2026年高考数学复习题型归纳讲义：等差数列及其前N项和（知识梳理+题型总结）学生版+解析

【第22讲：等差数列及其前N项和】

【新高考课程标准要求】

1.理解等差数列的概念和通项公式的意义：明确等差数列是从第2项起，每一项与它的前一项的差都等广

同一个常数的数列，掌握其通项公式为=%+（〃-l）d,并能运用通项公式解决相关问题，理解通项公式中

各参数的含义及作用。

2.掌握等差数列的前〃项和公式，理解等差数列的通项公式与前〃项和公式的关系：熟练掌握等差数列前

〃项和公式S“一+〃-1）“一+4）,明白通项公式与前〃项和公式都与首项〃公差4有关，

22

可通过已知条件建立方程或方程组，求解相关量。

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题：能够从实际问题或数学问题情境中，

识别出等差数列模型，将问题转化为等差数列的相关问题，如求通项、求前〃项和等，进而利用等差数列

的知识进行求解，体现数学建模和数学应用的能力。

4.体会等差数列与一元一次函数的关系：了解等差数列的通项公式4=6+（〃-1”=而+（4-4）是关

2

于〃的一次函数（时）或常数函数（d=0时），前〃项和公式S4二〃q+龙"——d=—n+（al~—）n

222

是美丁〃的二次函数（C/HO时），利用函数的性质来分析等差数列的单调性、最值等问题。

【知识梳理】

一、知识梳理

1.核心概念

等差数列定义：从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数（记为公差d）,即氏

（〃£【《*，d为常数）。

等差中项；若a,力，人成等差数列，则人=生必，且2A=4+人。

2

2.关键公式

公式类型表达式说明

%为首项，d为公差,可推广为一机）d

通项公式an=4+(n-\)d

（〃wN*）

前〃项和“91前者需已知首项、末项和项数；后者需己知首项、公

公式刀(〃-1)差和项数

S'=叫---d

3.性质关联

函数属性：

通项4=〃〃+（《一d）：当,/wO时，是关于〃的一次函数，图像为直线上的孤立点，斜率为4：当d=0

时，为常数列。

前〃项和S“=£/+（q—4）〃：当〃工。时，是关于〃的二次函数，图像为抛物线（或其一部分）上

22

的孤立点，且无常数项；当d=（）时，S“=〃q,为关于〃的一次函数。

项的对称性：若（见〃,〃国£［「），则勺+。”=%,+%；特别地，当〃7+〃=2攵时，

%+。=2&。

二、常用结论

1.前〃项和的衍生结论：

若等差数列｛q｝的前〃项和为S”，贝iJS2i=（2〃—l）a”（利用S21=&〃1）（；+出,i）,结合

+a2n-l=2%推导）。

aS

前〃项和的比值：若｛4｝与也J均为等差数列,前一项和分别为s“与北,则片=铲口。

2.项数与和的关系：

等差数列中，连续％项的和仍成等差数列，即工，S”-Sk，S3,-S2,,…成等差数列，公差为公

若等差数列共有2〃项，则qH用一“〃：若共有2〃一1项,则w《_〃，s

5奇一5偶一〃d=gnS布_5偶_。“S奇二〃

a

S偶n+\S偶n-1

（S奇、s偶分别为奇数项和、偶数项和）。

3.单调性与最值：

当4>0时，数列单调递增，S”有最小值（可通过%40且q用20求最小值对应的项数〃）；当4<0

时，数列单调递减，5“有最大值（可通过见之0且。用工。求最大值对应的项数〃）。

三、微点提醒

