第一章 集合与常用逻辑用语

01第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合的概念与表示

一、元素与集合的概念及表示

1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a,b,C,…表示.

2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母

A,B,C,

3、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.

二、元素的特性

1、确定性

给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在

这个集合中就确定了.简记为'确定性”.

【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合.

例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等

2、互异性

一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的.

简兄为“互异性”.

利用集合中元素的特异性求参数：

（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什

么；

（2）构成集合的元素必须是确定的（确定性），且是互不相同的（互异性），书写时可以不

考虑先后顺序（无序性）.

（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性

对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用.

3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的.简记为“无序性”.

三、元素与集合的关系

1、属于与不属于概念：

（1）属于：如果Q是集合4的元素，就说Q属于集合4,汜作Q£4

（2）不属于：如果Q不是集合4的元素，就说a不属于集合4记作QW4

2、元素与集合关系的判断方法：

（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在己知集合中是否出现即可.

（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的

特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.

四、常用的数集及其记法

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

记法NN*或N；ZQR

五、列举法

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号线}'括起来表示集合的方法叫做列举法.

【注意】

（1）元素与元素之间必须用“，”隔开.

（2）集合中的元素必须是明确的.

（3）集合中的元素不能重复.

（4）集合中的元素可以是任何事物.

六.描述法

1、定义：一般地，设/表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素工所组成的集

合表示为"6A|P（x）},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.

2、用描述法表示集合

（1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.

一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示.

（2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围.

（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内.

考点一判断元素能否构成集合

【例1】下面给出的四类对象中，构成集合的是（）

A.某班视力较好的同学B.长寿的人

C.兀的近似值D.倒数等于它本身的数

【变式1］下列各对象可以组成集合的是（）

A.与1非常接近的全体实数

B.某学校2023-2024学年度第一学期全体高一学生

C.高一年级视力比较好的同学

D.高一年级很有才华的老师

【变式2】下面各组对象中不能形成集合的是（）

A.所有的直角三角形B.一次函数y=

C.高一年级中家离学校很远的学生D.大于2的所有实数

【变式3】给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近鱼的实数的全体；③方程/

的实数根④全国著名的高等阮校.以上能构成集合的是（）

A.①③B.①②C.①②③>①②③④

【变式4】下面能构成集合的是（

A.中国的小河流B.大于5小于11的偶数

C.高一年级的优秀学生D.某班级跑得快的学生

考点二判断元素与集合的关系

【例2】下列关系中正确的个数是（）

⑴rZ,⑵&WR,⑶OWN*,(4)兀

A.1B.2C.3D.4

【变式1】给出下列关系：（1）（2）V3GQ；(3)-3WZ；(4)-V3生N,其中

•5

正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式2】给出下列四个关系：HER.OCQ,0.7WM060,其中正确的关系个数为

（）

A.4B.3C.2D.1

【变式3］（多选）下列关系中，正确的是（)

4

A.々ZB.7T£RC.|-V2|GQD.0G/V

考点三利用元素的互异性求参数

【例3】如果有一集合含有两个元素：%,%2-%,则实数%的取值范围是________

【变式1】已知集合4中含有两个元素a和小，若1W4则实数Q=

【变式3]-2]已知集合A由Q-1,2a2+5a+l,小+1组成，且-2£4求Q=

【变式3】由Q2+L93,Q组成的集合含有元素2,则实数a的可能取值的个数是()

A.1个B.2个C.3个D・4个

考点四用列举法表示集合

【例4】已知M是由1,2,3三个元素构成的集合，则集合M可表示为()

A.{x|x=l}B.{%|x=2}C.{1,2}D.[1,2,3}

【变式1】设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于

()

A.{长江，黄河}B.{长江，黑龙江}

C.{长江，珠江}D.{长江，黄河，黑龙江，珠江}

【变式2】方程/=2%的所有实数根组成的集合为()

A.(0,2)B.{(0,2)}C.{0,2}D.{%2=2%)

【变式3】方程组产中彳°期解集是()

+yz=2

A.[(1,-1),(-1,1)}B.{(1,1),(-1,1))

