2026年高考数学一轮复习专练：第三章 进阶篇 不等式证明方法 进阶3 切割线放缩（附答案）

进阶3切割线放缩

双变量导数中的剪刀模型起源于2015年天津卷，在2021年新高考I卷中名满天下！该模型的实质是凹凸

函数切割线放缩（牛顿切线法），值得注意的是，该方法出现在人教版新教材选择性必修第二册82页阅读材

料中.

1.函数的凹凸性

（1）下凸函数（凹函数）：如图1,对于连续函数/U）,若在其图象上任取两点A3,孔⑴），8（如危2）），除端

点外，线段AB始终在函数/U）图象的上方，或在凡r）的图象.上任取点C（xo,4⑹），函数/U）在点C处的切

线）可口。）（工'）上"。）除切点外，始终在火幻图象的下方，我们称/W为下凸函数.若yw存在二阶导数八力

则满足.尸（工）20的函数7U）为下凸函数.

（2）上凸函数（凸函数）:如图2,对于连续函数贝力,若在其图象上任取两点如⑶，於。）,Bg02）），除端

点外，线段A8始终在函数./U）图象的下方，或在./U）的图象上任取点。（沏，人即）），函数./U）在点c处的切

线月Uo）（x-xo）t/*o）除切点外，始终在危）图象的上方,我们称/U）为上凸函数.若/U）存在二阶导数/"（x），

则满足/''（x）WO的函数人x）为上凸函数.

2.切线、割线不等式

（1）对于下凸函数，可利用切割线进行放缩，.Ax）^r（xo）（x-xo）+Axo）,当x£（即，念）时，fix）＜f（X1）~f（X2）（x-

彳1一％2

（2）对于上凸函数，可利用切割线进行放缩，y（X）W（Xo）（X-Xo）+凡⑹，当工任（为，工2）时，《幻，））（¥

＞"11一-"”2'2

3.剪刀模型

已知函数凡，）为定义域上的下凸函数（或上凸函数），且图象与广〃?交于A,B两点,其横坐标为为，照，我

们可以利用下凸函数（或上凸函数）的切线与产〃?的交点将M，不的范围予以估计，这便是切线放缩的基本

原理.

如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出交点横坐标的一个上下界，而切割

线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解（精确解）的估计.

切割线放缩主要应用在交点横坐标和、交点横坐标差问题中，切割线放缩体现了函数中的化曲为直的思想.

例1已知函数於)=xlnx.

(1)求/U)的单调区间；

(2)若xi42,且.”1)刀也尸o，〃ER,证明：ae+1425<4+1.

(1)解由题意，八x)=1+lnMA>0),

令人x)>0,则Q>e”,

令人K)<0,则Owe'

从而JU)的单调递减区间是(0,e-'),单调递增区间是(e“，+8).

(2)证明当081时，,Ax)<0,1A11=0,

当x>l时，/)>0,

因为.0<丫2且人为)习(12),

结合凡0在(0,e」)上单调递减，在忙」，+8)上单调递增，

可得0々1«/<¥2<1,如图.

设gQ)yx)+x(O<Y<e/)，

则^(.r)=r(l+lnx)<0,

所以KT)v-x(04<e"),

从而汽Xl)<-X],

又八汨)二。,所以4<-汨，故-X1>”①

设/心)=7W心(x-l)(e-y<l),

贝ljhr(x)=1+lnA-^--ln,

令h'(x)>0,则e-£T<x〈l,

令h,(x)<0,贝ije'<i<e-ezT,

从而力。)在(eT,e-E)上单调递减，在(e—三，1)上单调递增，又/?(a)=〃(1)=0,

所以卜。)<0在(5,1)上恒成立,

故^2)=J(X2)-^(X2-1)<0,

所以j《X2)〈六3-1),

又八。)二。,所以4<六(*-1),

故xi>1+a(e-1),②

将①②两式相加可得.V2-xiX/e+l.

