数列的综合应用大题专项训练【七大题型】-人教A版高中数学选择性必修第二册（解析版）

专题4.8数列的综合应用大题专项训练【七大题型】

【人教A版(2019)]

姓名：班级：考号：

题型一等差、等比数列的交汇回题Oj

I.(24-25高三上•重庆•阶段练习)已知正项等差数列｛Q,J满足：％=1且％,&，。3+4成等比数列.

(1)求数列｛a"的通项公式；

(2)若数列｛%｝满足:匕=2%nWN*,求数列｛Qn+5｝的前加页和%.

【解题思路】(1)利用已知％,。2,。3+4成等比数列，用等差数列基本量%,d列方程并求解，再由等差

数列通项公式可得结论；

(2)分别利用等差与等比数列求和公式分组求和法可得结论.

【解答过程】(1)设正项等差数列｛&J的公差为小则d>0,

由％,。2，。3+4成等比数列，

得a；=ai•(a3+4),则(a1+dp=。式%+2d+4),

乂4=1,即(1+d)2=5+2d,解得d=—2(舍)，或d=2.

所以%=14-(n—1)x2=2n—1.

数列｛an｝的通项公式为册=2几一1.

(2)由题意得，ba==22〃T=2x”T,

则能=芾=%且仇=2,

故｛aJ是以2为首项，4为公比的等比数列，

贝！J4+。2+…+Qn=n（l+；i）=n2,

2（1-4n）2

瓦+b2+…+%二洌-1）

1-4

Sn=（Qi+。2+…+即）+（瓦+。2+…+%）=M+算4"-1）.

故数列｛斯+5｝的前n项和Sn为层+(4"-1).

2.(2024.吉林•模拟预测)已知数列｛斯｝满足：%=1,an+1=an+2(nG2"),数列｛%｝为单调递增等比

数列，3=2,且瓦，b2,%-1成等差数列.

(1)求数列｛b｝的通项公式;

(2)设％=an+log2fen»求数列｛q｝的前n项和3.

【解题思路】（1）根据的+]=4+2（nEN"）得到｛a"为公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式

求出即=2n一1,再设｛%｝的公比为q,列出方程，求出q=2,得到通项公式；

（2）化简得到0=371-2,故｛j｝为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案.

【解答过程】（1）因为册+1=斯+2（neN"）=an+1-an=2（neN，）,

故｛册｝为公差为2的等差数列，

所以an=4+2（n—1）=1+2（n—1）=2n—1,

又瓦,坛,成等差数列，故2b2=瓦+一一1，

设｛匕｝的公比为q,其中尻=2,

则4=（+2q-l,解得q=2或5

当q=2时，仄=1,此时b=为递增数列，满足要求，

当q=：时，瓦=4,此时bn==（J,为递减数列，舍去，

综上，a?1=2n—1,bn=2'Li；

n-1

（2）cn=2n-1+log22=3n-2,则0+i-cn=3,

故｛7｝为公差为3的等差数列，

故兀=C]+C2+…+%=1+4+…+3n-2==2^

3.（24-25高三上•广东东莞•阶段练习）已知数列｛册｝是公差为3的等差数列，数列｛bn｝是公比为2的等比数

列，且g+="+2,ar+a3=b2+b3.

⑴求数列｛3｝、｛九｝的通项公式：

（2）设数歹ij｛」一｝的前n项和为外,求证：；＜S＜1.

anan+lZn

【解题思路】（1）根据等差数列和等比数列的定义求得通项公式即可；

（2）利用裂项相消法求得Sn=l-W，再根据其单调性即可得证.

【解答过程】⑴由题意得产?¥『8幺+2,解得：03,瓦=2

（.2al+6=6bl11

因为数列｛册｝是公差为3,数列｛4｝是公比为2,所以册=3几，%=3〃；

（2）由（1）得：/==菰品=而扁=；-^

++6+••+（＞系）=—W

易知y=1-在〃WN•上单调递增，故当〃=1时，Sn取最小值5

又Sn<l(neN*)恒成立，所以:<Sn<1.

4.(24・25高三上•天津•阶段练习)已知数列｛册｝,｛b｝中，a3=7,a=2,｛的｝是公差为2的等差数列，

数列｛b｝是公比为2的等比数列.

(1)求数列Sn｝的通项公式；

(2)求数列｛b｝的通项公式；

(3)求数列｛%+0｝的收n项和7n.

