相同卡片”的选法共有〃(2〃-2)种，由古典概型的计算公式可得其概率为

;i(2n-2)3

至2n-r

拿掉这对卡片后，还乘•!(〃/)对卡片，此时书包为空的概率为P〃小

因而P,r=L、P〃.],且尸2=1，

2n-l

则尸3=盘#=1，

p7=2-x—X-X-X-

7131197S5005

考向3an^\=pa„+qan.\型

例4(2025•江西八校联考)为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛.从地面开始，小明爬楼梯有

两种方式，一步上一级台阶或两级分阶，其中一步上一级台阶的概率为J,上两级台阶的概率为爬

OJ

楼梯过程中，小明爬到第〃个台阶的概率为p“(〃£N)

(1)求P2,P3的值:

(2)设随机变量X表示小明爬3步上的台阶总数，求X的分布列及均值;

(3)求p”.

解⑴由题可知〃2=^乂9^=^,

/*x9"x号

(2)随机变量X所有可能取值为3,4,5,6,

222

P(X=4)=C1XQ)XX

39

(I)”

P(X=5尸QXqX

P(X=6)=G)3喙

X的分布列为

X3456

1248

P

279927

后他3乂94乂2#乂畀5・

(3)爬到第〃+2个台阶有两种情况：

情况一：爬到第〃个台阶，下一步上两个台阶爬到第〃+2个台阶；

情况二：爬到第〃+1个台阶，下一步上一个台阶爬到第〃+2个台阶.

故P，r*2=y>zHl-^n,

则P/2号”+1=/%+】臼%,

所以+1号广〃2号IXj=l,

即P"“专(一§X(P"一)

又pr|=&HO,故｛p〃一|｝是首项为吃，公比为的等比数列，

所以履+(-yg(寸，

故P”职x(一|)”.

［规律方法］概率之间的关系如果是数列的前后项之间的关系，即递推关系，就可以从概率问题自然地过

渡到数列问题，再用数列的方法解决.已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：

(1)当出现。"=4"-1+m时，构造等差数列；

(2)当出现1+y时，构造等比数列；

(3)当出现。“=呢/+/(〃)时，用累加法求解；

(4)当出现广$〃)时，用累乘法求解.

跟踪演练2某大学举办中国传统节日知识竞赛，每位大学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问

题的回答相互独立.若答对一题记2分，答错一题记1分.已知学生甲每个问题答对的概率为:，答错的

概率为|.

(1)学生甲随机抽取3题，记总得分为X,求X的分布列与数学期望；

n

⑵若学生甲已答过的题累计得分为〃分的概率为尸〃，求匕与2P,.

i=1

解(1)X的可能取值为3,4,5,6,

尸(X=3)=(§3*，

2

久石4尸玛Xgx《甘，

P(%=5)=C!XQ)2X(1)14

尸(X=6)YX(4哈

X的分布列为

X3456

8421

P

279927

所以E(X)=3X导4义*5X1+6Xg4.

(2)P1»2,P21=7^X冬27

v7133339

当〃23时，若甲已答过的题累计得分为〃分，只有两种情况:

①甲已答过的题累计得分为(〃-1)分，下一个题答错得1分；

②甲已答过的题累计得分为(〃-2)分，下一个题答对得2分.

所以匕=|P"寸％2,即P”弓P小尸

所以数列依+3「k1｝为常数列・

又P2GP=HX>I，

所以P”44HH=1(〃22),

则P〃+T(PnT-J

外岩*七°，

所以数列但一；｝是以卡为首项，3为公比的等比数列，

所以P"子/(-旷'，

即匕於T

nr12n

所以2p尸外+必+尸叶…+尸”目?廿乂］(一3+(—§+.・・+(-g

春中邛1

弓周一(-97

专题强化练

［分值：70分］

一、单项选择题(每小题5分，共20分)

1.4,B,C,。四人传球，每人每次可以把球传给其他任何一个人，从力开始，5次传球后球回到力手中,

则不同的传球方法种数为()

A.24B.60C.92D.144

答案B

解析设有女个人小，42,…，4互相传球，从小开始，每人每次可以把球传给其他任何一个人，设第

〃(〃22)次传球后球回到4手中的方法有为种，

则第(〃・1)次传球后球回到4手中的方法有0泊种，且易知s=hl,则第(〃“)次传球后，

共有你1)"种方法，

若此时球在4手中，则第〃次传球，球不可能回到4手中，故数列｛为｝的递推关系式为斯=(肛1产匚。〃一

i(〃23),02=〃-1.