1.定义理解误区：判断数列是否为等差数列时，需验证”从第2项起，每一项与前一项的差为常数”，不

可仅验证前几项；若仅说“％N-4=""，需补充〃cN"否则定义域不完整。

2.公式使用细节：

运用通项公式。〃=4+（〃-〃?）"时，注意相和〃的取值范围（均为正整数），避免因下标错误导致计

算失误。

前〃项和公式今二"4；耳）中,4是第〃项，不可与“项数〃”混淆；当d=0时，数列是常数列，

S”=〃q,此时不可用二次函数性质分析最值（无最值，除常数本身）。

3.性质适用条件：“若〃z+〃=〃+4,则《〃+/=%,+4”的逆命题不成立，即若品+4”=%,+4,

不一定有机+〃=〃+乡（如常数列中，任意两项和相等，但下标和可不同）。

4.与函数结合的注意点：

通项公式对应的一次函数，其定义域是正整数集（而非全体实数），因此图像是孤立点，而非连续直线。

前〃项和对应的二次函数，若无常数项，但其最值对应的〃需为正整数，若计算出的〃为非整数，需

取其附近的正整数代入计算实际最值（如〃=3.5,则需比较〃=3和〃=4时的S“）。

【课前自测】

一、单选题

1.（24-25高二下•云南曲靖・期末）等差数列｛q｝满足/+%=20,4=4,若S”为前〃项和，则5.最大时，〃

的值为（）

A.9或1（）B.8C.9D.10或II

2.（2025高三•全国•专题练习）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S.,满足2%=4+5,则工=（）

A.35B.40C.45D.50

3.（24-25高二下•陕西榆林•期末）记S.为等差数列｛/｝的前〃项和.若4+4=11,则鼠=（）

A.43B.44C.87D.88

4.（24-25高二下•广东韶关•期末）已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，53=2S6=6,则S9=（）

A.-9B.-6C.-3D.9

二、多选题

5.（24-25高二下•河南驻马店•期天）设S”是等差数列加,｝的前〃项和，若几<0，则下列结论正

确的是（）

A.d<0B.⑷<同

C.〃=7时，S.最大D.使S.>0的〃的最大值为13

三、填空题

6.（2025高三・全国・专题练习）把数列｛3〃+2｝与｛4〃｝（〃€河）的所有公共项去掉，剩余的项从小到大排序得

到数列｛牝｝,则数列M的前202项和为.

7.（25-26高三上•湖北•开学考试）已知等差数列｛叫，｛2｝的前/，项和分别为S“，Tn,且亍=黄"，则

4--------------

四、解答题

f9

8.（2025高三・全国•专题练习）设工为数列｛q｝的前〃项和.已知生=4,S4=20,且请（为等差数列.求

证：数列｛qj为等差数列.

地里分类身常着题型I

【考点一：等差数列基本量的运算】

【例题】1.（25-26高三上•广东深圳•开学考试）设等差数列｛4｝的前八项和为S”，若4+生+%=%+%，

S4=34,则%=（）

A.8B.9C.10D.II

2.（2025高三•全国•专题练习）已知各项均不为零的等差数列｛〃“｝的前〃项和为5”，满足q=6,5於1,

则｛q｝的公差d的取值范围为（）

D.

【针对训练】3.（2025高三・全国・专题练习）已知等差数列｛4｝,也｝的各项均不为°，记｛%｝的公差为

d,前〃项和为S“，且2。也=3S”.

3

⑴若瓦二Q,求心

⑵记也｝的前〃项和为小若7；厂品>0,且24<27,求d的取值范围.