设u(x)=y(x)-(x-l)(O<r<l),

则u\x)=\nx<0,所以〃(x)在(0,1)上单调递减，

又〃⑴=0,所以〃*)>0在(0,1)上恒成立,从而应。*-1在(0,I)上恒成立,

所以久,

又7(即)二。,所以,故X2〈a+I,

又T|>(),P斤以X2-X】VX2V〃+1,

综上所述，ae+\<X2-x\<a+\.

例2已知函数/U)=(x-l)(ev-l).

⑴求函数J(x)在x=1处的切线方程；

(2)若方程7(幻=〃有两个不同的实根X|,X2，证明：[X]-X2|W台'+1.

⑴解由题意，八X)=eJ1+(rI)e=reJ1,

所以f(l)=e-l,

又人)=0,所以,")在入=1处的切线方程为3=(e-I)(x-l).

(2)证明设^x)=J(x)+x,

则g'(x)力x)+l=xe"

所以g'(x)>0<=>Q0,g'(x)<0=x<0,

从而g(x)在(4，0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

故g(jv)2g(0)$0)=0,

所以,①

设//Cv)=^/(A)-(e-1)(x-1)(A-eR),

r

则/z(x)^f(x)-(e-I)=xe'-e,

所以b'(x)>O<=>Ql,〃。)<0<=>工<1,

从而力。)在(-8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

故/心)20(1)=0,

所以9)2仁-1)(六1).②

由题意，方程J(X)=4有两个不同的实根即，X2,

所以]xi)y%2)=a.

不妨设X\<X2,

由ftxi)=a和不等式①可得a=fix\)^-x\,

所以xi2-a；

由兀0=〃和不等式②可得

a=i/U2)，(e-1)。2-1),

所以,

e—1

从而k|-X2|=X2-X|W-^-+I+(1=+1.

e-1e-1

思维升华(1)割线放缩关键是根据不等式的特点和需要，找准相关的函数及其割线，才能恰当地进行割线

放缩.⑵割线夹本质与切线夹类似.

跟踪训练已知函数«x)=lnx-f+l.

(1)证明：/U)4；

(2)若方程J[x}=a有两个不相等的实根M,xi,证明：g-沏|<1-2a.

证明⑴设g(x)yx)-x,

贝ljg(x)=]nx-^+\-x,

gO)W-2x/=0铲，

所以ga)>ooo<xq,gQ)<oo.讳，

故g。)在(0,3上单调递增，在G，+8)上单调递减，

2

从而(?U)nm=5(1)=ln1-Q)+i-1=j-ln2<(),

所以g(x)<0,故

(2)设力(1)守3+",

则/z(.r)=lnX-J^+X,

所以b'a)2-2r+l=-3+DST),

XX

从而//U)>0<=>0<v<1,//U)<0<=>.r>l,

故/©)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以心)皿=%⑴=0,

故/r(x)W0恒成立,从而加)W・x+l,

因为方程«¥)=<7有两个不相等的实根X1,x>,

不妨设X\<X2,

则加)如2)=a,

所以句5)<X|,故，斫/S)W-X2+1,

所以©W1-4,

故Lo-xil=X2-Xi<1-a-a=\-2a.

课时精练

［分值：34分］

1.(17分)已知函数/)=a・l)ln(x+l),曲线月⑶在点(1,0)处的切线方程为严质+b.

(1)求A,〃的值；(4分)

(2)证明：7(x)2日+匕；(5分)

(3)若函数g(x)=J(x)+m(m£R)有两个零点即，M,证明：民-MIW1分)

⑴解函数府)的定义域为(-1,+8),

/(x)=ln(x+l)-^l,/(l)=ln2.

所以几0在点(1,0)处的切线方程为＞=in2(x-l),

即y=ln2-x-ln2,

故^=In2,b=-\n2.

⑵证明设h(x)=f(x)依-b

=(x-1)ln(x+1)-xln2+ln2,x^(-l,+°°),

则h'(.r)=ln(x+1)--^-+1-ln2.

令F(x)=//，U)=ln(x4-1)-^j+1-In2,x£(-l,+0°),

贝Uk㈤小品＞°，

所以f(x)为增函数，即万。)为增函数.