C«{(1,-1)，(-1，-1)}D・0

【变式4](多选)下列集合中，可以表示为{2,3}的是()

A.方程/+5x+6=0的解集B.最小的两个质数

*2x+3x+2

C.大于1小于4的整数D.不等式组丁>丁的整数解

2%-7<0

【变式5】已知集合4二核€Z|EEZ},用列举法表示集合4

若集合4=[^ez\xez｝,用列举法表示集合A

考点五用描述法表示集合

【例5】用描述法表示下列集合：

（1）比1大又比10小的实数组成的集合;

（2）平囿直角坐标系中第二象限内的点组成的集合;

（3）被3除余数等于1的正整数组成的集合.

【变式1】对集合｛1,5,9,13,17｝用描述法来表示，其中正确的是（）

A.{x|是小于18的正奇数}B.{XIx=4/c+l,上€2且攵＜5}

C.{%|x=4s-3,sEN,且s45}D.{x|%=4s-3,sEN",且s45}

【变式2】集合{1,3,S,7,9,...}用描述法可表示为()

A.{%|%=2n±1,n6Z}B.{%|x=2n+l,n6Z}

C.{%Ix=2n+l,nGN*}D.{xIx=2n+l,neN}

【变式3】用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合4=

【变式4】用描述法表示下图中的阴影部分可以是

V

-10

【变式5】下列各组中的M、P表示同一集合的个数是()

(1)M={3,-1],P={(3,-1))；

(2)M={(3,1)},P={(1,3)}；

(3)M-{y|y=x2-l},P={t\t=V%-1]

(4)M-{y\y=x2-l},P={(x,y)Iy=x2-l}.

(5)M-{y\y-Vr-1]，P—[x\y-\Jx-1)

A.0B.1C.2D.3

1.2集合间的基本关系

一.子集与真子集的定义与表示

1、子集：如果集合4中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记

作AUB（或B3A）,读作“A包含于夕（或"B包含4”）.

2、真子集：如果集合4是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于4那么集合4叫做

集合B的真子集.记作/£B或（B2A）

【注意】（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系（而元素

与集合之间的关系是个体与整体之间的关系）.

（2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系.

例如：A=[1,2｝,8二｛1,3｝,因为264,但2C8,所以A不是8的子集；同理，因为3W

B,但3W4,所以。也不是力的子集.

二、空集

1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为。，并规定：空集是任何集合

的子集.在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：（1）空集只有一

个子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集.

2、0,｛0｝,。，｛0｝的关系

0与0。与｛0｝0与{0}

相同

都表示无意思都是集合都是集合

点

不同。是集合；。是。中不含任何元素；｛0｝含一。不含任何元素；｛0｝含一个元素，

点实数个元素0该元素是0

关系0g00§{0}0s{。}$或0G{0}

三、子集的性质

（1）规定：空集是任意一个集合的子集.也就是说，对任意集合力，都有。£4

（2）任何一个集合4都是它本身的子集，即4c4

（3）如果力£B,BEC,则AcC.

（4）如果4窿B,B则4gC.

【注意】空集是任何集合的子集，因此在解AH0）的含参数的问题时，要注意讨论

4二。和4工。两种情况，前者常被忽视1,造成思考问题不全面.

四、子集的个数

如果集合A中含有n个元素，则有

（1）4的子集的个数有2n个.

（2）A的非空子集的个数有型-1个.

（3）4的真子集的个数有2n-1个.

（4）A的非空真子集的个数有2，-2个.