4.（2025高三・全国・专题练习）已知等差数列｛q｝的前〃项和为S.，若生+火=2（〃4-1）,5=10+生，则

（）

A.an=2n-1B.S5=a2a5

2

C.Sn=2n-nD.%=15

5.（24-25高二下•广东江门•期末）记S“为等差数列｛4,｝的前〃顶和，已知S4=。，6=5,则（）

2r12-2/1

A.Sn=2n-8/?B.Sn~~C.a”=3〃-10D.a“=2〃-5

【解题策略】

一、核心解题步骤

1.梳理条件与目标：明确题干给出的已知信息（如特定项的值、前〃项和、项数关系等），确定需求解的

量（如某一项知、前〃项和S”、项数〃、公差［等）。

2.选择关联公式：优先选用与可、〃直接关联的核心公式，避免复杂推导：

通项公式：a〃=q+5-l）d（连接“项”与基本量）；

前〃项和公式：5“二〃4+缺」〃（连接“和”与基本量）。

3.建立方程（组）：根据独立条件的数量列方程：

1个独立条件：列1个关于q和d的一元方程（需结合其他隐含条件，如项数

2个独立条件：列二元一次方程组（因2个基本量需2个方程确定，可直接解出4和4）。

4.求解与验证：解出片和“后，代入目标公式计算结果；必要时验证结果是否符合隐含条件（如项数为正

整数、公差符号与数列单调性一致等）。

【考点二：等差数列的判定与证明】

n-l

【例题】L（2025高三・全国•专题练习）H知数列｛4｝的前〃项和S“+2（〃61<）,令〃=2%”,

2>

求证：数列也｝是等差数列，并求数列｛可｝的通项公式.

2.：2025高三・全国•专题练习）已知数列乩｝的前〃项和为S.,^,+3Sn-S„+1=0,4=；.证明：数列J,

3IA

为等差数列：

【针对训练】3.（24.25高二上・甘肃甘南•期末）己知数列也｝中，4=4,a“=c*+2"T+3（〃”〃wN）

（1）证明数列是等差数列，并求｛4｝的通项公式；

（2）设以喙,求4的前〃项和S”.

4.（23-24高二上•江苏盐城•阶段练习）若数列应｝的前〃项和为S。，且满足a“+2S“S〃T=0（〃之2）吗二发

⑴求证：［白］是等差数列；

⑵求数列｛〃“｝的通项公式.

【解题策略】

等差数列的判定与证明的解题策略

等差数列的判定与证明核心是紧扣定义或等价条件，通过代数挂导验证数列是否满足“从第二项起，每一

项与前一项的差为常数”，避免仅通过有限项规律（如前3项差相等）直接判定。

一、核心判定依据（4类关键方法）

判定或证明数列｛〃“｝为等差数列，需从以下方法中选择，优先用定义法或等差中项法，具体如下:

