2026高考数学高频考点练：二项式定理

二项式定理

一.选择题（共10小题）

1.若（a+x）4的展开式中X的系数是-玄则〃=（）

11

A.1B.-C.*D.-1

【答案】C

【解析】•・•（4+X）4的展开式中X的系数是以•〃=一｝

._1

,,”一下

故选：C.

2.在。-依）4的展开式中，一的系数为（）

A.6B.-6C.12D.-12

【答案】A

【解析】（》—04的通项公式为：（・I）,禽.工—.34-r+^=3.可得尸=2.

二项展开式中x3的系数：心・（・1）2=6.

故选：A.

3.（益一65的展开式中，x的系数是（）

A.-40B.40C.-80D.80

【答窠】。

【解析】由二项式定理可知（2x-f5展开式的第什1项

7k】=cg⑵）5'（T'=（-|）磔丁磋/⑵，go,1,...»5）

令5・2厂=1,可得厂=2.即含x的项为第3项，

・•,乃=80%,故x的系数为80.

故选：D.

4.若（2r-1）4=a4X4+«3X3+cr2¥2+auv+ao>则00+02+44=（）

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【解析】法一：*.*(2.V-1)4=f74.V4+6f3,X3+«2X2+6Z|X+iZO»

可得的=以=1,t/2=C4X22=24,04=C4X24=16»

•・•。0+口2+。4=41,

故答案为：41.

法二：(2x-1)4=a4X4+ayc3+a2X2+aix+ao,

令X=1,可得40+。1+。2+。3+。4=1，

再令A=-1>可得。0-£71+6,2_〃3+。4=（-3）4=81,

工两式相加除以2可得，40+。2+。4=上^"=41,

故选：B.

5.（々-2）2025的展开式中的常数项是（）

人

A.第673项B.第674项C.第675项D.第676项

【答案】D

72025

【解析】由题意可得（收一（严5展开式的通项公式为m.Cas（用2025“（一9夕〃=（一）镀025厂一7

令202：-3k=0,解得*=675,故常数项为第676项.

故选：O.

6.二项式。一女）4。-1）的展开式中，常数项为（）

人

A.24B.6C.-6D.-24

【答案】D

【解析】展开式的通项公式为77+1=《%4-（一（尸=（一2>04-2/，厂€八,厂工4,

显然4・2r=-1无解，由4-2厂=0，得尸=2,

所以所求常数项为73-（-1）=-（-2）2第=-24.

故选：D.

7.若。-登1展开式的常数项为60,则常数。的值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】"一登）6展开式的通项公式为心尸《•（一何”令6-3厂=0,求得厂=2,

可得它的常数项为索・。=60,・•“=%

故选：B.

8.若（1・X）,;的+⑶工+^^+…+//,贝I］。2+。4+〃6=（）

A.31B.32C.63D.64

【答案】C

【解析】（1-X）7=即+。L+。>2+一叶。7d中，

令X=0,解得即=1,

令x=l,可得ao+ai+…+以7—0»

令x=-1,可得如-a\+...-47=27,两式相加得：。0+42+。4+〃6==64,

故。2+。4+。6=63.

故选：C.

9.己知(l+2x)"(，怎N*)的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，则〃=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】已知(l+2x)〃(«GN*)的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数为C1%第，

可得：2髭=己+门，即2x当镇=九+"啜毅1—2),

化筒得6(〃-1)=6+(〃-1)(〃-2),即：/-9〃+14=0,

解得：〃=7或〃=2(舍去).

即〃=7.

故选：C.

10.在(f+x+y)6的展开式中，/y的系数为()

A.3B.6C.60D.30

【答案】C

【解析】(f+x+y)6表示6个因式f+x+y的乘积，

在6个因式中，1个因式选y,2个因式选x2,3个因式选x,

故“y的系数为c1c：或=60.

故选：C.

二.多选题(共4小题)

8239

(多选)II.若(x+2)(x-1)=ao+«i(x+1)+a2(x+1)+a3(x+1)+-+a9(x+l),则下列结论正确的是()

A.11+02+43+…+。9=2

B.a7=96

C.的+2。［+2%2+2%3+…+2%9=4

D.ai+2a2+3内+…+9〃9=~15

【答案】BD

【解析】A：令.丫=-1,则ao=(-1+2)X(-I-1)8=256,

令x=0,则ao+ai+...+ag=2,所以ai+...+ag=2-256=-254,故A错误；

B:令f=x+l,则X=L1,则原多项式化为：(什1)(L2)8,

二项式(L2)8的通项公式为「班［=禺代-「(一2)「，令8r=7,则厂=1：令8-尸=6,贝b=2,

则日即(x+1)7的系数为lxCj-(-2)+田•(-2尸=96,故B正确；

C：令x=l,则的+2。1+…+29。9=0,故C错误；

88

D：对已知等式两边同时求导可得：(x-1)+S(x+2)(x-1)7=%+2a2(x+1)+…+9a9(x+1)»

令x=0,则4|+2。2+...+9〃9=(-1)8+16X(-1)7=-15,故。正确.

故选：BD.