【解题思路】(1)根据等差数列通项公式即可求出；

(2)根据等比数列的通项即可求解；

(3)根据等比数列的求和公式以及等差求和公式，结合分组求解计算即可.

【解答过程】(1)因为｛。虫｝是公差为2的等差数列，a3=7,

所以即=%+2(n-3)=7+2n—6=2n+1.

(2)因为瓦=2,数列｛b｝是公比为2的等比数列,

所以b=坊2底】=2x2'-1=2".

(3)由(1)(2)得斯+b=2n+l+2n,

("27

由于｛an｝的首项为%=3,故｛册｝的前几项和为吗迦=叫

｛小｝的首项和公比均为2,故前n项和为华2,

1-2

故Sn+%｝的前n项和7；=("2；)n+喑2=2n+1+*+2九-2.

5.(24-25高三上•天津武清•阶段练习)设｛QJ是等差数列，｛%｝是各项都为正数的等比数列.且%=a=

l,a3+b2=7,2a2—b3=2,nEN*.

(1)求5｝,｛bn｝的通项公式;

((an+1)-为奇数

(2)若。=|3gn为偶数，求数列｛。｝的前2九项和Szrr

【解题思路】(I)先设等差数列•:册｝的公差为心等比数列｛%｝的公比为q(q>0),再根据题干已知条件列

出关于公差d与公比q的方程组，解出d与q的值，即可计算出等差数列｛Q,J与等比数列｛bn｝的通项公式；

(2)先根据第(1)题的结果计算出数列｛0｝的通项公式，再求数列｛4｝的前2九项和S2n时分奇数项与偶数

项分别计算，奇数项求和运用错位相减法进行求和，偶数项求和时运用裂项相消法进行求和，最后综合即

可得到前2/1项和S2n的结果.

【解答过程】(1)由题意，设等差数列｛%»的公差为d,等比数列｛坛｝的公比为q(q>0),

则...(岛%+-玩3==21(1++2d4+)q2==72,化简，+q=6

-q2=0

整理q2+q-6=0,解得q=-3(舍去)，或q=2,

则d=y=y=2,

22

n-1n-1

a,i=1+2(n-1)=2n—1,bn=1-2=2,neN♦.

((an+1)-为奇数

⑵由(1)可得'cn=lj^

I(^n—)1?n+2—)

_(2n•所,n为奇数入2等，九为奇数

二"嘉二铲为偶数R.3-在标为偶数，

(。

Szn=q+c2+…+c2n=(q+c3+…+Qn-i)+2+C4+…+c2n),

令Al=C\+c3+-+c2n_1,

123n

则4n=q+C3+…+C2n-1=1-2+3-24-5-24-•••4-(2n-1)-2,

24=1•22+3•23+…+(2n-3)•2n+(2n-1)-2n+1,

两式相减，可得一An=2+23+24+…+2n+1-(2n-1)•2n+1

o3n+2

nn+1

=2+~_2-(2n-1)-2+1=-(2n-3)-2-6,

n+1

:.An=(2n-3)-24-6,

令Bn=C2+C4+•••+C2nt

则当=2.(告一六)+2.(六一喜)+-+2.(高一看)

111111

匕2_124-124-126-122n-122n+2-V

=2•”(―2--1-----2-2--n+--2---l7)=-3----4-n-+-1---l-,

,Szn=C+C2+…+C2n

C

=(1+C3+…+C2n-1)+82+C4+•••+C2n)=An+Bn

22

1

=(2n-3)-2-+6+--?I??-I

=(2n-3)-2n+1

、74n+1-l3

题型二数列的求和

,数列

6.（23-24高三下•河南•阶段练习）已知等比数列3J的公比q>1,且。3+心+%=14,4«4=

｛匕｝满足2bn+i=bn+，i+2，且d+b3=6,b2+bs=12.

(1)求数列｛aJSn｝的通项公式;

(2)设c”=anbn,求数列｛4｝的前兀项和又.

【解题思路】(1)根据给定条件，利用等比数列、等差数列性质求出公比及公差，进而求出通项公式.

(2)由(1)的结论，利用错位相减法求和即得.

【解答过程】⑴由题意得7%°川=，而q>l，解得

4a4=a3a5=al"一'

n4n4n2

所以%=a4q-=4x2-=2-.