判定方法核心等价条件适用场景

1.定义法对任意〃之2且〃£I「，有。〃一an-\~d已知数列的通项递推关系（如+C）,

（最根本）（“为常数）或可通过变形得到相邻项差

2.等差中对任意〃22且〃wN"，有已知数列中三项的关系，或需证明某三项成等

项法2an=%+%差，或可通过前〃项和推导

3.通项公数列的通项公式可表示为=pn+q已知数列的通项公式，或可求出通项公式后验

式法（P、。为常数，且〃=d,q=a「d）证形式

数列的前〃项和可表示为S”=An2+Bn

4.前〃项已知数列的前〃项和公式，或可求出S“后验

和公式法（A、B为常数，且4=—,8=4—）证形式（注意：需排除常数项，即S“无常数项）

22

二、通用解题步骤

1.明确已知条件：梳理题干给出的信息（如递推式、通项、前〃项和、特定项关系等），确定可调用的判

定方法。

2.选择判定方法：

若给递推关系（如4的表达式），优先用定义法：

若给三项关系或需证明“成等差”，优先用等差中项法：

若已知或可求通项公式，验证是否为“〃〃+"”形式（通项公式法）；

若已知或可求前〃项和，验证是否为“形式（前〃项和公式法）。

3.代数推导验证：

定义法：计算证明其结果为与〃无关的常数；

等差中项法：推导2C“—（/T+/+J,证明其结果为0；

公式法：将通项或前〃项和整理，验证是否符合“一次函数”或“不含常数项的二次函数”形式。

4.补充首项/初始条件：若推导仅从〃22开始，需验证七一“是否等于前述常数（定义法），或确认首项

满足通项/前〃项和公式，确保数列整体为等差。

三、常见易错点与规避策略

1.忽略“任意〃”：仅验证前3项（如出一4二%一生）即判定为等差，需强调“对所有“22成立"，必

要时用数学归纳法辅助证明（针对递推复杂的数列）。

2.前〃项和公式误用：若S”=A/+B〃+C（CWO）,则｛《,｝从第二项起为等差，而非整个数列，需排

除常数项。的干扰。

3.递推式变形错误：对含%与S”的递推关系（如S,=2%—1）,需先通过/=S“一S”T（〃"2）消去S“，

再用定义法判定，避免直接套用公式。

【考点三：等差数列的性质及其应用】

【角度L等差数列的性质】

【例题】1.（2025・陕西汉中•三模）已知等差数列｛q｝的前〃项和为S”，若4+%=12,则品=（）

A.3（）B.40C.60D.120

2.（2025.江西•二模）已知｛q｝为等差数列，其前〃项和为S“，若S”=11,则下列各式的值不能砸足的是（〉

A.“6B./+々3+43C.5）+S2ID.-y-+-^-

【针对训练】3.（2025高三・全国・专题练习）已知等差数列乩｝的前〃项和为S“，当S”为定值时，

2%+%+&也是定值，贝1」左=.

4.（2025・安徽•三模）已知等差数列｛q｝的前〃项和为S.,4+%+4=3,若4+4T+4_2=27,&=150,

则仁.

【角度2：等差数列的前N项和的性质】

【例题】1.（24-25高二下•陕西榆林•阶段练习）在等差数列｛q｝中，S“为其前〃项和，若S$=5,品）=15,

则"的值为.

Sq〃a

2.（24-25高二下•云南昆明•阶段练习）设等差数列｛&｝,也｝的前〃项和分别是S“,7；,若广司太，则去二

)

D

A.巳-2

【针对训练】3.（24-25高二下•四川成都•期中）两个等差数列｛q｝和他｝,其前〃项和分别为S”，Tnf

S3n+2

日—n=-----则（）

Tnn+3

35n25

A.\BD.—D.—

14c谓24

4.（2025高二・全国・专题练习）已知等差数列｛叫的前〃项和为S”，且其二-12,§9=45,则$6二

【角度3：等差数列的前N项的最值】

【例题】1.（22-23高二下•广东佛山•期中）已知等差数列｛4｝前〃项和为S“，4+4+%=3,Sn=-\\,

则使3取得最大值时〃的值为（）

A.4B.5C.6D.7

多选题2.（23-24高二上•福建漳州•阶段练习）已知数列｛〃,,｝的前〃项和为2=11〃-则下列说法正确的

是（）

A.也｝是递增数列B.%=6

C.当〃=6时S.取最大值D.满足S.>0的最大的正整数〃为10

【针对训练】多选题3.（23-24高二上.江苏徐州.阶段练习）等差数列｛4｝的前〃项和为S”，已知

Si。=O,S]s=25,则（）

A.«5=0B.｛4｝的前〃项和中邑最小

C.使S”<0时〃的最大值为9D.2的最大值为0

n

（多选题]4.（22-23高二下•江苏扬州•开学考试）等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且S,>§5,$5=56,S6Vs,,

则下列说法中正确的有（）.

A.4=。B.d<0

C.当〃=5或6H寸，S.取最小值D.510<0

5.（24-25高二下•湖北•期中）若数列｛〃“｝满足a”+%+2=24,x（〃eN）«.=10,%=-2,设数列｛对｝的前

〃项和为S“，则当S”取最大值时，〃=.