考点一判断集合间的包含关系

［例1］已知集合4=｛x\x>-2｝,5=<%|-2<x<l｝,则下列关系正确的是（）

A.A=BB.4GBC.BQAD.4nB=0

【变式1】设集合4={0,1},集合B={x|x<2或x>3},则4与B的关系为()

A.AeBB.BEAC.AQBD.BU4

【变式2】设集合M二｛菱形｝,N二｛平行四边形｝,P=｛四边形｝,Q=｛正方形｝,则这些集合

之间的关系为（）

A.PQNQMQQB.QGMGNGP

C.PUMUNQQD.QQNUMUP

【变式3】下面五个式子中：(1)Q[{Q}；(2)0Q{a}；(3){a}G{a,b}；(4){a}Q

{吟

(5)aE{bfc,a}；正确的有()

A.(2)(4)(5)B.(2)(3)(4)(5)

C.(2)(4)D.(1)(5)

【变式4】设集合M二{%|x二4九，neZ},/V={%|x=2n,neZ),则()

A.Mc/vB・N£MC.M€ND.NEM

考点二确定集合的子集和真子集

【例2】集合4二｛0,1,2｝的非空真子集的个数为（）

A.5B.6C.7D.8

【变式1】已知集合4=｛%I-1<%<3,xeN],贝必的子集共有（）

A.3个B.4个C.8个D.16个

【变式2】设集合M二｛%|%（%-2）=0｝,且NCM,则满足条件的集合N的个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【变式3】已知集合4二｛xlxWN*,三WN*｝,则集合4的子集个数为（）

A.8B.16C.32D.64

【变式4】满足{a}QMQ{a.b,c}的所有集合M共有个.

【变式5】适合条件{1}UA些{1,2,3,4,5}的集合/的个数是()

A.15B.16&31D-32

【变式6]满足。2,3}的集合M共有()

A.6个B.7个C.8个D.15个

考点三集合相等及其应用

【例3】下列集合中表示同一集合的是()

A.M={(2,3)},N={(3,2))

B.M=2,3,N={3,2}

C.M={(%,y)|y=x+1},N-{y\y=x+l)

D.M={%|y=x2+l},N={y\y=x2+l]

【变式1】设集合M二{5,%2),/V={5x,5}•若M=N,则实数x的值组成的集合为()

A.{5}B.{1}C.{0,5}D.{0,1}

【变式2】若｛x|=o｝二｛i,3｝,则p*q的值为（)

A.-3B.3C.-1D.7

2

【变式3】集合{1,a,9={0，afa+b},则Q"/的值为()

A.0B.1C.-1D.±1

【变式4]若{M,o,-l}={a,b,0),则(ab)3的值为()

A.0B.1C.-1D.±1

考点四根据集合的包含关系求参数

【例4】己知集合/二{-1,3,m),8={3,4],若BG4则实数m=

【变式1】A={xI/-2%-3=0},B-\x\ax-1},若B£4则实数a的值构成的集合M二

【变式2](多选)已知集合4二[2,5),B=(a,+8)•若4GB,则实数Q的值可能是()

A.-3B.1C.2D.5

【变式3】已知集合4={》|-54x42},B={X|2Q-3VXVQ_2},且43B,求实数Q的

取值范围.

【变式4】已知集合4二{x|-14x41},^={x|a-l<x<2a-l],若则实数a的

取值范围是()

A.a<1B.a<1C.0<a<1D.0<a<1

1.3集合的基本运算

一、交集

1、文字语言：对于两个给定的集合4,B,由属于4又属于B的所有元素构成的集合，叫做

4B的交集，记作408,读作“力交8”

2、符号语言：A[}B-{X\XEA^XEB}

3、图形语言：阴影部分为AflB

4、性质：AC\B=BC\At4nA=4,4D。二。fM二。，如果力&B,则408二4

5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集函数轴，不同集合高度画不同.

二、并集

1、文字语言：对于两个给定的集合4B,由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做力与B

的并集，记作4UB,读作“4并

2、符号语言：A[JB={x\xEA^xEB)

3、符号语言：阴影部分为AUB

4、性质：AUB=BU4,A{JA=A,AU。=0UA=4,如果4UB,则4UB=B.

5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异

性三、补集

1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，

那么称这个给定的集合为全集.记法：全集通常记作U.

2、补集

(1)文字语言：如果给定集合4是全集U的一个子集，由U中不属于4的所有元素构成的集

合，叫做力在U中的补集，记作Q4

(2)符号语言：QA={xlxWU且xC4}

(3)符号语言：

(4)性质：AUQM=U；/inC(M=。；Cu(CuA)=4

【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R,要看题目的.

