中考数学总复习《全等三角形的判定与性质》专项测试卷（带答案）

中考数学总复习《全等三角形的判定与性质》专项测试卷(带答案)

1.如图，为等边三角形，点E分别在BC,AC边上，且切=；4£，连接AD，BE交于点、F,将

沿AB翻折得到△ABG.

(1)求证：四边形"BG是菱形；

(2)若AB=6,且A3:8O=2:1,求四边形"BG的周长.

2.如图，DEJ.AB于点E,OE工47于点?若BD=CDBE=CF.

(1)求证：4。平分N84C.

⑵己知A8=10CF=2,求AC的长.

3.在VA4c中ZAC8=9()o,4C=BC：直线用N经过点C,且AO_L例N于Z).BE上MN千E.

图1图2图3

(I)当直线MN绕点。旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

(3)当直线MN绕点。旋转到图3的位置时，试问OE、AD.8E具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以

证明.

4.如图1,RtAABC+ZABC=90°,将VA8C绕点A逆时针旋转。度(0°<a<90°),得到△AMN,点B,。的对

应点分别为点M,N,延长NM交于点

(1)请判断：在旋转过程中，8D与OM的数量关系为:

(2)如图2,在旋转过程中，当时，连接CM4M,延长BM交CN于点、E.

①求证：NF.=CF.：

AN-AR

②若VABC两直角边的比为3:4,请直接写出二口的值.

CE

5.已知：如图，菱形A8C。的对角线AC、8。交于点。，分别过点C、D悍CF〃BDDF//AC,连接研交AC

于点E.

⑴求证：AFCE^BOE：

(2)当AD_LCO时，判断四边形OC8的形状，并说明理由.

6.如图1,将两个全等的直角三角形按如图方式摆放.已知△ABCgZSCMZACBZF=90°将MEF绕点C

旋转CE与AB边交于点MCF与AB边交于点、N.

(I)求证：CM2=MNAM

AN

(2)如图2已知AC=28C=4,——=3.

MN

①求证：ABACE.

②求"长

③如图3连接BE并延长与"的延长线相交于点G直接写出“18G的面枳.

7.如图1在中E广为对角线人C上两点且AE=CF连接BEDF.

(1)求证：BE=DF.

(2)连接期'并延长交CO于点M延长。“交于点N.

①如图2连接EMEN若EM/；AD求证：EN//AB

FF

②如图3连接若ZABC=90。且CN=2BN求工的值.

MN

8.在正方形ABC。中Er分别为直线BCC7)上的点㈤£=45。.

⑴如图1E尸分别在边BCCO上求证：EF=BE+DF

(2)如图2点E在BC的延长线上点尸在CD的延长线上判断/法,£F,。尸之间的数量关系并证明.

9.如图已知在梯形A8CO中AD//BC。是8。上的一点AO=EOZABD=ZCBD连接AO并延长交

BC干点、E.

(1)求证：四边形A8EO是菱形

(2)过点C作CF_LAE垂足为点〃若EO=FE求证：四边形ODC/是矩形.

10.在RtZ\A8C中ZACB=90°将VABC绕点4顺时针旋转得到VAOE点8的对应点为点。点C的对应点

为点E.

D

A

A

/)

IS1图2图3

⑴如图I连接CEDB求证:

(2)如图2延长CE交。4于点。请判断。是否为。A的中点并说明理由

⑶如图3当AE||3C时C4=8,C3=6求线段CO的长.

11.如织在等边VA8C中点。E分别在边ACA8上点尸在边BC的延长线上连接OEDF

CD=府。NEDF=120°.

(I)如图(1)若〃=1点G在A3上连接0GNGDC=/EDF求证：DE=DF

⑵如图(2)若，1=2探究跖CD。尸之间的数量关系

⑶如图(3)连接EF交CD于点H若FE平分/DFB求▼的值(用含〃的式子表示).

HC

12.已知：在直角梯形ABC。中AD//BC44=90。将△AAO沿直线5。翻折点A恰好落在腰CD上的点E

处.