【解题策略】

等差数列的性质及其应用的解题策略

等差数列的性质是基于定义和公式推导的“简化工具”，核心是利用性质减少运算量，避免反复套用基本公

式（〃”=4+（〃-l）d、S“二〃（"；%））,尤其适用于求特定项、前〃项和或判断项的关系。

一、核心性质分类与应用场景

1.项的下标规律性质（高频考点）

此类性质围绕“下标和相等”展开，是解决“项的和””对称项关系”的核心，需牢记：

性质生若m+n=p+q（m,〃,p,qwN）,则6”+%=与+4。

特殊情况：当〃=“=%时，m+〃=2左，即品+勺=24（勺为与与勺的等差中项）。

应用场景：已知某几项的值，求另外几项的和（如已知氏+%=1°，求生+%或。5）。

性质2：数列｛/｝是等差，则下标成等差数列的子数列仍为等差（如4，%，氏，…，公差为2d）。

应用场景：求周期性间隔项的关系（如己知生=3,求小，利用子数列公差4"）。

2.前〃项和的特殊性质

此类性质聚焦前〃项和的“局部与整体”关系，简化求和计算：

性质1：等差数列前〃项和S一则5〃,52“一5〃,53“—52匹..仍为等差数列（公差为

应用场景:已知§5=10,品）=30,求九（利用S5，$o—S5，S|5-，o成等差,即10,20,九一30,

得儿=60）。

性质2：若项数为2Z（偶数），则§2人=%（4+6+P，旦s奇一S,%="（S偶为偶数项和，S奇为奇数

项和）；若项数为22一1（奇数），则$21=（2火—I）4,且_（%为中间项）。

3奇7偶一4

应用场景：已知项数为5（奇数），s奇一s%=4,直接得中间项为=4,进而求S5=5%=20。

性质3：前〃项和公式的“比值转化”:若两等差数列｛〃"｝、｛〃』的前〃项和分别为S.1,则鲁二：;

47

S13a,%S[3

应用场景：已知肃=£,求U（直接得皆=竦=£）。

T-,5b4b4T75

3.通项与前〃项和的关联性质

性质1：通项公式与前〃项和的关系：4”=S“-S〃T（〃之2）,且％=工；若S,=A"2+8〃，则

atl=2An+（B-A）（直接由二次函数推导一次通项）。

应用场景：已知S”求《，或验证S”与凡的一致性。

性质2：前〃项和的“一次函数特征"：显=&〃+（《_4）,即数列｛2｝是公差为&的等差数列。

/?22n2

应用场景：已知冬•=2,邑=4,求之（利用｛&｝成等差，得当■=6）。

357〃7

二、通用解题步骤

1.识别问题类型：判断题目是求“特定项”“项的和”“前〃项和”还是“两数列比值“，匹配对应的性质

（如下标和问题用性质1,前〃项和的局部关系用性质2）。

2.优先调用性质：避免直接设为、d列方程（虽通用但运算量大），先观察下标是否有“和相等”“成等差”

等特征，或前〃项和是否有“局部间隔”（如S〃,S2“一S〃）。

3.补充基本量运算：若性质无法直接求解（如缺少关键项或和），再设％、d（或为、d,利用中间项简

化），结合性质列方程，减少未知数个数。

4.验证结果合理性：利用性质反向验证（如用+4验证求得的项是否满足和的关系），避免下

标对应错误。

三、常见易错点与规避策略

1.下标对应错误：应用"m+n=p+qnam+>=册+%”时,混淆下标和（如误将5+%等同于%+4，

需确保2+5=3+4而非3+3）,规避：先计算两边下标和，确认相等后再用性质。

2.前〃项和的局部性质误用：忽略”S”,S20—S”,S3〃—S?”成等差”的前提是“等差数列”，且公差为1d

2

）,规避：记忆公差推导过程（S2n-Sn-Sn=nd）,避免记混系数。

3.项数奇偶性混淆：应用“项数为奇/偶时的q《关系”时，误将“项数为22-1”的中间项记为

（实际为血）,规避：明确“项数为，〃时，中间项下标为失匚（奇数项）”。

遐后跪蒯绽

一、单选题

1.（24-25高二下•江西上饶•阶段练习）已知等差数列｛q｝的前〃项和为S”，若邑=12,S6-S,=24,则

L-$9=（）

A.36B.48C.60D.120

2.（2025・湖北黄冈•模拟预测）设等差数列｛为｝的前〃项和为S“，若工=TS,向=0,S,m=4,则/〃=（）

A.8B.7C.6D.5

3.（2025广西柳州.模拟预测）设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若S,-*-9吗+4-5,则依｝的公差为

（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2025•四川成都•一模）在等差数列｛4｝中，%=3,4+4=2,则%=（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2025•江苏泰州•模拟预测）设S”是等差数列｛q｝的前〃项和，7；是数列｛小卜勺前〃项和.若邑=12,\=40,