由2%+i=刈+%+2,得数列｛5｝为等差数列，则2b2=瓦+优=6,解得玩=3,

乂员+坛=12,则%=9,因此数列｛久｝的公差为d=/=2,

5—2

所以/=匕？+(九一2)d=3+2(/1—2)=2n—1.

(2)由(1)知4=。"汁=(2九-1)X2时2,

则&=1x2-1+3x2°+5x2】+…+(2n-3)x2n-3+(2n-1)x2n-2,

于是2S4=1x2°+3x21+5x22+…+(2n-3)x2n-2+(2n-1)x2,1-1,

两式相减得一Sn=1x2-1+2x(2°+2i+…+2n-2)一(2n-1)x2n-1=1+2x兰?一(2n-1)x

2n-1

nn-1n-1

=l-2+2-(2n-l)x2=-|+(3-2n)x2,

所以Sn='+(27i-3)x2nT.

7.(2024.上海.模拟预测)已知/(x)=：x2+1x,数列｛&J的前71项和为Sn，点(弭SQ^WN*)均在函数

y=/(%)的图象上.

⑴求数列｛即｝的通项公式；

(2)若。(%)=三，令%=g(最)(〃WN*),求数列｛b｝的前2024项和72024-

【解题思路】(1)由题意得%=；n2+；n,再利用即=113n可求出M，

(2)先求得g(x)+g(l7)=1,bn=g(^)(neN,),然后利用倒序相加法可求得结果.

【解答过程】(1)因为点(7i,Sn)M€N*)均在函数/•(%)=：%2+9”的图象上，

所以又=1n2+^n,

当n=l时，Si=：+g=1,即％=1,

22

当n>2时，Q”=Sn_5n_j=1n+|n-[|(n-l)+1(n-1)]

=-n2+-n—(-n2—n+-+-n-^\=n,

22\2222)

因为Ql=1满足上式，

所以Q”=n；

(2)因为g(x)=f，

〜,AXAI-XAXAAX2

所以。(%)+讥1一%)=亚+.=赤+由7=打五+0=1，

因为即=n,所以b=g(彘)=g(急)(九GN*),

所以72024=瓦+坛+%+…+无。23+^2024

岛)+g(急)+g岛)+…+。（慧）+。筋）①，

乂3024=^2024+82023+82022++匕2+匕1

=。（蓊+g（蓊+g（鬃）+…+。（急）+g（盛）②，

①+②，得27…2024[g京）+9（翳）卜2024,

所以72024=1012.

8.（24-25高三上•宁夏石嘴山•阶段练习）已知数列的首项为1，且an+i=2an（n€N）

⑴求数列｛&J的通项公式；

（2）若%益Ji?求数列｛%｝的前几项和

【解题思路】（1）结合题意，利用等比数列的概念即可求解等比数列通项；

（2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解.

【解答过程】（1）因为数列｛斯｝的首项为1,且“X=2%（nEN*）,

所以数列｛Qn｝是以I为首项，2为公比的等比数列，

所以册=2NT；

（2）由⑴知0n=2f

rt-n.,__2n1__2________1

1n-n1nn-1n

'（an+l）（an+1+l）-（2-+l）（2+l）-2+l2+l*

所以7=_______-I______1L...J____1_____1—

n20+l21+l21+l22+l2n-l+l2n+l

11_11

20+l2n+l-22n+l-

9.(24-25高三上•内蒙古包头•开学考试)已知正项数列｛Q,J的前〃项和为S“，且25'=即(即+1).

(1)求｛an｝的通项公式：

(即，九为奇数

(2)设匕=1常便将，求数列｛3｝的前2〃项和写花

'anan+2

【解题思路】(1)利用an=%:9来求得5｝的通项公式.

(2)利用分组求和法、裂项求和法等求和方法来求得数列｛%｝的前2〃项和72n.

【解答过程】(1)依题意，2Sn=an(an+l),an>0,

当九=1时，2al=%(%+1).解得%=1,%=0(舍去).