(1)如图当点E是腰8的中点时求证：△8CO是等边三角形

(2)延长昭交线段4。的延长线于点「连接“如果CE=O厂清画出符合题意的图形并证明：四边形A8CF

是矩形.

13.如图(1)在四边形ABCO中连接对角线ACBDZABD=ZCBDBD2=ABBCDC=nBC点E

是CD的中点连接班交只。于点F.

A

D

D

E

BC

⑴⑵

(1)求证：AABDSADBC

(2)求黑BF的值(用含〃的式子表示)

AC

⑶如图(2)若AC_LAE直接写出装的值(用含“的式子表示).

B卜

参考答案

1.(1)证明：•••△ABC为等边三角形

...ZABC=NZMC=C=60°

在△A8。和△氏1£中

BD=AE

<4ABD=Z1BAE

AB=HA

.•.△46屋△fiAE(SAS)

:.ZABF=ABAF

:.AF=BF

由翻折的性质可知：AG=AFBG=BF

..AF=BF=AG=BG

二.四边形AF'BG是菱形

(2)解：•.•”8C为等边三角形

AB=BC=AC=6

AB:BD=2:\

：.BD=AE=-AB=3

2

/.BD=-BCAE=-AC

22

.\DE分别是8CAC的中点

•.•△A3c是等边三角形

："CBE=-ZABC=30°AD1BC

2

ZADB=90°

在RiZ\B。产中/CBE=30。

...斯=上=之=2百

cos30。B

T

二.菱形"BG的周长为：4A/=4x26=86.

2.(1)证明：'：DE1ABDFJ.AC

ZE=ZDFC=90°

在RSBDE与RtACDF中

BD=CD

BE=CF

RtZ\BD£^RtACDF(HL)

，DE=DF

又•；DEJ.ABDFLAC

・•・AZ)平分/84。

(2)解：•：BE=CF=2

AE=AB+BE=\0+2=\2

在RSAOE与RSA。/7中

AD=AD

DE=DF

・•・RtAADE^RtA/lDF(HL)

***AF=AE=\2

，AC=A户+CF=12+2=14.

3.(1)见解析

(2)见解析

⑶DE=BE—AD证明见解析

【分析】(1)证明△AQC经△C£B(AAS)可得AD=CE,CD=BE即可求证

(2)iE明心出△CEB(AAS)可得AO=C£,8=8£即可求证

(3)证明硕(AAS)可得AO=CEC£)=8E即可解答.

【详解】(1)证明：VAD±MNBE1MN

，ZADC=NCEB=90。

AZ£MC+ZACD=90°

■:ZACZJ=90°

:.NACD+N4CE=90。

，/DAC=NBCE

在“CD和△C8E中

*/ZADC=NCEB=90°ZDAC=NBCEAC=BC

/.△ADC^ACEB(AAS)

・•・AD=CE,CD=BE

'：DE=CD+CE

，DE=AD+BE

(2)iE明：VADLMNBEIMN

・•・ZADC=ZCEB=90°

/.Z£MC+ZACD=90°

VZACK=90°

,ZACD+ZBCE=90°

，NDAC=NBCE

在△4CD和"BE中

•・•ZADC=ZCEB=90。ZDAC=NBCEAC=BC

：.△ADC^Z\CFR(AAS)

AD=CE,CD=BE

•/DE=CE-CD

DE=AD-BE

(3)解：DE=BE-AD证明如下:

VADIMNBEA.MN

，NAOC'=NCE8=90°

:.NZX4C+ZAC£>=90°

,/Z4C4=90。

/.ZAC。+NACE=90。

:./DAC=NBCE

在△48和△C8£中

ZADC=/CEB=90°ADAC=/BCEAC=BC

AAZ)C^ACEB(AAS)

AD=CE,CD=BE

*/DE=CD-CE

，DE=BE-AD.