四、利用交并补求参数范围的解题思路

1、根据并集求参数范围：A{JB=B=>AQB,

若4有参数，则需要讨论4是否为空集；

若B有参数，则BA0

2、根据交集求参数范围：4nB=A=418

若4有参数，则需要讨论4是否为空集；

若B有参数，则BW0

五、区间及相关概念

1、一般区间的表示：设Q,b是两个实数，而且QVb,我们规定：这里的实数Q,b叫做区间

的端点.

在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括

号表示.

定义名称符号数轴表示

闭区间[a,

{x\a<x<b]b]・,一“Y>---------►

4J卜

{x\a<x<b}开区间(a，b)-A

C5

{x\a<x<b}半开半闭区间[a,b)一

CJ/b

{x\a<x<b}半开半闭区间(a,b]----------<------------------------------------

£l/b

2、实数集R

可以用区间表示为(-8,18),“8”读作“无穷大”，“-8”读作“负无穷大”，“48”读作“正无穷

大”.

3、特殊区间的表示

定义符号数轴表示

x>a(a,+oo).▲---

a

x>a[a,+00)

■

a

x<b(-co,b)b-

x<b(-co,b]b_

考点一交集的运算

【例1】己知集告8二{1,2,3},B-{x\(x+l)(x-2)=0,xeZ},则ACI8等丁()

A.{1}B.{2}C.{-1,2}D,[1,2,3)

【变式1】设集合A二{3,5,6,8},集合B二{4,5,7,8},则ACIB二

【变式2】己知集合4={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(%,y)|x+y-l=0,x,ye

Z},则APIB=

【变式3]己知集合M={"-1<%V2},/V={x|1<x<3],则MflN二()

A.{.r|一1V%W3}B.{x|-1VxW2}

C.{%|1<%<2]D.{%|2<%<3]

【变式4】已知力二｛x|xMl｝,B=｛y\y>0｝f则集合4nB等于（）

A.0B.{%|%<1}C.{%|0<%<1]D.{x|0<%<1]

考点二并集的运算

【例2】(全国H)设集合A={1,2,3),8={2,3,4},贝必118等于()

A.{1,2,3,4}B.{1,2;3}C.{2,3,4}D.{1,3,4)

【变式1】A={xl-1vx<2},F={xI1<x<3},求4UB.

【变式2】若集合4={x£Z|-2V%Vl},F={0,1,2),则AUB=()

A.{xI-2<x<0}

C.{%|-2<%<1}U{2}D.[-1,0,1,2)

【变式3】已知集合力二{x|-2<x<2},若NUB：A,贝IJB可能是()

A.[1,-1}B.{2,3}C.{%|-1<x<3]D.[%|-2<%<-1)

【变式4】满足条件{1,3}LM={1,3,5}的所有集合A的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【变式5】已知集合力二｛三角形｝,8=｛等腰三角形｝,C=｛矩形｝,。=｛菱形｝,则（）

A・AUB二BB.AC\B=0C・CUO=CD.eno={正方形}

考点三补集的运算

【例3】设全集U二{1,2,3,4,5},/4={1,2},Q/二()

A.[1,2,3}B.{2,3,4)C.{3,4,5}D.[4,5}

【变式1】已知集合A二｛2,3,4｝,8二｛1,3,4,5｝,全集U=71UB,则Q力二（）

A.{2}B,{1,5}C.[2,3,4}D,[1,3,4,5)

【变式2】已知全集U=R,A={x\x+1>0},则Cp4=()

A.(-co,-1)B.(-co,-1]C.(-oo,1)D.(-oo,1]

【变式3】已知全集U={x|-3<x<3},集合A二卜1-2VxMl},则C/1二()

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[1,3)

C.[-2,1)D.(-3,-2]U(1,3)

【变式4】己知集合4={%IxV0或%>1},则CR力二()

A.{x|0<x<1}B.[%|0<x<1}

C.{%|0<%<1)D.{%|0<%<1]