又/r(l)=ln2-1+1-ln2=0,

所以当与三(-1,1)时，3(x)〈0,函数加x)单调递减；

当xG(l,+8)时,/f(x)＞0,函数板)单调递增,

所以/2(X)min=/?(1)=0,即4(x)20,

所以jKx)2xln2-ln2.

(3)证明gCr)=Ar)+〃?(〃?£R)的两个零点为，xi,即为关于x的方程./U尸-〃z的两个根，不妨设,

由题知，曲线产式工)在点(1,0)处的切线方程为)=xln2-ln2,

令3(x)=xln2-ln2,

设关于x的方程(p(x)=-m的根为人"2,

则"若.

由⑵知，於2)2心2),

所以W(X'2)XX2)，3(X2),

因为0。)为增函数，所以X'22X2.

设曲线厂/*)在点(0,0)处的切线方程为y=t(x),

因为F(o)=“，所以心)=-%,

设关于x的方程t(x)=-in的根为41,

则x\=m.

令T(.r)=y(x)-r(x),

同(2)证明可得T(x)^O,即/U)2«x),

人即)力(XI),

所以。'|)可3)力但)，

又《幻为减函数，所以MWxi.

所以l(2-X\\=X2-X\2-Xfl=1加滞.

2.(17分)已知函数y(.r)=(x-l)(e'-l).

(I)证明：7U)存在唯一的极小值点回；(7分)

(2)若关于x的方程火外=。3<0)有两个不相等的实根即，.小证明：哼尸+1《1+右〈%.(10分)

IT。

证明⑴由题意，/V)=e工1+(x-1)e=e<1,/'(x)=(x+l)e',

所以『'(x)>Ou*Q-l,/(X)<0=KV-1,

从而f(X)在(-8,/)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，

因为『(())=-1《),/(l)=e-l>0,

所以f(x)在(-1,+8)上有1个零点，

而当KW-1时，显然/(x)<0,

所以『(外在(-8,-1]上没有零点,

故/V)有且仅有1个零点，

设为xo,当x<x()时，八x)<0,

当x>.t<)时，/(x)>0,

所以j[x)在(-8,xo)上单调递减，

在(沏，+8)上单调递增，

从而汽幻存在唯一的极小值点x().

(2)设g(x)=J(x)+x,

则gO)=(x-l)e'+l,

所以g'(x)=xe,

从而g'(x)>0Qx>0,g'(x)<o=xvo,

故g(jr)在(-8,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增，所以ga)min=g(0)=0,

从而g(x)20恒成立，当且仅当4D时取等号，

故当.t>0时，g(x)>0,即凡丫)+x>0,

所以Q)>-x.①

/)过(血，凡粕)),(1,0)两点的割线方程为)，二奈%『1)二(铲。-1)(犷1),

令力。)=於)«孙-1)(%-1),

则h\x)=f(x)-eXo+1=vev-ex°,

当xe(x0,1)时,/fU)=U+l)e'>0,

所以%。)在(M,1)上单调递增，

又h,(xo)=A<)ex°-ex°=(xo-1)ex0<0,

/?*(l)=e-ex°>0,

所以％'(x)在(xo,1)上有I个零点，记作a,

当xo<x<a时，/f(x)<0;

当a<x<\时，〃(x)>0,

故贻)在(次，。)上单调递减，在(a,1)上单调递增，

又go)=h(D=0,所以力(x)〈0在3),1)上恒成立,

即以).(眇。-1)(41)<0恒成立,

故凡》〈(眇。-1)。-1),②

因为方程兀r)=〃有2个实根xi,X2,

显然汽o）=A1）=0,

所以J（x）vO=（Kv<l,

不妨设X]<X2,

因为a<0,所以必有0<X1<10<12<I,且人力）=^>2）=。，

由./Ui）=a和不等式①可得a=f（x\）>-x\,

所以x\>-a；

由,"2）人和不等式②可得

。=双）〈（眇。-1）（立1）,

所以由五1，

从而X1+工2>-〃+1,+1,