4.(DBD=DM

⑵①见解析②?J竺的值为］J万或正

CE55

【分析】(1)解：连接由旋转得A8=AM,/4MN=/ABC=90。得到4Mo=NA8C=90。继而证明出

△ABQ经△AMQ(HL)则BD=DM即可解答

(2)①延长BE,AN交于点〃由(1)得BD=DM推导出/NM”=/BMO=/MB。,得到NMWH=N”,继而

推导出NH=8C得至IJANE•”四△CfB(AAS)则NE=CE即可解答

②过点。作b_LAN垂足为点尸推导出四边形是矩形得至lJA3=b,A/=8。设VABC的一直角边

长为公另一直角边为弘由勾股定理可得AC=J(4Z)2+(3k9=5k由旋转得AN=AC=5ZBC=MN

则BC=MN=Ab分类讨论：第一种情况：当AA:BC=3:4时第二种情况：当AB:AC=4:3时逐项分析求解

即可.

【详解】(1)解：连接A。如图

由旋转得

AB=AM,AAMN=ZABC=90°

,ZAAfD=180°-ZAA^V=90°

ZAMD=ZABC=9()°

1/AD=AD

:・BD=DM

(2)①证明：如图1延长8E/W交于点〃.

N

AhH

BD

图1

由（1）得BD=DM

：./MBD=NBMD,

/NMH=NBMD=/MBD,

AN//BC、

：.Z.H=NMBD,

NNMH=NH,

:.MN=NH,

••・NH=BC

由旋转得MN=BC,

在和△CE8中

/NEH=NCEB

4H=/EBC

NH=BC

:.&NEH^ACE^AAS）.

:.NE=CE

②学萨的值为或无

理由如下:

CE55

过点。作BJLAN垂足为点尸如图

JZAFC=90°

'：AN；/BC

，ZBCF=zL4FC=90°

,/ZABC=90°

・•・四边形ABC/是矩形

AB=CF,AF=BC

•••V48C两直角边的比为3:4设V48c的一直角边长为软另一直角边为弘

由勾股定理可得4?=，（4月）'+（37丫=5左

由旋转得AN=AC=5攵BC=MN

/.BC=MN=AF

第一种情况：当A3:6C=3:4时AB=AM=CF=3k,BC=MN=KF=4k

:.FN=AN-AF=k

:.CN="TV'+C万2=JhGkf=限，

由（2）得E为CN中点

・・CE——CN-k,

22

，23=学=加

CEVio,5

k

2

第二种情况：当A9:AC=4:3时AB=AM=CF=4k、BC=MN=AF=3k

:.FN=2k,

CN=y）FN2+CF2=&2k『+（4k）2=2旧k,

:.CE=®,

.AN-AB_5k-4k_y[5

CE=45k=T*

综上所述空三竺的值为或无.

CE55

5.（1）见解析

（2）四边形OCF。的形状是正方形理由见解析

【分析】（1）证明四边形OCFD是平行四边形得出OQ=b证出08=6即可得出“CERBOaAAS）

（2）先证明四边形A8CO为正方形得至lJOD=OCNCO£>=90°即可得出结论.

【详解】（1）证明：产〃4。DF//AC

二•四边形OCFO是平行四边形NOBE=NCFE

:.OD=CF

,四边形48CO是菱形

：.OB=OD

：.OB=CF

在△打?£和小?。石中

NOBE=NCFE

ZBEO=ZFEC

OB=CF

.\AFC£^A«OE(AAS)

(2)解：四边形OCH＞的形状是正方形理由如下：

•・•菱形ABC。ADLCD

，四边形ABC。为正方形

，OA=OB=OC=OD.ZCOD=90。

由(1)知：四边形OCPQ是平行四边形

,?ZC0D=90°

・•・四边形OCFO是矩形

又.：OC=OD

••・四边形OCFO是正方形.