考点四交并补综合运算

【例4】已知全集U二{-1,0,1,2,3,4},集合A={xIxWL%e/V],B={1,3},则

QG4UB)=()

A.{4}B.{2,4}C.{-1,2,4}D.{-1,0,2,4)

【变式1]己知全集1={0,1,2,3,4,5,6),集合4={0,1,3,5},B={2,3,6),

贝MU©B)二()

A.{3}B,[0,1,3,4)

C.(0,1,3,4,5}D.{0,1,2,3,5,6}

【变式2】己知集合4={%ER|x<0},B={xeRI-1<%<1],则CRQ4UB)=()

A.(-co,0)B.[-1,0]C.[0,1]D.(1,+00)

【变式3】设全集U=R,集合4={x[%Nl},B-{x\-1<%<2),则(CM)nB二()

A.{xI-l<x<l}B.{x|x>2}

C.{x|%<2}D.{%|1<%<2}

【变式4】已知集合4={x|xZ2},^={x|0<%<5,%GZ},则)

A.[1,2,3,4}B.{1,2,3}

C・{1,2}D・{1}

考点五集合运算中的求参问题

【例5】己知集合/二{"%>2},B={x\x<a},若AUB=R,则实数a的取值范围为

()

A.(-8,2]B.(1,+00)C.(-8,2)D.(2,+co)

【变式1】已知集合力={%|QX-1=0},F={xeN*|l<x<4],A/1UF=^,则实数Q的所

有值构成的集合是()

A.{1,1B.g,i}C,{1,i,1]D.{0,1,”}

【变式2】已知集合4二{x|-1WxV2},B={XIXVQ}.若AflBH。，则实数a的取值范围

是()

A.(-1,2)B.(2,+oo)C.[-1,+oo)D.(-1,+co)

【变式3】设集合4二{x|1WxW4},B-{x\m+1<x<2zn+3],若4nB=8,求实数血的

取值范围.

【变式4】设集合4={x|x+1<0或x-4>0},={x|2a<%<a+2].

(1)若力DB。。，求实数a的取值范围；

(2)若4nB二B,求实数a的取值范围.

【变式5]己知集合A二{%|2VxV3},B={x\x>m}f且(CR4)UB=R,则实数m的取值

范围是()

A.m>2B.m<2C.m<2D.m>2

【变式6】设集合4二{x|%2_3%+2=0},B-{x\x2+2(a+l)x+a2-5=0}.

(1)若ADB={2},求实数Q的值；

(2)若{UB=4求实数a的取值范围；

(3)若全集U二R,an(QB)=4求实数a的取值范围.

考点六韦恩图的应用

【例6】设全集U是自然数集N,集合4={x|/>4,xeN),B={0,2,3},则图中阴影部

分所表示的集合是()

A.{x|%>2,xeN]B.{%|%<2,%GN}

C.{0,2}D.{1,2}

【变式1】图中的阴影部分表示的集合是（）

A.An（CuB）B.Bn（Q4）C.Q（AnB）D.G/AUB）

【变式2】已知非空集合M.N是全集U的子集MUQN,则（QM）nN二（）

A.CuMB.CVNC.MD.N

【变式3】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小

组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的

有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？

【变式4】某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运

动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的有人.

集合专题：集合中常见的五种参数问题

一、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值.

（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；

（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.

二、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围

由集合间关系求解参数的三部曲

第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；

第二步：看集合中是否含有参数，若4G8,且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情

形；

第三步：将集合间的包含关系转化为方程（组）或不等式（组），求出相关的参数的值或取

值范围•常采用数形结合的思想，借助数轴解答.

三、根据集合运算的结果确定参数的取值范围

方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取

值范围.

方法二：

（1）化简所给集合;

（2）用数轴表示所给集合；

（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；

（4）解不等式（组）；

（5）检验.

【注意】

（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取"=

（2）千万不要忘记考虑空集.