则兀等于（）

A.49B.50C.51D.52

6.（2025・河北唐山•三模）己知等差数列｛%｝的前〃项和为S“,%+仆+a=T2。，5s,-71=70,若&=S,+1,

则上=（）

A.27B.28C.54D.55

7.（2025•海南省直辖县级单位•模拟预测）已知｛%｝是等差数列.公差4工0,且％,生，研成等比数列，

则区等于（）

46

5门25「15n16

A.—B.—C.—D・—

16171617

8.（2025•山东泰安・模拟预测）公差不为（）的等差数列｛q｝的前〃项和为S“，若q=2,%,%,%成等比数

列，则满足S”＞。的〃的最大值为（）

A.8B.9C.13D.14

9.（2025.黑龙江大庆•模拟预测）已知等差数列｛%｝的前〃项和为若55=2S3，q+%=10,则公差”为

（）

A.-7B.!C.-D.1

423

10.（2025•海南海口•模拟预测）已知等差数列&｝的前〃项和为S.,S5=25,£=27,贝1监。=（）

A.25B.26C.27D.28

11.（2025・湖北武汉•模拟预测）已知等差数列｛%｝中，4+4=2%-2,%+4I=26,则数列｛《・COSM｝的前

2026项的和为（）

A.1013B.1014C.2026D.2028

二、填空题

12.（2024.上海.三模）设｛4｝是等差数列，其前〃项和为S”.若牝=6,S5=20,则％=.

13.（2025・陕西咸阳・模拟预测）等差数列仅“｝,也｝的前八项和分别为S”，，，已知则+的

Tn2"4

值为.

14.（2025・湖北荆州•模拟预测）已知数列｛q｝的前〃项和为S.,4=2,且｛〃5；｝为等差数列，若

56+4+/+4=1，则，=_____,

三、解答题

15.（2024.全国.模拟预测）设等差数列｛q｝的前〃项和为S”，已知Sa=-15.

（1）若4=-7,求｛%｝的通项公式：

⑵若对于任意〃eNZ都有S.NS,，求公差4的取值范围

【第22讲：等差数列及其前N项和】

【新高考课程标准要求】

1.理解等差数列的概念和通项公式的意义：明确等差数列是从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于