6.(1)见解析

⑵①见解析②生回③]

52

【分析】(1)根据已知条件可证“VWCs.CMN即可证明

(2)①根据已知条件求得AAMC和ziCMN的相似比为2从而求得CN=8C=2然后根据等边对等角和等号代换

即可证得NCMN=90。

②根据①的结论可证得利用对应边成比例和勾股定埋可求出CM从而求得AMMN进而求

得CN=FN=2然后过尸作FDJ_钻于。易证△CNMgJ'ND(AAS)最后根据线段的和差和勾股定理可求得

AF

③过点G作GH_LAB于点”由②可知ND1F=NOE4=45。从而推出AH=G”接着易证△BMEs.BHG得

BMMF

至U黑"二岩根据线段的和差求得BMMEBH=AB—AH=AB—GH代入求得G”即可解答・

BHGH

【详解】(1)证明：*：4AB84CEF

，Z4=ZECF

又,：ZAMC=4CMN

・•・AAMCS^CMN

.AM_CM

即CM、MNAM

AN

(2)①证明：•・•AC=28C=4,/=3

MN

♦g繇4

:・AM=4MN

由(1)可知AAMCS^CMNCM2=MN•AM

.ACAMCM,

..—=--=CM2=MN,4MN

CNCMMN

CM=2MN

AC=AM=CM=2±=2

CNCMMNCN

CN=2=BC

/CNB=/B

ZACB=90°ZA=NECF

ZA+Z«=NECF+NCNB=90°

NCMN=180°-(Z£CF+NCNB)=90°

即AiCE

②解.：住心4ABC中AB=VAC2+BC2=V42+22=2X/5

AM_AC_2

由①可知4CMN=ZACB=90°

~CM~~BC~

，zMC8s△AMC

.BCAB

CMAC

AB2石5

，AM=2CM=—

5

・.*=4

MN

・》2小

••MN=------

5

2

在RtdCMN中CN=4MN+CM

Z\ARC学八CEF

：.CF=AC=4

，FN=CF-CN=4-2=2

如图过点尸作尸DJLAB于点。

•:NCNM=4FNDCN=FN=2

・•・ACNMRFND〈AAS)

2/smc/4石

・•・DN=MN=—FD=CM=-----

55

/.AD=^M-A/^-D7V=-----=—

5555

③解：如图过点G作GHLAB于点H

ZADF=90°

ZDAF=ZDFA=^x(180°-/ADF)=45°

VGH1AB即/4，G=90。

，NHGA=NHAG=45°

，AH=GH

由②可知CE=A3=26CM=—AM=—

55

，EM=CE-CM=275--=—

55

：4GHM=ZCMN=90。

：.GH\\CE

工ABMES^BHG

.BMME

•・,BH=AB-AH=AB-GHBM=AB-AM=245

55

2x/56一

：・"T=3Z

2y/5-GHGH

解得G"二型

2

ABC=-ABGH=-x2^x^-=—.

AOV22.22

7.(1)证明见解析

(2)①证明见解析②才

【分析】(1)根据平行四边形的性质求证△AB层△(?"即可证明BE=DF.

(2)。结合题中各组平行线(£M/A。NC//ADMC//AB灵活运用平行线分线段成比例相似三角形的

判定与性质证明C注F=令NC得到相似即可证得硒〃A8.

CABC

CMCN

②连接3。通过证明得到C"与EF的数显关系进而得到AC与E尸的数显关系通过证明詈•=="

CDCB

FF

得到MN与8。的数量关系结合AC=3。即可得到苗的值.

MN

【详解】(1)证明：•・•四边形八/C7)是平行四边形

:.AB=CDAB//CD

/./BAE=/DCF.

又＜AE=CF

・•・△ABSF(SAS)

/.BE=DF.

(2)O证明：•・•四边形A8co是平行四边形

/.AB=CDAD=BC.

*：EM//AD

.CECMCM

**^A~~CD~~A^'

VMC//AB

：.AMCFS4BAF

,CMCF

•CE二CF

*'CA-AF'

NC/7AD

4NCFS4DAF

CFNCNC

AF-DA-fiC

CENC

CABC

又•：/ECN=ZACB

/.AECV^AACB

/F.NC=/ARC

，NE//AB.

②如图连接50.

/D

RNC

由（1）可知△ABEACDF

・•・zero=ZAEBAE=CF

:,NBEC=/DFA

，BE//DN

CFCN

EFBN

•;CN=2BN

.CFCN.

