高一数学周测卷4 （范围：第七章第1节～第七章第3节）

周测卷4(范围：§7.1〜§7.3)

(时间：50分钟满分：100分)

一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共3()分)

1.设(l+2i)a+〃=2i,其中b为实数,则()

A.a=l,b=—\b=]

C.a=-1,b=1D.a=-1,b=~\

答案A

解析法一由题意知。+Z?+2ai=2i,

”+8=0,。二1,

又。，所以，解得,

、2。=2,[b=~1.

法二由题意知〃+/?+(2〃-2)i=0,

。+/?=0,

又a,66R,所以“

2。-2=0,

a=1,

解得

b=—\.

2.设O是坐标原点，向量近，油对应的复数分别为2—3i,—3+2i,那么向量就

对应的复数是()

A.—5+5iB.-5-5iC.5+5iD.5—5i

答案D

解析由题设得胸=宓一场，

所以应对应的复数为2—3i—(—3+2i)=5—5i.

3.已知复数2=署，i为虚数单位，则|z|二()

A.72B.小C.VlOD.2小

答案B

(1+3i)(1+i)-2+4it--------------%r-

解析z==-S—=T+2i，|z|=3(—1)-+2-=小.

(1-i)(l+i)2

2+i

4.已知i是虚数单位，复数z==,则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

答案D

&…2+i(2+i)(3+i)

解析•z=m=(3-i)(3+i)

5+5i11.

-10-2+2b

.一11.

・・z=5—亍.

・•・复数z在复平面内对应的点位于第四象限.

5.。=1”是“复数Z=/—〃+3+l)i(a£R,i是虚数单位)为纯虚数”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当。=1时，z=2i为纯虚数，成立；

当z=＞一丁+(々+1》为纯虚数时，

解得。=0或a=l.

所以“4=1”是“复数z=/—〃+3+i)i3£R,i是虚数单位)为纯虚数，，的充分

不必要条件.

6.当2=干■时，zL+z^+l的值等于()

A.lB.-lC.iD.-i

答案D

解析因为z=?亍=z2=一六=-i

=>Z4=—1,

所以z50=©严/=-i,

Z100=(Z50)2=_L

所以21°°+25。+1=—1-1+1=—1

二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)

7.若z=cos6+isin0(6£R,i是虚数单位)，贝此一2—2i|的值可以是()

A.2A/2BSC.2^2+1D.36

答案AC

解析V|z-2-2i|=

I(cos0—2)+i(sinJ-2)|

=yj(cos^—2)2+(sin^—2)2

=yj9-4啦sin(e+；)

・・.2g一1辽|2—2—2“忘26+1.

8.已知复数Zl,Z2,Z3,则下列结论正确的是()

A.若Zl+z2=0,则|zi|=|Z2|

B.若|Z1+1|=|Z2+1|,则|Z||=|Z2|

C.z?—|zi|~

D.若Z3=Z1Z2,则|Z3|=|zi||Z2|

答案AD

解析对于A,若zi+z2=0,

则Zl=­Z2,

所以|zi|=|-Z2|=|Z2|,所以A正确；

对于B,设zi=2+4i,Z2=4,

则|zi+l|=|3+4i|=5=L+l|,

而回|=隹不不=2而H|Z2|=4,

所以B错误；

对于C,设zi=x+yi(x,y£R),

贝!Iz?=U+yi)2=A2-y2H-2xyi,

+)2,

所以®F=f+V，

所以z?W|zi|2,

所以c错误；

对于D,设Zi=x+yi(x,y£R),

Z2=a—bi(a1R),

则ziz2=(x+yi)(〃-Ai)

=3+by)+(ay-bx)\,

所以|ziz2|=yj^ax+by}2+(ay—bx)2=yfC^-^y2)―(«2+/?2),

|zi||z2|=7(4+()(序+(),

所以当Z3=Z1Z2时,|Z3|=|Z1||Z2|,

所以D正确.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

9.若复数zi+z2=3+4i,zi—Z2=5—2i,则zi=.

答案4+i

解析两式相加得2zi=8+2i,

/.zi=44-i.

10.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数2=(1

+ai)i为“等部复数”，则复数1+25的虚部为,模为.

答案一2小

解析・・・z=(l+ai)i=i-a为“等部复数”，・・・。=-1.

因此l+2〃i的虚部为2〃=-2,且|l+2ai|=小.

,、］»、四,「a+bi,a-bi

11.己知mi为虚数单位，则*;----^TT-=________.

b-a\b-va\-------------

答案0

解析原式=

(a+万)(/?+ai)(a-8i)(刀一ai)

(力一ai)(匕+ai)(b+ai)(b一出)

ab-\-(tz2+/?2)i—ab.ab-(4+户)\—ab

〃+庐cr+b1

=i-i=0

四、解答题(本题共3小题，共43分)

12.(13分)已知zi=l-i,z2=2+2i(i为虚数单位).

⑴求Z1Z2；

(2)若十=《+巳，求z.

解(l)Vzi=l-i,z2=2+2i,

・・・ziz2=(l—i)(2+2i)=2(l-i)(l+i)=4.

-i11.1,口Z1Z2

(2)由：=;7+；；，付z=!，

ZZlZ2Z1十Z2

.=_________4_________4_6_2.

(1-i)+(2+2i)-3+i-55E

13.(15分)已知z,口为复数，(l+3i)z为纯虚数，①=号，且㈤=5小，求①.

解设z=〃+为(mZ?eR),

则(1+3i)z=a-3h+(3〃+8)i,

由题意得a—3/?—0,3a+b#0.

因为|①|=2+i=,

所以\z\=1序+庐=

将a=3b代入，

解得a=15,〃=5或。=—15,b=-5,

15+5i

故心=±2+i=±(7T).

14.(15分)己知向量a=(cus20,~2),1=(1,—sin?。)，心+2.在复平面内,

复数方二喏。为虚数单位)对应的点为Zi.

⑴求㈤；

(2)Z为曲线|z—2z1|二l⑶为zi的共规复数)上的动点，求Z与Zi之间的最小距离;

(3)若8=看，求〃在力上的投影向量〃.

解(l)o8=cos2^+2sin2<9=cos2^—sin2^+2sin2<9=cos2^+sin2^=1,

所以"7=。•力+2=1+2=3.

如3+i(3+i)(1+i)3+3i+i—12+4i

1

所以zi=—=(i_nu+i)=-—=丁=+%

所以闵=|l+2i|=小.

(2)由(1)可得zi=l-2i,Zi(l,2),

曲线|z—2zi|=l,

即|z一(2—4i)|=l,

因此曲线是复平面内以Zo(2,-4)为圆心，1为半径的圆.

故Zo与Zi之间的距离为7(1-