考点一根据元素与集合的关系求参数

【例1】已知集合/二{a,1,a2-5a+6],若2€4,则实数a的值构成的集合为

【变式1】已知M-a+ic”，3,a},则实数。二

【变式2】设集合4二{2,3,Q2_3Q,a+^+7],B={|a-2|,0）,已知4W4且4盾B,则实

数a的取值集合为

【变式3】已知集合力二{a,|a|,a-2）,若2€4则实数a的值为（）

A.-2B.2C.4D.2或4

考点二根据元素个数求参数

【例2】已知4={xEZ|-14%Vm},若集合4中恰好有5个元素，则实数?n的取值范围为

（）

A.4<m<5B.4<m<5C.3<m<4D.3<m<4

【变式1]若A={x|岩=1,xER}为单元素集，则实数。的取值的集合为

【变式2】已知集合4={xIa%z_3x+2=0,xER,aeR].

（1）若“是空集，求a的取值范围；

（2）若A中只有一个元素，求a的值，并求集合4

（3）若力中至少有一个元素，求a的取值范围.

【变式3】设数集A由实数构成，且满足：若x"C且力。），则士一.

（1）若2E4,试证明A中还有另外两个元素；

（2）集合力是否为双元素集合，并说明理由；

（3）若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为?，且A中有一个元素的平方等于所有

元素的积，求集合A.

【变式4】已知集合A={X|Q/-3X+2=0},其中Q为常数，且a€R.

（1）若A中至少有一个元素，求a的取值范围；

（2）若A中至多有一个元素，求Q的取值范围.

【变式5】数集M满足条件：若QWM,则产WM（aH±l,aHO）.

1-a

（1）若3WM,求集合M中一定存在的元素；

（2）集合M内的元素能否只有一个？请说明理由；

（3）请写出集合M中的元素个数的所有可能值，并说明理由.

考点三根据集合相等求参数

【例3】已知集合/二{0,1,a2},B={1,0,2a+3},若则a等于（）

A,-l或3B・0或-1C.3D.-1

【变式1】若集合{a,0,1}二{c,1,-1},则“二

【变式2】已知集合{a,5,1}与集合{M,a+b,0}是两个相等的集合，求。2。2242。22的值.

【变式3】设集合{a,b,Vab]=[1,2,4},则a+b=（）

A.2B.3C.5D.6

考点四根据集合间包含关系求参数

【例4】集合A={-1,2,4）,8={2,m2},BRA,则m=

【变式1】已知集合4={%IxV4},B-{x\x<m）,且mathrm{A}曝B$,则?n的取值

范围是（）

A.[4,+00）B.（4,+00）C.（-co,4）D.（-oo,4]

【变式2】已知4={久|汽24_4》=0},B_{x\x24-2(a+ljx+a2-1=0}.

(1)若A是B的子集，求实数Q的值；

(2)若8是A的子集，求实数Q的取值范围.

【变式3]己知集合A={%|-2<x<5],B={x\m+1<x<若B不力，求实数m

的取值范围.

考点五根据集合的运算求参数

【例5】设集合/二{%|/二1},B={%|。"=1}.若4nB=B,则实数a的值为()

A.1B.-1&1或-1D.0或1或-1

【变式1】已知集合4={%I24％48},B={x\1<%<6],C=[x\x>a],U=R.

(1)求AU8,s)n8；

(2)若/new。，求a的取值范围.

【变式2]已知集合A={x|义2-3X一10<0},B-{x\m+1<x<2m-l].

(1)当m=3时，求集合(C4)n&

(2)若AfW=B,求实数zn的取值范围.

【变式3】已知集合4={%|-2<%<4],B-{x\-m+1<x<2m-1].

(1)若m=2,求AUB,4n(CRB)；

(2)若求m的取值范围.

【变式4】设R为全集，A={x\x<a},B={%I1vx<2},且AU(CRB)=R,求Q的取值范

围.

【变式5】设全集U=R,集合4={x|-1VxW2},F={x|2m<x<1}.

(1)若m=-1,求BnQ4

(2)若BflQA中只有一个整数，求实数m的取值范围.