同一个常数的数列，掌握其通项公式%=6+（〃-1）",并能运用通项公式解决相关问题，理解通项公式中

各参数的含义及作用。

2.掌握等差数列的前〃项和公式，理解等差数列的通项公式与前〃项和公式的关系：熟练掌握等差数列前

〃项和公式5“二9+〃（〃一1）d=〃（4+4），明白通项公式与前〃项和公式都与首项《、公差d有关，

22

可通过已知条件建立方程或方程组，求解相关量。

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题：能够从实际问题或数学问题情境中，

识别出等差数列模型，将问题转化为等差数列的相关问题，如求通项、求前〃项和等，进而利用等差数列

的知识进行求解，体现数学建模和数学应用的能力。

4.体会等差数列与一元一次函数的关系：了解等差数列的通项公式+（〃-1）3二加+（%-"）是关

2

于n的一次函数（d/（）时）或常数函数（d=0时），前〃项和公式S〃=na.+%二=-n+

222

是关于〃的二次函数（d¥（）时），利用函数的性质来分析等差数列的单调性、最值等问题。

【知识梳理】

一、知识梳理

1.核心概念

等差数列定义：从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数（记为公差4）,即。向-

（〃EN*，△为常数）。

等差中项：若。，A,〃成等差数列，则从二土心，且2A=。+6。

2

2.关键公式

公式类型表达式说明

q为首项，〃为公差，可推广为。〃二〃”；+（〃-"z）d

通项公式CI"=%+（〃-1）4

（in,neN*）

_〃（一+%）

前〃项和1前者需已知首项、末项和项数：后者需已知首项、公

公式〃（〃一1）差和项数

S"=-1-3—d

3.性质关联

函数属性：

通项为=d〃+（q-d）：当〃工0时，是关于〃的一次函数，图像为直线上的孤立点，斜率为d；当d=0

时，为常数列。

前〃项和S“=£/+（q—4）〃：当〃工。时，是关于〃的二次函数，图像为抛物线（或其一部分）上

22

的孤立点，且无常数项；当d=（）时，S“=〃q,为关于〃的一次函数。

项的对称性：若（见〃,〃国£［「），则勺+。”=%,+%；特别地，当〃7+〃=2攵时，

%+。=2&。

二、常用结论

1.前〃项和的衍生结论：

若等差数列｛q｝的前〃项和为S”，贝iJS2i=（2〃—l）a”（利用S21=&〃1）（；+出,i）,结合

+a2n-l=2%推导）。

aS

前〃项和的比值：若｛4｝与也J均为等差数列,前一项和分别为s“与北,则片=铲口。

2.项数与和的关系：

等差数列中，连续％项的和仍成等差数列，即工，S”-Sk，S3,-S2,,…成等差数列，公差为公

若等差数列共有2〃项，则qH用一“〃：若共有2〃一1项,则w《_〃，s

5奇一5偶一〃d=gnS布_5偶_。“S奇二〃

a

S偶n+\S偶n-1

（S奇、s偶分别为奇数项和、偶数项和）。

3.单调性与最值：

当4>0时，数列单调递增，S”有最小值（可通过%40且q用20求最小值对应的项数〃）；当4<0

时，数列单调递减，5“有最大值（可通过见之0且。用工。求最大值对应的项数〃）。

三、微点提醒

1.定义理解误区：判断数列是否为等差数列时，需验证”从第2项起，每一项与前一项的差为常数”，不

可仅验证前几项；若仅说“％N-4=""，需补充〃cN"否则定义域不完整。

2.公式使用细节：

运用通项公式。〃=4+（〃-〃?）"时，注意相和〃的取值范围（均为正整数），避免因下标错误导致计

算失误。

前〃项和公式今二"4；耳）中,4是第〃项，不可与“项数〃”混淆；当d=0时，数列是常数列，

S”=〃q,此时不可用二次函数性质分析最值（无最值，除常数本身）。

3.性质适用条件：“若〃z+〃=〃+4,则《〃+/=%,+4”的逆命题不成立，即若品+4”=%,+4,

不一定有机+〃=〃+乡（如常数列中，任意两项和相等，但下标和可不同）。

4.与函数结合的注意点：

通项公式对应的一次函数，其定义域是正整数集（而非全体实数），因此图像是孤立点，而非连续直线。

前〃项和对应的二次函数，若无常数项，但其最值对应的〃需为正整数，若计算出的〃为非整数，需

取其附近的正整数代入计算实际最值（如〃=3.5,则需比较〃=3和〃=4时的S“）。

【课前自测】

一、单选题

1.(24-25高二下•云南曲靖・期末)等差数列加,｝满足/+%=20,4=4,若S”为前〃项和，则5.最大时，〃

的值为()

A.9或1()B.8C.9D.10或II

【答案】A

【分析】根据已知条件求出4,d，把S”表示为关于〃的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.

%+%=2%=20%=10

【详解】•=>仆_2"=i=18,

%=%+3d=4

Sn=18〃+x(-2)=-/r+19”,

关于〃的二次函数“〃)=-1+19〃，其对称轴为晔三，

・•・当〃=9或〃=10时，S”最大.

故选：A.

2.(2025高三.全国•专题练习)已知等差数列｛为｝的前〃项和为3,满足2%=%+5,则S,)=()

A.35B.40C.45D.50

【答案】C

［分析］根据等差数列的性质=%+%求出%=5,再利用等差数列前〃项和公式和4+%=2%求解即

可.

【详解】由等差数列的性质得6+%=2%=%+5,则为=5,所以Sg=%l*=9%=9x5=45.

故选:C.

3.(24-25高二下•陕西榆林•期末)记S.为等差数列｛/｝的前〃项和.若4+4=11,则1=()

A.43B.44C.87D.88

【答案】B

【分析】先根据等差数列的性质得出4+4=4+4;再根据等差数列前〃项和公式可求解.

【详解】由等差数列的性质可得：q+%=%+4

则由等差数列前〃项和公式得：4岁小气与8:44,

故选:B.