（多选）12.已知二项式（?的展开式中各项系数之和为上，则（）

乙x64

A.展开式中共有6项

B.展开式中二项式系数的和为64

C.展开式中常数项为普

16

D.展开式中系数最大的项是笫2项

【答案】BC

【解析】令入=1,则（-4尸=表=71=6,则展开式共有7项，4错误；

二项式系数和为¥=oCZ=（1+1）6=64,8正确；

1n—r1n-3r

展开式通项为T「+1=gG）nT（EP-（-l）r（x）-r=C^y-r（-1）"H，其中〃=6,

115

622

6-3r--=--

0——=0=r=2,则常数项为73216。正确:

乙

11311515

6c1\6-c2z十c3✓5-3z13

各项系数依次为:（1）-°（6-J6(-6-6-6f-(-

2x2)-1'k2x2

6416

心（/I（一1）4=字，C"）6-5（_I）5=_3,点（鼻6-6（_i）6=i,则系数最大项为第5项，O错误.

故选：BC.

（多选）13.数学家波利亚说过：为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量

算两次，从而建立相等关系.根据波利亚的思想，由恒等式（l+x1”・（1+x）〃=（1+x）*〃（"〃£N*）左右两边

展开式./（其中/WN*,rW〃，/系数相同，可得恒等式武C；„+以％■〔+…+最%=可+而我们称之为范德

蒙德恒等式，下列关于范德蒙德恒等式说法正确的是（）

A.—=C篇

B.CiCt+C1Cl+-+Clcl=

C.Uolo+%脸+…+Mig=制

D・©>+（鬣）2+…+（⑵2=%-1

【答案】BD

s5

【解析】对于4由范德蒙德恒等式，C^n=C^++...+C^C^n,故力错误；

对于8,在范德蒙德恒等式中,令〃=5,〃?=6,1=6,有比琮+7琮+•••+«<?』=C$i，故8正确;

对于C,在范德蒙德恒等式中，令〃­〃=10,〃=9,有竦040+10蜕）+-+裾0竦0=废0,故。错误；

对于。，在范德蒙德恒等式中，令阳=〃，「=〃,有中G；+:印-1+…+C"?g=C?n,

由组合数性质，七=GL，所以武二品，底=6-1,…，弓=武，

故©）2+©）2+©）2+...+@）2=C却

所以（或）2+（C幻2+…+（印>=。%-1，故。正确.

故选：BD.

（多选）14.已知（血好+白）"（常数桁>（））的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（）

A.n=10

B.展开式中奇数项的二项式系数的和为256

C.展开式中的系数为45〃，

D.若展开式中各项系数的和为1024,则第6项的系数最大

【答案】ACD

【解析】由题可得展开式的通项为7叶1=的（77比2尸一（专）r=mn-Xrx-^~t

对于从由展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，

可得第=底，由组合数的性质可知〃=10,故4正确：

对于从由（md+白）10,则展开式中奇数项的二项式系数之和为2.1=512,故4错误：

4x10—5r

对于。，由一--二15解得/=2,则展开式中i15的系数为小。-2*0=45巾8,故C正确；

对于。，令x=l,则展开式中各项系数之和（w+l）l0=1024=2,c,解得〃?=1,

可得展开式的通项为77+1=Go无呼，即每项系数均为该项的二项式系数，

易知展开式中第6项为二项式（X2+%）1。的中间项，则其系数最大，故。正确.

故选：ACD.

三.填空题（共10小题）

15.在（x+1）"的二项展开式中，若各项系数和为32,则小项的系数为io.

【答案】见试踵解答内容

【解析】由题意，展开式中各项系数的和是（1+1）〃=32,所以〃=5,

则该二项式的通项公式是0+1=星・炉-r,Vt

令5-r=2,解得/«=3,故x2项的系数为或=10.

故答案为：10.

16.设（1-2x）4=ao+a\x+ayc2+ay（3+a4X4,则>0+44=17.

【答案】见试题解答内容

【解析】根据题意及二项式定理可得：

的+。4=C$+（?t-（-2）4=17.

故答案为：17.

17.（1-5（x+y）的展开式中x2/的系数为（用数字作答）.

【答案】-28.

【解析】（巾）8的通项公式为小产金、8-y,

2635

当厂=6时，T7=CgXy,当/=5时，T6=C|xy,

・•・（l-少（x+y）8的展开式中小心的系数为eg一琮=曷一焉=28—56=-28.

故答案为：-28.

18.在。2一点）7的二项展开式中，含/的项的系数是84.（用数字作答）

【答案】84.

【解析】二项式的展开式的通项公式为7-1=仅%2尸（_今「=（_2尸取14-5—,…，7,

令14-5r=4,可得〃=2,则/的系数为（-2）2.方=84.

故答案为：84.

19.在（好-9）7的展开式中，常数项为1.

【答案】7.

【解析】二项式展开式的通项公式为了田=。沁3尸（一白尸二（一1）「取213（0.W7且代N）,

令21-与=0,则r=6,所以常数项为77=（-1）6G=7.

故答案为；7.

20.若二项式（立+备＞展开式中的常数项为160,则。=.

【答案】2.

【解析】若二项式（。好+2）5展开式中的常数项为160,

V人

25r10

由题二项式展开式的通项公式为：T升I=噩•（ax）-,弓"2r•.eg•x4,

所以当r=4时的项为常数项2"•a•eg=160,解得a=2.

故答案为：2.

21.（2%-1+Il的展开式中的常数项为-11（用数字作答）.

【答案】-11.

【解析】因为（2x-g+1）3=（2%-1皆为+1）3,

只需求（2r-1）3（r+l）3展开式中的炉的系数.

即政2x）3XC打3+fl（2x）2X（-I）1xcjx+cj（2x）x（-l）2xc我2+白X（-1）3XC/3

=（8-3X4X3+3X2X3-1）/=-llx3.

故答案为：-11.

22.（x+1）（2x-1）5的展开式中f的系数为-3o.（用数字