河南开封市五县学校联考2025-2026学年高一下学期5月期中数学（解析版）

高一数学试题

i.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.

4.本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.己知集合。=口£1<|工工5},4={2,4},8={2,3},则只(ADB)=()

A.{0,1,5}B.{2}C.{1,5}D.{1,3,4,5}

【答案】C

【解析】

【分析】借助并集与补集定义即可得.

【详解】由4={2,4},8={2,3},则4。8={2,3,4},

由U={x£N*|xW5}={1,2,3,4,5},故2（4D3）={1,5}.

-5+5i

2.已知复数2=------，则之的虚部为（）

2+1

A.3B.-3C.3iD.-3i

【答案】B

【解析】

【详解】一一/；/+故z=-i-3i，'的虚部为-3.

（2+i）（2-i）

3.已知VA3C的内角A,B,C所对的边分别是。，"c,若A:8:C=1:1:4,则a:0：c=（）

A.1:1:4B.1:1:2C.2:6:1D.1：1：6

【答案】D

【解析】

ITIt/IT

【分析】根据已知得A=一,3=—,C=——，再由正弦边角关系即可得比值.

663

TT7T77T

【详解】由A氏Cw(O,兀)，A：5:C=1:1:4,且A+8+C=TI,则4=—,8=—，。=一

663

所以。：:c=siiL4:sinB:sinC=—:―:=1:1:5/3•

222

故选：D

4已知VC的内角勺对边分别为。，b,c’且满足〃=3三的三角形有两个，则/，的

取值范围为（)

A.(1,72)B.(a,2)C.(1,2)D.(0,&)

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.

b<a,

【详解】由VA3C有两解，得〈.,osinB即《L72解得l<b<桓，

sinA=----<-1,方>后在，

b2

故选：A.

3

5.已知sina=—,则cos2a-()

5

24724

A.——B.---D.

252525

【答案】C

【解析】

【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求解.

33

【详解】由sina=-g,得cos2a=1-2sin2a=l-2x--

1525-25

6.已知〃>0,Z?>0»且2。+〃=1,则而的最大值为（）

I

-

A-C-

48

【答案】c

【解析】

【分析】更接利用基本不等式求解即可.

2a+b2

【详解】由基本不等式得到2,仍4|=-,即"V

4晨

当且仅当2。=〃，即•力二!时，等号成立.

42

4人的最大值为d

8

,,atan8+6tanA

7.在VA8C中，。，6分别为内角A,0的对边,若---------:------=tanAtanB,则VABC的形状一

a-\-b

定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

【答案】B

【解析】

【分析】由同角三角函数基本关系、正弦定理、辅助角公式化简可得sin〔A-；J=sin；一8卜进而可得

A+B=~,由此判断三角形形状.

2

■、f44tan5+ZnanA„加sinB.sinA/.sinAsinB

【详解】若---------------=tan/A4tanB,得。------+h-----=(a+b\x----------

a+bcos8cosAcosAcosB

LF—dEf.sinB.sinA/...川sinAsin3

由正弦定理可得sinA4----+sinB-----二(sinA+sinB)---------,

cos3cosAcosAcosB

化简可得cosA+8S区=sin4+sin3,即sinA-cosA=-(sin8—cosB),

利用辅助角公式可得及sinsinlB--,

I4Jk

I.71I.I71.71八)

即sin[A_aJ=_sin[n8_i=sin^--Bj,

414

所以A—工二色一8或4一色+4一B=7T,A+3=£或者4一8=兀（舍），

44442

所以VA3c一定是直角三角形.

5

8.设％=0.8%y=log0.6°-»Z=logo70§，则x,ytZ的大小关系为（）

A.y>x>zB.y>z>xC.X>y>zD.x>z>y

【答案】A

【解析】

【详解】因为函数），=0.8'是减函数，所以O.8vO.807vQ8°=l，即0.8<xvl；

因为函数），=logout是减函数，所以logo.60-6〈log（）.60・5，即）>1；

（07呻/工丫=2=当也，

\7UoJ100001000（）0

0.8;（g]]港>2,所以0.8>（。.7广

UoJ100000100000''

函数。=log07X是减函数，所以logo.71<logo70.8<log。70.7、=0.8,即0<z<0.8.

所以y>x>z.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的有（）

A.棱柱的侧面一定是平行四边形

B.棱台的侧面一定不是平行四边形

C.棱锥的侧面是全等的三角形

D.圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图不一定是矩形

【答案】AB

【解^5]

【分析】利用棱柱，楂台，楂锥和圆柱的定义和结构特征逐一判断选项即司;

【详解】对于A,由棱柱的结构特征知，其侧面都是平行四边形，故A正确；

对于B,棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故B正确；

对于C,棱锥的侧面是三角形，不一定全等，故C错误；

对于D,因圆柱的母线垂直于两底面.，故圆柱的侧面沿一条母线展开得到的一定是一个矩形，故D错误.