当九>2时，由2Sn=an(an+1)得2Sn_1=an^(an^+1),

两式相减得2/=吗+an-an-l~an-l>an-an-l~(an+an-l)=。，

即(即+an_i)(an-an_i-1)=0,由于a”+an_j>0,

所以Qn-an_i-1=0,an-an_i=l(n>2),所以数列｛aj是首项为1，

公差为1的等差数列，所以即=n(a1=1也符合).

n,n为奇数

(2)由⑴得加=/=港一+)，九为偶数

所以=4+>+/+>+…+^zn-1+^2n

=Oh+b3+•••+b2n-1)+(b2+瓦+…+=n)

=[l+3+5+-4-(2n-l)]+皤9+30…+照-

l+2n-l,1/I1\,11

-----nH-I-------)=u?H--------

22\22n+2744n+4

10.(23-24高二下•湖南•期中)己知数列｛斯｝是等差数列，且。2=3,an=3a4,设数列｛得｝前篦项和为名，

数列｛0｝满足=」一+Sn.

anan+i2

⑴求数列｛册｝的通项公式及前n项和Sn；

(2)求数列｛%｝的前?1项和％.

【解题思路】(1)根据等差数列性质得到方程组，解出再利用其前n项和公式即可；

⑵化简得.圭-煮+"再利用裂项求和和分组求和即可.

(解答过程](1),.•%+d=3,+10d=3(。]+3d),

•••ax=l,d=2,an=14-2(n—1)=2n—1»

...又==n2

1

2n+1

题型三数列中的不等式恒成立、有解问题

11.（24-25高三上•湖北荆州•阶段练习）已知正项数列｛%J的前几项和为Sn，且若+2即-7i=2Sn.

（1）求数列｛处3的通项公式；

（2）设%=2"-1,若数列｛c｝满足.=含土，且数列｛0｝的前n项和为73若1-T<恒成立，求4的

n^n+1n5+2）

取值范围.

【解题思路】（1）利用数列前力和S”与项的关系可求得即二册_1+1（九22）,再根据等差数列的通项公式

即可求解；

（2）由已知b二2八一1,利用裂项相消法求得〃二i一舟分离参数得入之息g,构造函数g（n）=

高名，再根据其单调性，求出9（〃）max，从而确定大的范围.

4—1

【解答过程】(1)V+2an-n=2Sn,当九22时，+2an^-(n-1)=2Sn_i,

2

两式相减得：+2an-Wt-2an_i-1=2an,整理得W=(an.!+1)>

Van>0,.*.an=an-i4-l(n>2),当几=1时，a；+2%-1=2a］，

；•%二—1（舍）或的=1,

••・数列｛斯｝是以I为首项，1为公差的等差数列，则册=n；

n______22_________1_______1

(2)由(1)知，bn=2-l,cn(2n-l)(2n+1-l)-2n-l~2n+l-l

由1一〃工念=△芳，令。（几）=3，

则"N2时，gS）-g（n-1）=吊■■吃=（21：：；；；\）v0

所以g（n）<g（n-1）,即随着九增大,g（n）减小,

所以入N9（几）max=g（l）=1-

12.（2024高二・全国•专题练习）己知等差数列｛an｝满足g=5,。4+即=18.

⑴求｛an｝的通项公式；

（2）若对一切斯之而恒成立，求义的取值范围.

【解题思路】（1）设等差数列｛%｝的首项为小，公差为d,由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项

与公差，则答案可求；

（2）由恒成立，得义式2—工对一切nGN，恒成立，求出2—2的最小值即可得答案.

nn

【解答过程】（1）设等差数列｛册｝的公差为d,由口3=5,a4+a6=18,

得I：廿二5-你解得和*'

（“1+3d+a1+5d=18,（d=2,

,*.an=2n—1,7i6N*.

（2）由册2/bi恒成立，得2九一1之4恒成立，

BIU<2一三对一切九6*恒成立.

n

当九=1时，2—工取得最小值1,

n

A/i<1,即;I的取值范围是（一8,1].

13.（23-24高二下•安徽阜阳•期天）已知数列｛册｝的首项由=且册=卓―

53-2an+|

⑴证明：数列七一1｝是等比数列.

（2）求满足三+-+-+■•-+-<100的最大整数儿

«i«2a3an

【解题思路】（1）利用构造法，结合等比数列的定义，即可证明：

（2）根据（1）的结果，结合等比数列前几项和公式，即可求解不等式.

【解答过程】（1）证明：由“=手一，两边取倒数，并整理得」一=1-+[，

3-2an+ian+i3an3

则/---1=3G---1），因为^---1=~»所以数列g---1｝是等比数列.