所以<72=3,43=(4-1)3/-02=6,44=(4-1)4/-43=21,。$=(4-1户/-44=60.

2.一个饼，用刀切5次，最多能将其切成()

A.10决B.11块C.15块D.16块

答案D

解析设〃刀最多能将饼切成如块，前〃-1刀我们已经得到“t块，对于第〃刀，要使切出的块数最多，

则这一刀的刀痕必须与前〃“刀的刀痕都相交，在此刀痕上存〃“个交点，则最多增加〃块，从而得到递

推公式为。“=即_1+〃，显然。1=2,

从而累加得到1)+…+3+2+2=1当〃=5时，a»=16.

3.(2025・沏南名校联合体模拟)如图，A,B,。三个区域有通道口两两相通，一质点从其所在的区域随机选

择一个通道口进入相邻的区域，设经过〃次随机选择后质点到达。区域的概率为八,若质点一开始在。区

答案D

解析记质点经过〃次随机选择后到达力区域的概率为

质点经过〃次随机选择后到达8区域的概率为九，

仔n+an+bn=1,

则'_1,iL

/n+l-2an+2^n，

消去斯，b〃,可得Xn+i=^(1-X”)，

则先++?(f-9，

因为处=o,

所以数列BV｝是首项为g公比为9的等比数列，所以送4(一丁二

即

故也。苗(一切友瓯

4.随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时;

会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果.假设电商平台第一次给某人推送某商

品，此人购买此商品的概率为三，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为:；若前

一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为:•记第〃次推送时不购买此商品的概率为P”，当〃22时，

几WA,恒成立,则时的最小值为()

A9731「97C73

A•诙B不C.—D.—

答案A

解析由题意知，根据第(〃-1)次推送时购买、没有购买两种情况，写出第〃次推送时没有购买的概率，

第〃次(〃22)推送时不购买此商品的概率

〃，，=1尸，川W1-尸〃“星尸"+|，

所以呜

由题意知P『一则P&，

所以何一引是首项为会公比为4的等比数列，

所以呜=冲+，

即凡哈金占・

显然数列｛2｝递减，

所以当〃22时，PAP?与:义宗^,

所以”的最小值为保.

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

5.设一个正三棱柱/8C-4SG,每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面力8C的某顶点出发，每次只沿着棱

爬行并爬到另•个顶点，算•次爬行，且它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚊爬行〃次，仍然在上底

面的概率为匕，则下列说法正确的是()

A唉

BPI24Q)"4

"争「+()

n

D・2(PL加(D

i=1

答案AD

解析显然乃=|,

P2=1xMxl=1,A正确；

OJJOy

蚂蚁爬行〃次仍在上底面只有两种情况：

情况一：爬行(〃-1)次就在上底面，再爬行1次只有两条路可选，其概率是|2」；

情况二：爬行(〃-1)次在下底面，概率是1-0自，再爬行一次只有一条路可选，其概率是

因此，兄=!尸”/41-匕」)，

整理得P/P“鸟,

即呜4(Pn-l-＞又丹芸升故

所以｛Pn-m为首项为七公比为飘等比数列，

所以「“仁4岁二即0词(94，

所以「12三(9班6，B,C错误；

所以2(4一9当字4(1一力D正确•

i=13

6.随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活.为了测试某品牌扫地机器人的性能，开发人员设

计如下实验：如图，在△/AC表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从三角形的一个顶点等可能地

移动到另外两个顶点之一，机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行一次程序.若开始时，机器人从4点

出发，记机器人执行〃次程序后，仍回到4点的概率为。(〃)，则下列结论正确的是()

A.P(2)=i

B.当〃22时，有2P(〃尸1-P(〃-1)