4.(24-25高二下•广东韶关•期末)已知等差数列｛%｝的前〃项和为S"，$3=2$6=6,贝I」Sg=()

A.-9B.-6C.-3D.9

【答案】A

【分析】利用等差数列片段和的性质可知S3、§6-8、Sg-S6成等差数列可求得Sg的值.

【详解】由题意可得§3=6,5=3,

因为等差数列｛为｝的前〃项和为，,

由等差数列片断和的性质可知§3、“-S3、S9-S6成等差数列，

所以2（S6-S3）=S3+S「S6,所以§9=356-38=3x3—3x6=-9.

故选：A.

二、多选题

5.（24-25高二下•河南驻马店•期天）设S”是等差数列｛&｝的前〃项和，若几＜0,生＜-1,则下列结论正

确的是（）

A.d＜0B.|%|＜同

C.〃=7时，S.最大D.使S”＞0的〃的最大值为13

【答案】AC

【分析】对于AB,由题儿＜0可得%＜0,由生＜-1可得%＞0,%+/＞0,据此可判断AB；对于C,

分析可得〃07时，。”＞0,时.，进而判断即可；市于D,由题可得几＞0,九＜0,据此可判

断选项正误.

【详解】对于AB,由题意＞="（"+%）=]5的＜0,即/＜0，

又以〈Tv。，所以外＞（）,且生+%＞0,则同＞同，

故｛q｝为递减数列，即d＜0,故A正确，B错误；

由于〃V7时，。“＞。，〃28时，。”＜0,

则〃=7时，S.最大，故C正确；

由‘4='（a：，'=7（%+%）＞°，S5＜。，

所以使邑＞0的〃的最大值为14,故D错误.

故选：AC.

三、填空题

6.（2025高三・全国•专题练习）把数列｛3〃+2｝与｛4〃｝（〃eN）的所有公共项去掉，剩余的项从小到大排序得

到数列也｝,则数列｛an｝的前202项和为.

【答案】49609

【分析】｛3〃+2｝与｛4〃｝的公共项为12〃-4,两数列去掉公共项后，剩余的项从小到大排序可发现每两个被

去掉的相邻的公共项之间有5项，其和构成等差数列，利用等差数列的前〃项和公式即可求解.

【详解】｛3〃+2｝与｛4〃｝的第一个公共项为8,｛3〃+2）是公差为3的等差数列，｛4〃｝是公差为4的等差数列，

则两数列的公共项构成首项为8,公差为12的等差数列，即数列｛12〃-4｝,

两数列去掉公共项后，剩余的项从小到大排序为4,5,11,12,14,1617,23,24,26,28,29,35,,且每两个被去掉

的相邻的公共项之间有5项，

分别求和得11+12+14+16+17=70,23+24+26+28+29=130,35+36+38+40+41=190,,

可以看到每相邻5项的和依次构成首项为70,公差为60的等差数列.

因为（202—2）+5=40,所以｛q｝的前202项和为4+5+40x70+如学60=49609.

故答案为：49609.

S+2

7.（25-26高三上•湖北•开学考试）已知等差数列｛%｝，｛"｝的前/，项和分别为2,工、,且亍=黄"，则

4----------

4715

【答案】布与

【分析】根据等差数列的求和公式，结合性质即可求解.

【详解】由3=3〃+2九3x15+247

可得

〃+17^~15+1-I6

15x4十”

九二2二15%二%

154bj

015xV^

故答案为：—•

16

四、解答题

8.(2025高三・全国•专题练习)设S”为数列依｝的前〃项和.已知生=4a=20,且为等差数列.求

证：数列｛«,｝为等差数列.

【答案】证明见解析

【分析】设等差数列的公差为d，利用等差数列公式和题设条件得到关于S"的方程求出，,"，进而

、n

求出S.,接着由q=s“-sk求出数列｛q｝的通项公式即可由等差数列定义求解.

【详解】证明：设等差数列［叫的公差为d,则&=¥+(〃-1”.

nJnI

因为S,=20,所以3=丛+3"可得S+3d=5①，

4I

又因为生=4,则S2=q+/=$+4,结合与吾+4可得3+24=4②，

联立①②解得5=2/=I,

C