⑵由⑴得？1=（嵩-1）x（9”;亲

则三+三+2+…+工=九+^4^=n+1-4<100，

a〔a2a3an1—3n

显然｛n+1-5｝为单调递增数列，则满足条件的最大整数几为99.

-aata2

14.（23-24高二下•江苏南京•阶段练习）已知数列｛%J满足Wn-in+i=（i+2a2）»其中九>2且九E

N*,t为常数.

(1)若%=求数列｛即｝的通项公式；

(2)在(1)的条件下记%=nan,且数列｛九｝前几项和为"，若存在rG[2,3],使得-2^•7)+rW0

对任意的几eN*都成立，求实数m的取值范围.

【解题思路】(1)利用题目数据求得£=0,再根据等比中项判断数列为等比数列，然后求解等比数列通项

公式即可.

(2)先利用错位相减法求和，然后利用有解和恒成立法则列不等式求解即可.

【解答过程】(1)将〃=2,%==*代入谖一=亡(。1+2a2)2，解得亡二0，

所以若-an^an+1=0,即碎=Q717an+i，

所以｛册｝为等比数列，首项为由=：，公比为本=：，

2-Z

所以知=联;

(2)由(1)得瓦=nan=苗，

%=1乂^+2>蠢+3x翥+•••+nx表①.

，n=lx*+2x*+3x^+•••+nx肃②,

①一②可得押=；+,+…+/一”募=1一去(1+小

所以疆=2(2十几)，

存在rG[2,3],使得m(22i-2n7；)+r=m(2+n)+r<0,

即[—m(2+n)]mjn>Aiin=2，所以—3m>2,即m<一],所以m的取值范围为(—8,—g.

15.(23-24高二下•浙江杭州•期中)已知数列｛即｝的前〃项和为％,且关于x的方程九/+2底x+n+1=

0,九6V有两个相等的实数根.

(1)求｛g｝的通项公式；

(2)若%=(册+1)•2/，数列｛%｝的前〃项和为〃，且4>49对任意的nGN”恒成立，求实数4的最大值.

【解题思路】(1)方程有两个相等实根，即2\=4571-4/(71+1)=0,可得Sn=72(n+1),利用既与当的

关系式即可求解.

(2)由(1)知0„=2兀，得%=(2九+1)・4%利用错位相减法可得及，再由〃24n4对任意的九WN♦恒

成立，得得71+!).4”一：二4刃1对任意的71£/7，恒成立，即24[(〃+?)—4]min，求出最小值即可求解.

【解答过程】(1)方程几/+2向％+71+1=0,九七卡有两个相等的实数根，

则A=4szi—4n(n+1)=0,即S”=n(n4-1),

22

当九>2时，QN=Sn—Sn_i=n(n4-1)—(n-l)n=n+n—n+n=2n,

当九=1时，QI=SI=2,符合Qn=2n,

•••On=2n

2nn

(2)由(I)知a”=2n,bn=(an+1)-2。=(2n+1)-2=(2n+1)-4,

7；=3x4+5x42+7x43+…+(2n+1)•471①，

47；=3x42+5x43+7x444-+(2n+1)•空+i②，

①一②得一3〃=3x4+2x(42+43+44+•­•+4n)-(2n+1)•4n+1,

n+1

-3Tn=12+2X-(2n+1)-4=-(8n+$x4+$

n

整理得：Tn=(1n+^)-4-^.

vTn>49对任意的neN*恒成立，

HP(1n+^-4n-^>4〃/l对任意的几GN•恒成立，

故，工一熹］min

+^,n6N”单调递增，y=~^,n6N*单调递增,

•5vq

•.•、=€〃+》一言，〃62单调递增,

故［（我+》一念］min=3,当且仅当n=1时取到最小值.

所以实数/I的最大值为3.

题型四N数列中的不等式证明问题

16.（24-25高三上•重庆沙坪坝•开学考试）已知数列｛册｝满足，a1+^+^+-+^=n（n+l\nEN\

（1）求数列｛册｝的通项公式；

（2）设％=&±凸，数列仍“｝的前几项和为％,求证：VziWN*,三9

an，an+l82

【解题思路】（1）利用递推公式作差计算即可求得通项公式；

（2）利用（1）的结论及裂项相消法求和，再利用数列的单调性计算范围即可证明.