••-=---=2

EFBN

，AE=CF=2EF

AEF=[AC.AF=3EF

NC/7AD

：•ANCFSQAF

.CNCNCF2EF2

**AD-CF-AF_3EF-3

•/CM!/AB

:AMCFSABAF

.CMCF2

.•==—

ABAF3

・CM2CN

''~CD~3~~CB'

又，；/MCN=/DCB

.△MCNSADCB

.些二生=2

••茄一而一§•

*/ZABC=90°

，平行四边形48CZ)是矩形

，AC=RD

.MN_2

，e7c~3

MN=-AC

3

l4r

•_E_F_=』s___=_1x3—=3

"MN~1AC~52-10,

3

8.(1)见解析

(2)EF=BE-DF理由见解析

【分析】(1)延长8到点G使AG=。尸连接AG.由正方形的性质证明"。尸丝"8G(SAS)可得AF=AG

ZDAF=ZBAG根据正方形的性质求出ZI3AG+ZBAE=45°=ZEAF再证经△AFE(SAS)可得GE=EF

则GE=GB+BE=BE+DF即可得出答案

(2)在4c上截取4G=。厂连接4G.证明△A。/7g&48G(SAS)可得A产=4G.NDAF=NBAG根据正方

形的性质求出ZBAG+ZDAE=45°=LEAF再证aAGE也△AFf(SAS)可得GE=EF则

GE=BE-BG=BE-DF即可得出答案.

【详解】(1)证明：延长C8到点G使BG=DF连接AG.

•••四边形ABC。为正方形

.\AD=AB,^ABG=^ADF=90°

-：BG=DF

.△ADF也△ABG(SAS)

AF=AGZDAF=N8AG

•••四边形A6C。为正方形

.-.ZE4D=90°

•;ZE4F=45°

:.ZI3AE+ZDAF=45°

/BAG+NBAE=45°=Z.EAF

.♦.NGAE=NE4尸=450.

在AAGE和△AFE中

AG=AF

<NGAE=ZEAF

AE=AE

.△AGE且AAFEISAS)

:.GE=EF

•;GE=GB+BE=BE+DF

:.EF=BE+DF

(2)解：EF=BE-DF

理由如下：如图在8c上截取8G=O/连接AG.

•.•四边形ABCD为正方形

AD=AI3,^ABG=^ADF=90°

•;BG=DF

.•.△ADF/△ABG(SAS)

:.AF=AGZDAF=ZBAG

•••四边形4BCD为正方形

.♦.440=90°

•;ZE4F=45°

/.ZDAE+ZDAF=45Q

NE4G+NDAE=45。

:.ZGAE=ZEAF=45°

在AAGE和ZXAAE中

AG=AF

<ZGAE=/EAF

AE=AE

..△AGE*AFE(SAS)

:.GE=EF.

•;GE=BE-BG=BE-DF

：.EF=BE-DF.

9.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(I)容易证明△A0*/ZM(A4S)则4?=的结合AD〃8C可判定四边形八8EO是平行四边形由

平行线的性质和题干可得ZADB=NCRD=ZABD则AB=AD因此四边形ABED是菱形

(2)容易证明△A0*^MC(AS4)则AO=EC结合AO〃8c可得四边形AECO是平行四边形则AE〃CO

进而得到NCDO=ZAOD=90°因此可判定四边形ODCF是矩形.

【详解】(1)证明：•••AO〃4c

/.ZADB=ZCBD

在△A。。和^EOB中

NADB=ZCBD

«NAOD=NEOB

AO=EO

・••^AOD^^EOB(AAS)

JAD=BE

・•・四边形A4£O是平行四边形

'/ZABD=NCBD

ZABD=ZADB

***AB=AD

，四边形A8EO是菱形

(2)记明：•・•四边形A8EO是菱形

^AEIBD

・••Z40D=ZroO=90°

VCF1AE

乙EFC=900=Z1AOD

'：AD//BC

:./DAO=4CEF

VAO=EOEO=FE

:.AO=FE

在△AOQ和中

4DAO=NCEF

■AO=FE

NAOD=NEFC

/.^AOD^^EFC(ASA)

：.AD=EC

,?AD//BC

••・四边形AECO是平行四边形

，AE//CD

••・ZCDO=ZAOD=90°

•••ZFOD=ZEFC=4CDO=90°

・•・四边形OOb是矩形.