1.4充分条件与必要条件

一、充分条件与必要条件

”若p,则q"为真命题”若P，则q”为假命题

推出关系pnqp#q

条件关系p是q的充分条件p不是q的充分条件

”若P，则q”为真命题”若P，则q”为假命题

q是p的必要条件q不是p的必要条件

判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件

定理关系

性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件

【注意】

（1）前提p=q,有方向，条件在前，结论在后；

（2）p是q的充分条件或q是p的必要条件；

（3）改变说法："p是q的充分条件"还可以换成q的一个充分条件是p；

“q是p的必要条件"还可以换成”p的一个必要条件是q”.

二、充分必要条件与集合的关系

若条件p，q以集合的形式出现,即4={x|p（x）},B-{x\q（x）},

则由AG8可得，p是q的充分条件，

（1）若4星儿则p是q的充分不必要条件；

（2）若A3B,贝Up是q的必要条件；

（3）若4我心则p是q的必要不充分条件；

（4）若4二氏则p是q的充要条件；

（5）若且则p是q的既不充分也不必要条件.

充分必要条件判断精髓：

小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条

件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；

解题技巧：

掌握两句话：判断谁是P（条件）命题，谁是q（结论）命题

（1）谁是谁的什么什么条件，是的什么条件

（2）谁的什么什么条件是谁，的什么条件是

考点一充分条件、必要条件的判断

【例1】若A是B的充分条件，D是C的必要条件，C是B的充要条件，则D是A的（）

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要

【变式1】对任意的a,btc,在下列命题中是真命题的为（）

人>儿"是”的必要条件B."ac=bc"是“二b”的必要条件

C."ac>儿”是“a>6”的充分条件D.“ac二儿“是，二b”的充分条件

【变式2】若汽ER,则“产<0”是”％<0”的条件

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式3】不等式）2_%+巾>0在实数集上恒成立”的一个必要不充分条件是（）

A-m>ZB.0<m<lC.m>0D・m>1

【变式4】已知a,b£R,在下列条件中，使得a>b成立的必要条件是（）

A.a>b-1B.a>b+lC.\a\>\b\D.a2>b2

【变式5】使,比G{xIx>3或％<-3'成立的一个充分不必要条件是（）

A.{%|%>0}B.[%<0或x>2}

C.%6（-1,3,5}口・{工工一：或工工3}

【变式6】"一元二次方程--QX+1=0有两个正实数根”的一个充分不必要条件可以为

;一个必要不充分条件可以为

考点二利用充分条件、必要条件求参数范围

[例2]若“x>3”是*>a"的充分不必要条件，则实数Q的取值范围是________

【变式1】已知p：工>1或％<-2,q：x>a,若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围

是（）

A.{aIa<-2}B.{aIa>-2}C.{aI-2<a<1}D.{aIa>1）

【变式2】己知集合4={%|-1<%<2],B-{x\1-m<x<l:2m,m>0],若"％64"是

3W8”的必要不充分条件，求实数zn的取值范围.

【变式3】己知P={x|Q-4<%Va44},Q={%|l<x<3},“x€P”是“％EQ”的必要条

件，求实数a的取值范围.

【变式4】设p：%>a,q：x>3.

（1）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；

（2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围；

（3）若a是方程%2-6%+9=0的根，判断p是q的什么条件.

考点三充分性与必要性的证明

【例3】已知a匕工0,求证：Q+b=1的充要条件是a?4/）3+08-02一户二o.

【变式1】求证：关于x的方程Q/+以代二0有一个根为1的充要条件是Q+b+C=0.

【变式2】设a,b,cWR.求证：a>0,b>0,c>0的充要条件是a+b+c>

0,ab+bc4-ca>0,abc>0.

【变式3】已知居y都是非零实数，且x>y,求证：的充要条件是町>0.

1.充分条件、必要条件的判断方法

（1）利用定义判断：直接判断“若p,则q〃若q，则p〃的真假.在判断时，确定条件是什么、

结论是什么.

（2）从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得

大范围是解决充分性问题；大范围推得小范围是解决必要性问题.

2.判断充要条件需注意三点

（1）要分清条件与结论分别是什么.（2）要从充分性、必要性两个方面进行判断.（3）直

接判断比较困难时，可举出反例说明.