【解答过程】（1）已知％+号+1+...+,=­（九+1）,九£川,

当71=1时，％=2;

当置之2时，flj+—+—4----1•臭1=兀(九一1),

123n-1

nn2

则卑="九+1)一(—1)=2八=0n=2n(n>2).

显然n=1时，a1=2,满足上式，

综上斯=2n2,ne/V*；

(2)由上知也=3±i=J_一二=；信一』)>0,

22

anan+iOnfln+12Vn(n+l)7

故&=济+》2+…+bn=1(1-^7)，

易知品=9(1一岛7)，九£N.单调递增，

・•・几=1时，⑸)min=Si=£

又品“nl-,VlnSnV，即证毕.

17.(23-24高二下•安徽•期中)已知数列｛册｝的前〃项和为右，满足(n-l)Sn_i-(n-3)Sn=2an，n>2,

%=1.

(1)求数列｛SJ的通项公式;

⑵若数歹曜｝的前〃项和为7；，证明：当n22时羔V7；V片.

【解题思路】(1)利用公式n>2时，a,，一Sn-S_i，得到关于数列设房的递推关系式，法一，转化为斗一

nSn-1

詈，利用累乘法求通项公式，法二，转化为就不二肃?，判断数列｛磊d是常数列，即可求通项公式;

(2)首先根据(1)的结果求数列｛Qn｝的通项公式，并放缩为温石<京=2<n匕，利用裂项相消法求

和，即可证明.

【解答过程】(1)根据题意，当〃>2时，(n-l)Sn-i-(n-3)S〃=2an=(n-l)S〃_i一(九—3)Sn=2Sn-

252

=d+l)Sn—i=("-l)Sn

法一：

Sn71+1

S,i-in-1

on-l^n-2"JL"-4"-Jf

M几+1)/、八

—5—(n>2)

当T=1时，

S1=1,也满足％=当2

法二：

可得*

n(n+l)7i(n-l)

所以数歹U｛磊；｝是常数列，

Sn=Si=1q$_n(n4-l)

(n+L)n-2X1-2n~2

(n1)n

(2)Sn="片=S"T=-«=>an=Sn-Sn_i=n,n>2,

首项为=1满足，所以a,】=n,

所以就五<京二*〈而匕？

设数列%=而品=；一.’

数列MJ前〃项和为»：+»打,・•+；-击=1-a=系'

分析可得，数列｛1｝从第2项开始放缩成冷-%

l,n=1,

设数列,一工」,n二2,

5-171

数列｛c｝前n项和为1+1-；+：-；+•••+--=2--=空二,

n223n-1nnn

所以*<〃<也.

n+1un

18.(24-25高三上•江苏南通•阶段练习)已知数列｛斯｝,｛bn],｛cn｝(ne/V*),处=口=1,设数列｛即｝的

前n项和为s〃.数列｛九｝的前"项积为〃，若2c〃=+1，Tn=JqSn+n(OVqV1),HCi4-(n-l)c2+•••

+c”=Sn.

(I)求数列｛a"的通项公式；

(2)证明：(1+瓦)(1+62)-(1+九)<±，nEN\

【解题思路】(1)根据Tiq+(n-l)c2+•••+cn=Sn分析可得Q+c2+■­•+cn+cn+1=a^+i，进而可得)+1+

n+l=2an+1,结合又与册的关系可得。"1+1=2(册+1),结合等比数列运算求解：

(2)根据积项可得bn=q2nr,整理可得(1+瓦)(1+B)…(1+')=/，即可证明.

【解答过程】(1)因为71Q+(n-l)c2+•••+cn=Sn,则(7!4-l)q+nc2+•­•+2cn+cn+1=Sn+1，

两式相减可得q+c2+•••+%+crt+1=Qn+i，即2cl+2C2+…+2cn+2cn+1=2an+1,

又因为2%=(1n+1,则(%+1)+(a2+1)+…+(。建+1)+3i+i+1)=2an+1,

整理可得%+i+n+1=2an+1,则Sn+n=2an,

两式相减可得即+i+1=2an+1-2M，则即+i+1=2(an+1),且%+1=2,

可知数列｛“+1｝是以首项为2,公比为2的等比数列，

则册+1=2x2所1=2n,所以=2n-1.