10.(1)见解析

(2)。为。4的中点理由见解析

(3)7亚

【分析】(1)由旋转得△"C/ZiADE再根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似''得△4ECs/Wx?

(2)延长CO作DF上C尸于F作8G_LCF先根据“角角边”证明可得DF=BG再根据''角

角边”证明△力0尸与806可得00=80则此题可解

(3)作3M_LAE先说明四边形/WBC是矩形可得AM=8C=6,8M=AC=8再根据勾股定理求出C£=8五

可得国/=2然后说明△OEGS/XBWG—=-=-=-接下来设MG=4aEG=3。可求出

GEDE637

进而得出EG=号再说明△EG0s/B0可得CO=(EC.

【详解】(1)证明：TVA4c绕点A顺时针旋转得到VAOE

・•・^ABC^^ADE

AAC=AEAB=ADCB=EDZCAB=^EAD

ACAE

，4CAE=4BAD

J△AECSMDB

(2)解：结论：。为08的中点理由如下:

证明：延长CO过。点作。尸_LC产于尸过8点作8G_Lb于G

・•・/DFE=/BGC=90°

,/AC=AE

/.ZAEC=ZACE.

乂・・・NAEO=NACB=90。

，Z.DEF=180°-ZAED-^AEC=90°-ZAECZBCG=9Q°-ZACE

，4DEF=/BCG

NDFE=NBGC

在J)EF和△BCG中,NDEF=NBCG

CB=ED

・•・△£>£必△BCG(AAS)

，DF=BG

在DOF和ABOG中

NDOF=4B0G

，ZDFO=NBGO

DF=BG

AAZX)F^ABOG(AAS)

・•・DO=130

，。为08的中点

(3)解：VZ4CT=90°6=8CB=6

•*-A/3=y]AC2+BC2=10

过8点作AM_LA£于例

VAE//RCN4CB=90。

ZEAC=ZACB=NBMA=90°

••・四边形AM8C是矩形

AM=BC=6,BM=AC=8.

根据旋转得4£=AC=8根据勾股定理得CEMJM+A炉=86

EM=8-6=2.

•：4DEM=/BME=90。

，DE//BM

・••△DEGsgMG

.MG_BMS_4

^~GE~~DE~6~3

:・MG=4aEG=3a

/.4a+3a=2

2

解得

AMG=-EG=-.

77

AE//BC

:•AEGO^ACBO

6

：.EOEG_\

~CO=~BC=~6=7

・•・CO=-EC=-xS42=lyf2.

88

II.(D见解析

⑵CD—BE=gcF

cAH〃+2

⑶阮F

【分析】(1)由V"C是等边三角形则NA=4BC=/AC8=60。则有。6〃3c再证明△4G。是等边三角

形由〃=1AD=DC=DG可证A/X玲△DCV(ASA)然后通过全等三角形的性质即可求证

（2）过点。作OG〃8C交48于点G则△AQG为等边三角形由（1）得NGDE=NCDF/DGE=/DCF

所以△DGEs△0c产则空=能由〃=2故有CO=24O=2GQ然后通过线段的和与差可得

CFDC

CD-BE=-CF

2

（3）在即上截取一点〜使得尸P=H）连接KP过点。作/）G〃BC交人8于点G过点。作。垂

足为。先证明△尸瓦注△bEP（SAS）所以E£>=EPZEPF=ZEDF=\200然后得出△3EP为等边三角形

BP=BE=PE/BPE=/BEP=/B=&r同理得△AQG为等边三角形所以AG=GO=AD

ADAGADAG

ZA=Z4GD=ZA7)G=60o设AG=GO=AO=xGE=y证明所以一=—则一=—

ACABCDBG

所以8G=/MG则8£=加一＞'在□△QQE中QD2+QE2=DE'即=（内-方解得

〃--1nil，厂一1所以°"=小-），=写着再求出=DE="+"+'

y=-------x即GE=--------x

2n+12/2+12/2+1

……八一〃2+3〃+2

AH=AD+DH=--------------x则"C=AC-4O-O，=AB-AG-BE=GE=然后代入即可求解.