10.已知复数z「4,马为4的共扼复数，则下列结论中一定成立的是（）

A.Z|+Z|为实数B.z,=|z,|

C.若㈤="|,则Z1=±Z?D.z2z,玉zj

【答案】ABD

【解析】

【分析】设复数4=〃+〃i,Z2=c+di,〃,Ac,dwR,然后逐个分析判断即可.

【详解】对于A,设复数4=。+历4=c+M,a,b,c,d£R,则一为，

则＜+[=加，为实数，故A正确；

对于B,同=业+(询2,团=J/+/,则同=团，故B正确；

对干C,若㈤=忆|,不妨取4=3+4i,Z2=4+3i,则4=±4不成立，故C错误；

对干D,44=(c+M)(a-Z?i)=4c+Z?d+(ad-/?c)i,则

2

z2Z[=《(ac+bd)+(〃d-/7c)2=+⑹仁+/),

z2Z1=(c+M)(a+hi)=ac-〃d+(〃c+加)i,则

|z2Z1|=J(ac-bdJ+(ac/+be?=J(/+/)卜2+/),

则z?%卜卜24|，故D正确.

故选：ABD.

11."费马点'’指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.在VA4C中，当最大内角小于120时，费

马点P满足/AP8=/BPC=/APC=120，当最大内角不小于120时，最大内角的顶点为费马点.

已知在7ABC中，c=6,(sinA+sinC)U/-c)=(tz-/?)sinB,力sinC=Ji(2-/?cosC)点P为

NABC的费马点，则()

A.C=-

3

B.PAPB=-

7

C.PA:P8:PC=4：]：2

5—

D.AP在AC上的射影向量为AP=1AC,

【答案】ACD

【解析】

【分析】由正弦定理，求得〃2+〃2—c2=a〃，结合余弦定理，可判定A正确；再求得〃=2,进而得到

7T

B=一,证得eQACs二PC8,求得B4:P3:PC=4:1:2,可判定C正确；设尸3二x,在△APC中，

2

由余弦定理列出方程，求得x二立,结合向量的数量积的运算公式，可判定B；由余弦定理求得

7

cosZPAC=—，求得AO=3,进而可判定D正确.

147

【详解】因为（sinA+sinC）（。一c）=（。一力sin3,

由正弦定理得（。+c）（a-c）=（a-b）b,可得/十〃一不二。人,

2.22

又由余弦定理，可得cosC=.・+）.一（-ab\

2ab2ab~2

因为Cw（0,兀），所以C==,所以A正确；

3

又由〃sinC=V5（2-bcosC）且。二弓，c二石

可得hx@=G（2—人X，）,解得〃=2,

22

_.兀

bc―不i•厂2sin

由正弦定理可得—-=^―，可得sin8二如吧=一

sinBsinC

cV3

TT

所以8=一，所以VA3C为直角三角形，且8C=1

2

所以点P满足=二/APC=120，

如图所示，因为NAPC=120，可得NPAC+NPCA=60，

乂因为/〃。4+/，。4一60，所以/R4C=NPC3,

PA

所以CQ4CS,PC8,所以一”二生二2,

PCPBBC

可得24:03:尸。=4:1:2,所以C正确;

设=戈，则PC=2x,PA=4A,

在△APC中，由余弦定理得（2x）2十（4x）2—2x2xx4xcosl20=2"解得工二‘，

所以P/PT*乎

所以PA・P8=PAPBcos120=^lx—x(-l)=所以B错误:

7727

在,•./ZAC中，尸女尸A=生且AC=2，由余弦定理，求得cosN尸4。二侦

7714

过点P作尸。1.4C,垂足为。，可得AO=4PxcosNPAC二3"xWZ=四

7147

AD5--5—

所以就=亍，所以AP在AC上的射影向量为4'=5AC,所以D正确.

故选：ACD.

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

rI

12.已知向量4=（1,2）,b=（4,3）,则向量6在。上的投影向量的坐标是.

【答案】（2,4）

【解析】

【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.

【详解】人在。上的投影向量为*患=（］，2卜（4,3）；r

=2"（2,4）,

5

故答案为：（2,4）

71邛,则71

13.已知a是第二象限角，且cos|tana+—

--aI4

\_

【答案】

3

【解析】

由cos（四一a）二好，得sina二更,

【详解】

255

2sina1

而a是第二象限角，则cosa=-Vl-sina=~~~tana--------=一一

cosa2

”一,兀、tana4-11

所以tan（a+—）=----------=-.