CP⑺吟

DP(词1-(一)：

答案BCD

解析对于A选项，机器人第一次执行程序后，来到8或C点，故尸(1尸0,第二次执行程序后，有g的概

率回到力点，故P(2)=1,故A项错误；

对于B选项，P(〃-l)为执行第(〃-1)次程序后仍回到4点的概率，要想执行〃次程序后仍回到4点，则执行

第(〃-1)次程序后应在8点或C点，且下一次有:的概率回到4点，

故当2时，有P(〃)41-〃(〃“)],

即2P(〃)=1-尸故B项正确;

由B选项知夕(〃)勺：1-尸(〃-1)],

即？(〃)=』？(〃-1)£,

设户(")+公，『(〃-1)+用，

可得上

于是P(〃)T=T[P5-1)一耳，又ND与-WO,

所以数列｛p(m—3是首项为g公比为s的等比数列，故p(〃)于TC4)";

P(〃)=|[l-(一T)],故D项正确；

对于C选项，由D项可得

尸⑺』1一(一丁卜去故C项正确.

5\LJ64

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.用4种颜色给有〃(〃，2)个区域(不含最中间区域)的圆环涂色，且要求相邻区域不同色，用表示完成这

一涂色的方法数，则。7=.

答案2184

解析先考虑/的取值：

假设不区分小，4㈤是否同色，则用4种颜色涂这〃+1个区域等价于对以下区域涂色:

•••

4A2A3AA

因此共有4X3”种，但是这其中包含了4,4计।同色的情况，因此斯+1的取值应该减去4,4+i同色的情

况；

而小，彳用同色时，可以将这两个相邻区域看成一个整体，即用4种颜色给〃个区域涂色,

其方法数也就是四，所以有QM=・%+4X3”(〃22).

接下来，利用递推关系求小，

由斯+1=-。〃+4义3”,

两边同除以(J严得就小…⑸”,

移项得(号3(,；)「4><(-3y,

Qn=曲_十。八一]_以八-2___R々3〜口2十口2

利用累加法得当〃23时(-l)n(-l)n-(-l)n-1(-l)n-1(-l)n-2(-1)3(-I)2(-1)2

=<X[(-3严+(-3产+2・・・+(・3)2]+。2,

又因为az=A：=12,

所以*L4X[(-3尸+(-3产2+…+(-3)2]+12=4X也产沪H2

(-1)1一(T)

=3+(-3)",

即斯=3X(4)〃+3〃，又。2=12满足该式，

所以斯=3X(・l)〃+3”(〃22),

所以妙=2184.

8.甲、乙两人轮流掷一枚骰子，甲先掷.规定：若甲掷到1点，则甲继续掷，否则由乙掷；若乙掷到3点,

则乙继续掷，否则由甲掷.两人始终按此规律进行，记第〃次由甲掷的概率为p”，则必=，

答案।w(-r

解析由题意得，甲掷到1点，乙掷到3点的概率都是;，因为甲先掷，若第二次仍由甲掷，则说明第一次

O

甲掷到I点,则P2=1,

设第M-1）次由甲掷的概率是p“/,”22,

则若第（〃・1）次由甲掷，第〃次仍由甲掷的概率是力〃」，

若第（a1）次由乙掷，第〃次仍由甲掷的概率是上1-〃,泊），

所以第〃次仍由甲掷的概率是

即P，产予，*+1,

即P"片《（Pn—l-3，又

所以｛Pn—R是以g为首项，以《为公比的等比数列，所以P”9（一I）":

即谒4（-旷］

四、解答题（共28分）

9.（13分）（2025・怀化模拟）已知甲、乙两个箱子中均装有1个黑球和2个白球（各球大小，质地均相同），每次

操作从甲、乙两个箱子中各任取一个球交换放入另一箱子.

（1）当进行1次操作后，设甲箱子中黑球个数为X,求X的分布列及均值；（5分）

（2）重复〃次这样的操作后，记甲箱子中恰有1个黑球的概率为物，求〃”.（8分）

解（1）由题意知X的可能取值为0,1,2,

尸（x=o）=1|x2%2

•JOX

?（X=i）=l1x阜122S

“,33339，

2

P（X=2）=1-P（X=0）-P佯1）、，

所以X的分布列为

X012

252

P