1.5全称量词与存在量词

一、全称量词与全称量词命题

1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量

词，用符号“V”表示.

【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；

（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”

2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.

对集合M中的任意一个，p（x）成立（M表示变量％的取值范围），

符号表示为：对VEM,p（x）.

【注意】(1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命

题；

(2)一个全称量词命题可以包含多个变量；

(3)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来.

如：命题“平行四边形对角线互相平分”理解为“所有平行四边形对角线都互相平分”.

一、存在量词与存在量词命题

1、存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个"在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称

为全存在量词，用符号“才'表示.

【注意】常见的存在量词还有“有些"、”有一个”、“对某些“、“有的”等；

2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题.

存在集合M中的元素居p(x)成立(M表示变量％的取值范围)，简记为：对mEM,p(x).

【注意】(1)从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命

题；

(2)一个存在量词命题可以包含多个变量；

(3)有些命题虽然没有写出存在量词，

但其意义具备“存在”、“有一个，等特征的命题都是存在量词命题

三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断

1、判断全称量词命题真假：

若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素工,验证p(x)成立；

若为假命题，只要能举出集合M中的一个％=勺，使p(%)不成立即可；

2、判断存在量词命题真假：

只要在限定集合M中，至少能找到一个％使p(x0)成立，

则这个命题为真，否则为假.

四、命题的否定

1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作Jp”，读作“非p”或p的否定.

2、全称量词命题的否定：

一般地，全称量词命题，％EM,q(x)”的否定是存在量词命题：SxGM,-iq(x).

3、存在量词命题的否定：

一般地，存在量词命题q(x)"的否定是全称量词命题：VxeM,-nq(x).

4、命题与命题的否定的真假判断：

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.

即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然.

5、常见正面词语的否定：

正面词语等于(二)大于(>)小于(<)是都是

否定不等式(工)不大于(M)不小于(N)不是不都是

正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有71个

否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个

考点一全称量词命题与存在量词命题的判断

【例1】下列命题中为全称量词命题的是()

A.有些实数没有倒数B.矩形都有外接圆

C.存在一个实数与它的相反数的和为0D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行

【变式1】下列命题是全称量词命题的是()

A.有一个偶数是素数B.一元二次方程不总有实数根

C.每个四边形的内角和都是360°D.有些三角形是直角三角形

【变式2】下列语句不是全称量词命题的是()

A.任何一个实数乘以零都等于零B.自然数都是正整数

C.高二(一)班绝大多数同学是团员D.每一个学生都充满阳光

【变式3】下列语句是存在量词命题的是()

A.整数n是2和5的倍数B,存在整数九，使n能被11整除

C.若3%-7=0,则x=ZD.VxGM,p(x)

3

【变式4］判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题.

(1)所有不等式的解集人都满足AGR；

(2)有些实数a,b能使有-力|=

(3)对任意Q,bGR,若a〉b,则工V}

ab

(4)自然数的平方是正数.

【变式5】下列命题与ER,xl>3”的表述方法不同的是()

A.有一个aER,使得/>3B.有些%oGR,使得培>3

C.任选一个沏WR,使得诏〉3D.至少有一个勺WR,使得据>3

考点二全称量词命题与存在量词命题的真假

【例2】在下列命题中，是真命题的是()

A.3xGR,x2+x+3=0

B.Vx6R,X2+X+2>0

C.VxGR,x2>|x|

D.已知4={a|Q=2九},B=[b]b=3m],则对于任意的九，m6N\都有4(18=。

【变式1]已知命题p：当机€[1,2]时，关于％的方程=0没有实数解.下列说法正

确的是()

A.p是全称量词命题，且是假命题B.p是全称量词命题，且是真命题

C.p是存在量词命题，且是假命题D.p是存在量词命题，且是真命题

【变式2】下列四个命题：

(1)V%6R,x2-x+->0

4

(2)3%6R,%2+2%+3<0

(3)Vn6R,n2>n

(4)至少有一个实数x,使得/+1=0,

其中真命题的序号是()

A.(1)(3)B.(2)(3)C.(2)(4)