2/2+1

【详解】（1）证明：・・・V48C是等边三角形

JZA=ZABC=ZACB=60。

/.DG//BC

NGDC=NEDF=12G

/.ZGDE+ZCDE=Z.CDF+NCDE=120°

NGDE=NCDF

,/DG//BC

，ZAGD=ZABC=60°

・•・AAGD是等边三角形ZDGE=ZDCF=120°

,/〃=1

/.AD=DC=DG

・•.&DGE珏DCF(ASA)

，DE=DF

（2）解：如解图①过点。作OG〃4C交A8于点G则△A0G为等边三角形

A

解图①

由（I）得NGDE=/CDF4DGE=4DCF

:.ADGESADCF

.GEDG

"CF-DC

Vn=2

：.CD=2AD=2GD

：.GE=-CF

2

VAI3=ACAG=AD

BG=CD

・•・BE+GE=CD

，BE+1CF=CD

2

：.CD-BE=-CF

2

（3）解：如解图②在班'上截取一点尸使得人P=FD连接EP过点。作QG〃4c交AB于点G过点。作

DQ1AB垂足为Q

解图②

庄平分4DFB

，?DFE?PFE

又•:EF=EF

••・△/£膜△庄P（SAS）

,ED=EP/EPF=NEDF=120°

・••NFPE=/FDE=V2/

，NBPE=/B=60。

・•・ABEP为等边三角形

/.BP=BE=PE乙BPE=4BEP=/B=*°

同理得△AZX；为等边三角形

/.AG=GD=ADZA=Z4GO=4DG=60。

设AG=GO=AO=xGE=y

*：CD=nADDG//BC

A^ADG^ACB

.ADAG

**7c-Ai

.ADAG

'''CD~~BG

BG=11AG

：.BE=PE=ED=BG-GE=nx-y

•・•NAGO=60。

/.ZEGD=\20°

在RtAQDE中QD?+QE2=DE2

住x)+($+•，)=g»

.n~—1M2-)

・•y=-------x即GE=-一-x

'2w+l2/7+1

n~+72+1

DE=nx—y=x

2/7+1

丁NBPE=ZACB=&)0

・•・EP//AC

，/PEH=NDHE

•J/PEH=NDEH

JaHE=/DEH

.n匚n+n+\.〃'+3〃+2

•・DH=DE=----------xAH=AD+DH=--------------

2n+12/t+l

zr-1

/.HC=AC—AD-DH=AB-AG—BE=GE=------x

2〃+l

H~+3/2+2

.AH__2/z+l-'_/+3〃+2_〃+2

**7TC--n2-l~~n^\'

-------x

2〃+l

12.(1)证明见解析

⑵画图与证明见解析

【分析】(1)利用翻折性质得6ELCD结合方为CD中点证6。=6c再由角度关系推ZCBD=6()。证ABCD为

等边三角形

(2)过。作梯形的高Q〃_LBC证ABCEWADCH得BC=DCCE=CH结合CE=DF与AD=BH推得

BC=4/且A尸〃4c再由4=90。证四边形A8C77为矩形.

【详解】(1)证明：•.•将△AAO沿直线4。翻折点A落在腰CO上的点E处

•.•石是腰的中点

二.8E垂直平分CO

:.BD=BC

vAD\\BCZ4=90°

:.ZABC=90°

由翻折性质ZABD=/EBD

-BD=BC

.•"EBD=NEBC(三线合一)

/.ZABD=NEBD=AEBC

乂•••ZABD+NEBD+/EBC=90。

，ZLABD=ZLEBD=/EBC=30°

，ZCBD=NEBD+ZEBC=60°

又*;BD=BC

.•.△BCD是等i力三角形.

(2)记明：过点。作O，_L8