(2)由(1)可得Sn=比也一7t=2"+1-〃一2,

因为=JqSn+n=q2n—i(ovq<1),

若n=1,则d=7\=q；

若置之2，则bn二含=q1-i：=q2"T；

2n

综上所述：bn=q'\

又因为(1+瓦)(1+62)…(1+%)=(1+q)(l+q2)…(1+q2,T)

=(1q)(]+q)(]+q2)…+42n二Q一/)(1+q2)…0+《2，一)

1—q1—Q

_("q4)Q+q4)…(i+q2“T)__…2n

1-q1-q，

又因为0VqV1,则0Vq2n<1,

所以(1+仇)(1+匕2)…(1+bn)=l,q<卷.

19.(24-25高三上•辽宁•开学考试)已知配为数列3J的前几项和，〃为数列｛bn｝的前n项和，的+2=2an+1-

2an+l,n为奇数

也=8,55=15.

2。厂1,九为偶数

(1)求｛即｝的通项公式；

(2)若72n-52n<2025,求九的最大值；

(3)设。二7三，证明：<；.

'2n^^2n/q

【解题思路】(1)根据递推公式得出等差数列再应用基本量运算得出通项公式；

(2)分组求和分别求出72As2小再计算化简结合指数函数单调性计算求解：

(3)先根据0>0得出盘工"再证明"<义532),结合等比数列求和证明右侧不等式

A*T

【解答过程】(1〉由为什2=2anfl-a〃，得而+2-即+1=即+1-即，所以数列为等差数列，

所以S5=5a3=15，所以。3=3.

又％=2。4-1=8,所以心=4，

设小｝的公差为4叫二煞沈：解得卷二;

所以｛册｝的通项公式是对=儿

2n+l,n为奇数,

(2)rh(1)知0n=九,所以瓦t=

2”T,九为偶数，

S2n==£111^2=n（2n+1）,

72n=（瓦+%+…+^2n-l）+（&+匕4+…+瓦71）="3+:一"+=n（2n+1）+

令72n-S2n=2（4J）<2025,得2•4n<6077,

3

设分=24,则数列｛dj是递增数列.

6

又ds=2048<6077,d6=2x4=8192>6077,

所以〃的最大值为5.

(3)由(2)知％=G=|x六,

设Qn是&｝的前〃项和，则Qn+1-Qn=J+i>0,所以｛Qn｝是递增数列,

所以盘工Qi=J=：成立.

又Q1=C1=1<；»

所以当nN2时，2・空一2-*=4〃-2>0,所以2・*―2>4〃，

由3132,323

得J=-X——=-X-_--<-X—二—-,

n24n-l22-4n-224n4n

所以Q"W+3G+*i+5=；+3x皆号+总-尚/

综上，：<Eki6v

20.(24-25高三上•重庆・开学考试)已知数列｛%｝:%=2,册+1=吗邛.

⑴证明：｛寝｝是等比数列；

(2)已知数列｛bjbn=Q2n.

①求心的最大值；

②对任意的正整数k(k>2),证明：£设7bi>(2k-1)3

【解题思路】(1)借助所得表示出a»l-3及即+i+2,再作商后结合等比数列判定定理即可得证；

(2)①结合(1)中所得可得数列｛九｝的通项公式，再借助分离常数法可得数列｛%｝的单调性，即可得解;

②将所需证明的£设7bi>(2k-1)如转化为证明*=式仇+仇%T)>k♦2bk,从而只需证明d+b2k_i>

2瓦，借助数列｛b｝的通项公式，结合基本不等式放缩得到即可得证.

【解答过程】(1)由册+1=汹詈可得册+1-3=也詈一3二%，

an+lan+13n+1

两式相除可得&*=注=-9H，又阻胃二一;，

。日+1+24an+84。m+2。］+24

故｛禽1｝是首项为-3公比为的等比数列；

(2)①由(1)可知,第=(一9"，解得册=明詈,故小=。2"=富子，

hn=3,*?+5=R故久随77.的增大而演小，

即九=1时%的值最大，且最大值为=3+：=/；

②滥i>(2k-1也=瑞+>>2kM=£3(仇+Bi)>々・2瓦，

,,_316,+23162fc-<+2|(316*+2)(3162k-f+2)

bi+b2k-l=~16^1+1621-1-9Y(161)(1621-1)，

当且仅当i=k时取等；

l2fcff2/f

(3•16+2)(3•16-+2)=9•162k+6(16+16-*)+4,

其中16i+162k-1'>2・，谓=2-16k,当且仅当1=k时取等；

(161-1)(1621-1)=162k-(161+162J)+1,其中16,+16?—>2716^=2-16fe,

fck2

故(16,-1)(1621_1)w162fc_2.16+1=(16-l),当且仅当：=A时取等;

故&+b2k.t>2鬻孚=2•罟=2M当且仅当1=k时取等：

由此Zf=i(d+b2k-i)>k-2以对任意k>2恒成立，即原不等式成立.