41-tana3

C_2/2

14.在锐角VA8C中，。，b,c分别为内角A，B，。的对边，且c—Z?=26cosA,若------存在最小

b

值，则实数以的取值范围是_____.

【答案】（272,2^）

【解析】

【分析】由正弦定理化简可得A=2B，由正弦定理结合三角恒等变换化简可得

*2

^^=4cosB-2AcosB-lf再结合二次函数性质计算求解.

b

［详解］由正弦定理可知:sinC-sinB=2sinBcosAosin（A+3）-sin8=2sinBcosA

osinAcos6+sinBcosA—sin8=2sinBcosA

OsinAcosB-sinBcosA=sinBosin（A-B）=sin8,

故A—8=B或4—B+8=A=;i（舍去），所以A=23,

m.ic-AasinC-2sinAsin（7i-3B）-2sin2B

所以------=--------------=

bsinBsinB

_sin3B-Asin2Z?_sin（B+2B）-22sinBcosB

sinBsinB

_sinBcos2B4-cosBsin25-22sinBcosB

sinB

sinBcos2B+2sinBcos?B-2AsinBcosB

sinB

=cos2B+2cos2B-2AcosB=4cos2B-2AcosB-1>

且由0<A=2B<P,0<B<-,0<C=兀-38〈生，可得工<8<四,

2264

与生存在最小值，故有4£（2血,26）.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(3TI

sin(兀+a)cos(2九一a)tan—+a

3I2

15.(1)已知tana二一，a为第三象限角，求的值;

4cos]+a}in(一a)

(27yi

(2)计算:+100,g2+log8+2Ig2+lg25-log4log9.

<Tjl632

【答案】(1)二(2)—

936

【解析】

【分析】(1)先利用诱导公式对原式进行化简，将其转化为关于tana的表达式，代入tana=巳求值即可;

4

(2)利用指数寤运算性质、对数运算法则及换底公式，对原式逐项化简后再合并求值即可.

71

sin一+a

2

coscr•

【详解】⑴解：原式"sin<zcos(.a)tan兀71cosa

一+acos—+acosa——；——

【2【2_____—sina_11

-sina(-sina)一sin。一sinatan

116

由1ana=』，代入上式5；

40

2

।评+电必2如髭一翳眼

(2)解：原式=84-

3+加冶+2(如明一患老

2)

J+4+»U

9436

16.已知向量〃，5满足。=4,W=3,且a与〃的夹角为

(1)求aS的值;

(2)若向量〃+〃力与〃-人的夹角为锐角，求实数加的取值范围.

10

【答案】(1)6(2)(-oo,-l)U-1,—

3J

【解析】

【小问1详解】

——7TI

a-b=abcos—=4x3x—=6.

32

【小问2详解】

向量〃+加力与Q-/7的夹角为锐角需满足（4+M•（Q叫＞0,

且向量〃+〃右与〃-/）不共线，即〃?声一1,由（1）有〃/=6,所以

（a+mb^-（a-b^=a~+[m-\）ab-mb2=16+6（〃?-1）一9小

=10—3帆，由10—3帆＞0得m＜号，所以，"的取值范围为（一8,—1）

17.已知函数/（x）=Acos（g+p）（A＞O,0＞O,|同的部分图象如图所示.

I乙）

（1）求/（X）的解析式;

（2）求了。）的单调递减区间;

⑶将/⑴的图象向左平移?个单位长度'得到函数g）的图象.若函数y=g。）一在。〃”上恰有

三个零点，求实数的/"取值范围.

【答案】(1)/(x)=2cosf2%-^

兀I2兀..,„

(2)—+防I,—+ku，(火£Z)

63

13兀7兀、

(3)

【解析】

【小问1详解】

由函数的最大值为2,最小值为-2,结合A>0,得A=2.

由图象知，最小值点x=-巴到零点1=包的距离为红，对应之个周期，即三=阴，解得了二".

3124444

2乃

由周期公式7=—(0>0),得O=2,故/(x)=2cos(2x+°),

co

(一?,一2)代入，得cos(p2乃=-1,解得e=^+2)brM€Z,

将最小值点-3~

结合闷</,取女=一1得0=一9，故,f(x)=2cos2x-^I.

2Sk)

【小问2详解】

jrTT77

令2"乃<2x<7i+2k兀,keZ,解得k7r+—<x<k7r+—,keZ,

363

故f(x)的单调递减区间为—+kit,4-kit,(kwZ).

【小问3详解】

由图像左移I个单位得g(x)=/(x+z)=2cos—■—

=2八cos一2x+—兀.