题型五卜数列的实际应用问题。|

21.(23-24高二下•全国•课堂例题)甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为〃万元，由于经营

方式不同，甲超市前〃年的总销售额为久彦一九+2)万元，乙超市第〃年的销售额比前一年销售额多Q(I)””

万元.

(1)求甲、乙两超市第〃年俏售额的表达式；

(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购，判断哪一超

市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？

【解题思路】(1)根据斯=5"-5-1，(九22)求甲超市第71年销售额的表达式，利用累加法求乙超市第八年

销售额的表达式；

(2)利用(1)中得表达式，代人求解，计算可得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将

被甲超市收购.

【解答过程】(I)设甲超市前几年总销售额为加，第九年销售额为册，

则&=^(n2-n+2),

因为九=1时，%=Q,

22

则n>2时，an=Sn-Sn_!=^(?i-n+2)-^[(n-l)-(n-1)+2]=a(n-1),

设乙超市第n年销售额为3，则瓦=a,

7122时，bn-=a(l)，

bn=(bn_Z)n-1)+(匕n-l-^n-2)------(匕2一瓦)+

显然？1=1时也符合，

/八九一1

所以bn=an6N\

(2)当九二2时，。2=々，^2=-a,有。2>1匕2；

32

当n=3时，a3=2a,b3=~»有。3>33；

当力24时，an>3a,bn<3a,放乙超市有可能被收购，

।।—1"

当冗24,令则]Q(>i-l)>Q3-2-(-),

/7\几一1

整理得n>7-4-(1)，

/八n-l/八n-l

又当nN7时，0<4.图<1,故当九6*且《27时，必有a>7—4.⑥，

即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的•半，乙超市将被甲超市收购.

22.(23-24高二上•海南省直辖县级单位•阶段练习)某新能源汽车购车费用为14.4万元，每包应交付保险

费、充电费用共0.9万元，汽车的保养维修费如下：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，

依等差数列逐年递增.

(1)设使用〃年该车的总费用(包括购车费用)为/XTI),写出/l(ri)的表达式：

(2)向这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年的年平均费用最少)？年平均费用的最小

值是多少？

【解题思路】(I)根据给定条件，利用等差数列前〃项和公式，即可得到f(n)的表达式.

(2)由(1)的结论，求出使用/t年平均费用表达式，再利用基本不等式，求解即得.

【解答过程】(1)依题意，汽车每年的保养维修费构成以0.2为首项，0.2为公差的等差数列，

所以/(〃)=14.4+(0.24-0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n

=14.4+62n*+0.9n=O.ln24-n+14.4,nEN\

2

(2)设该车的年平均费用为S万元，

S=-f(n)=-(O.ln2+n+14.4)=-+—+1>2VL44+1=3.4,

n7v7nvz10n

则有仅当白=—,即n=12时取等号,

所以汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是34万元.

23.(23-24高二下.辽宁沈阳•阶段练习)牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，

因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质鼠，决定在本年度(第一年)投入40万元

用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管

理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加;.

(1)设〃年内总投入金额为即万元，牧草销售总收入为九万元，求即，力的表达式；

(2)至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？(也2*0.30,怛3、0.48)

【解题思路】(1)利用等比数列求和公式可求出〃年内的旅游业总收入与〃年内的总投入；

(2)设至少经过n年旅游业的总收入力能超过总投入，可得匕〃-即>0,结合(1)进行化简开换元参数解不等

式，进而可得结果.

【解答过程】(1)由题知，每年的追加投入是以40为首项，:为公比的等比数列，

/4\n

所以，=40x=200-200x；

同理，每年牧草收入是以3()为首项，J为公比的等比数列，

4

所以，bn=30x唱-=120x0"-120.

（2）设至少经过〃年，牧草总收入超过追加总投入，即为-即>0,

即120X-