I6j

y=g(x)T在［。，间上恰有三个零点，等价于cos2工+与］=：在［0,间上恰有三个解,

九■C才

令14=2x+?,当X£[0,〃?]时,uw—,2m+—g

66

cos”=」的通解为〃二工+24〃或〃二一三+2%4,女£Z,

233

<*711*711

在”之工范围内，从小到大的解为工,把,一，上,…，要恰有三个解，需满足上42〃7+£</

63333363

解得当<m<^

4

13兀7兀、

故实数，〃的取值范围为

18.在2XMAB中，MA=MB=4,MC=MA+MB。为M4的中点.

(1)求C。的取值范闱；

7T

（2）若NAA/3=Q,£为SC的中点，尸为平面上一动点，满足BO.8尸=8尸2.

（i）求证：为定值：

（ii）求|PM|+2,4的最大值.

【答案】（1）（2,6）

（2）（i）证明见解析；（ii）10

【解析】

【分析】（1）设ZAMB=。,根据|C“=-gMA-MB=120+16cos6结合。的范围即可求出答案;

（2）（i）取8。中点尸，证明尸为ME中点，根据BDBPMBP?得到BP上DP,进而得到

PF='BD=6再求出MF=小，再根据尸MPE=P"2—By/?即可求出答案；（ii）求出

2

PM2+PE2=20,令PM=in,PE=n,求出〃?的取值范围，令i=L再根据4+r=20求出

m

,（3-4/A

/的范围，（〃2+2〃）-=2014一币口，令〃=3—4l根据1的范围求出〃的范围，分为〃=0和〃/。两

种情况，分别求范围，即可求出答案.

【小问I详解】

设ZAM8=£,

则他二一MC卜gMA一（M4+MB

二J；M42+MB2+M4MB

2

=J；x42+42+4x4cos0=，20+16cos0.

因为夕£（0,兀），所以cosgw（—1,1）,

所以J20+16cos。e（2,6）,

所以「0的取值范围为（2,6）.

【小问2详解】

（i）取中点尸，

因为MF=LMD+LMB=、MA+LMB,ME=MB+BE=LMA卜MB,

22422

所以用b二,加石，即M、F、七三点共线，且“为/WE中点,

2

因为BD-BP=BP1，所以BP(BP-BD)=BPDP=(),

故BP工DP,P在以4力为直径的圆上，

TT——•

因为NAM8=—,MA=MB=4,所以ziMAB为等边三角形,

3

所以B4=2g,所以p目=gB4=G,

ME=-MA+MB=J-x42+42+4x4x1=2>/7,MF=近,

2V42

则PMPE=（尸”+WM）•（尸产+尸£）=（尸b+QV/）♦（尸尸一/M）

=PF|2-=3—7=-4为定值.

（ii）由（i）可知：

PM1+1PEP=（PM+PE）?—2PM.PE=+8=20,

设PM=m,PE-n.!U!|没+»=20，

山MF—FP<PM—MF+FP<MF+

可知〃?>/5,\/7+石],设/=二,

n220-/n220,「46-10后46+10后],「5-万5+VH

由一T二———二、一1£--------------,--------------,有止一--,---

所以G〃+2〃y_20（加+2,、20M：4〃2：4皿）

m2+n2trr+tv

〃

令〃=3—4/£[-2历一7,2历一7],则（m+2〃丫=2（）416、

u~—6〃+25）

①当〃=0时，(m+2n)2=80,

②当时，(〃z+2〃y=204-―1^-

25/

u-\-----6

U

25

因为〃-----6G(―8,—16]D-8,+8,

U

16「1瓢7+3"

G[-1,0)U0,———

所以—25

uH-6

U

所以("2+2〃)2£[66-6历,80；|口(8()」0()],

综上所述，(/H+2/?)2G[66-65/2T,1(X)],即〃z+2〃,

所以的最大值为10,

/?一一

当且仅当〃=5,即1=一=2时等号成立，此时PM=2,PE=4.

m

19.”星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心。匀速转动，可俯瞰城市全

景.该设施的轮盘最高点。距离地面100m,轮盘直径为90m,开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地

面最近的位置尸进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心。为原点，与地面平行的直线为％轴，上下方向的

直线为轴建立平面直角坐标系：

（1）游客甲坐上座舱后，转动miin时距离地面的高度为）'（单位：m）,求转动过程中y关于，的函数解

析式；

(2)若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点4处

(i)转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？

(ii)当座舱距离地面高度不低于77.5m时。，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游

客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长.

JT

【答案】(1)y=55-45cos—/,t>0；

20

(2)(i)2.5min；(ii)——min

3

【解析】

【分析】(1)根据题意设y=Asin