高考数学考点预测-立体几何中的探索性问题（原卷版）

第11讲立体几何中的探索性问题

高考预测一：动态问题

1.如图，在四棱锥尸-力"⑦中，底面力8。。为直角梯形，AD//BC,/彳0c=90。，平面尸4。_L底面714c

。为力。的中点，〃是棱尸。上的点，PA=PD=2,BC=-AD=\,CD=y/3.

2

([)若点A/是棱。。的中点，求证：21//平面8MQ：

(H)求证：若二面角历-8。-。为30。，试求器的值.

2.如图，/平面/18C。，CFf/AE,AD!IBC,ADLAB,AB=AD=\,AE=BC=2.

([)求证：BF//平面/IDE；

(II)求直线CE与平面AQK所成角的正弦值；

(III)若二面角E-8Q-E的正弦值为不，求线段W的长.

3.如图，在四棱锥。-48c。中，已知P4_L平面力8c。，且四边形43co为直角梯形，

ZABC=/BAD=-,PA=AD=2,AB=BC=\.

2

(1)求点。到平面0的距离；

(2)设。是线段40上的动点，当直线。。与。夕所成的角最小时，求二面角4-的余弦值.

高考预测二：翻折问题

4.如图，A8CO是等边三角形，AB=AD,ZBAD=90°,将A8CO沿8。折叠到△8C。的位置，使得

AD1CB.

(1)求证：ADA.AC;

(2)若M,N分别是4Q,C8的中点，求二面角的余弦值.

5.图1是由矩形/1OE4、RtAABC和菱形4/GC组成的一个平面图形，其中44=1,BE=BF=2,

ZFBC=60°.将其沿48,5c折起使得8七与8”重合，连结DG,如图2.

(2)求图2中的二面角8-CG-4的大小.

6.正方形48CQ的边长为2,E,b分别为4Q,5C的中点，以。尸为折痕把AD”折起，使点C到达

点尸的位置，平面尸即J"平面4JFO.

(1)证明：尸尸_L平面尸。七；

(2)求二面角的余弦值.

7.如图，在A/J8C中，ZZ?=-,AB=BC=2,P为48边上一动点，PO//8C交4C于点力，现将APD4

2

沿夕。翻折至APQ4,使平面PDT_L平面夕4co.

（1）当棱锥4P8C。的体积最大时，求21的长；

（2）若点尸为48的中点，£为4c的中点，求证：OE1平面

8.如图（1）,在RQABC中，ZC=90°,4。=3,AC=6,D、E分别是为C、48上的点，且

DE//BC,将A4QE沿OE折起到△4。七的位置，使如图（2）.

（1）求证：“C1平面4。。

（2）当点。在何处时，三棱锥4-4C。体积最大，并求出最大值；

（3）当三楂锥4-叱。体积最大时，求8七与平面44c所成角的大小.

9.如图（1）,在RtAABC中，ZC=90°,4c=3,AC=6,D,E分别是4C,上的点，且

DE//BC,DE=2.将zMOE沿。E折起到△4DE的位置，使4。J.CO,如图（2）.

([)求证：平面H8C；

(H)求证：AC1BE；

(III)线段4。上是否存在点歹，使平面CFE_L平面4OE.若存在，求出。尸的长：若不存在，请说明理

由.

10.如图1,4CB=45。，BC=3,过动点力作力OJ_8C,垂足。在线段〃。上且异于点8,连接力4,

沿力。将AJ8O折起，使NBOC=90。(如图2所示).记&)=x,修(x)为三棱锥力-8c。的体积.

国I曲

(1)求/(X)的表达式;

(2)设函数/G)=—P(x)+2x,当x为何值时，/(x)取得最小值，并求出该最小值；

(3)当/(X)取得最小值时，设点石，M分别为棱EC,4C•的中点，试在棱(7。上确定一点N,使得

EN±BM，并求EN与平面BMN所成角的大小.

高考预测三：存在性问题

11.如图，在四楂锥尸一48CQ中，平面P4O1平面48CQ,PA上PD,PA=PD,48140,48=1,

AD=2,AC=CD=>/5.

(1)求证：PO1平面P/8；

(2)求直线P8与平面PCO所成侑的正弦值；

(3)设初=2万(0,,大1),是否存在实数2使得〃平面PCO?若存在，求九的值；若不存在，说明

理由.

12.在如图所示的几何体中，四边形/也C。为正方形，P/1_L平面PA//BE,BE=2,AB=PA=4.

(()求证：CK〃平面P4)；

(II)求直线PQ与平面PCE所成角的正弦值；

(HI)在棱48上是否存在一点尸，使得二面角E-PC-E的大小为60。？如果存在，确定点Q的位置；如

果不存在，说明理由.

13.如图，四棱锥层一46co中，平面E4Z)J./16C。，CDllAB,BCA.CD,EALED.且46=4,

BC=CD=EA=ED=2

(【)求证：8O_L平面彳QE；

(II)求直线8E和平面CDE所成角的正弦值；

(HI)在线段CE上是否存在一点产，使得平面B。/上平面CDE?如果存在点尸，/请指出点尸的位置;

如果不存在，请说明理由.

E

14.如图，在直三棱柱46。一月百。|中，平面月1SCJ,侧面46百通,RAAl=AB=2.

(1)求证：AB1BC,

(2)若直线4C与平面48。所成的角力工，请问在线段4c二是否存在点E,使得二面角.4-8E-C的

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大小为二，请说明理由.

3

15.如图1,在&4AC中，D,£分别为力打，4C的中点，。为。£的中点，AB=AC=2-45,8C=4.将

&WE沿OE折起到的位置，使得平面4DEJL平面8CEO,如图2.

([)求证：/Q18。.

(H)求直线4c和平面4月。所成角的正弦值.

(III)线段4。上是否存在点尸，使得直线。尸和8C所成角的余弦值为半？若存在，求出笔的值；若

不存在,说明理由.

高考预测四：开放性问题

16.如图，在四棱锥P-45C。中，P4_L平面45CQ,ADVCD,AD!IBC，PA=AD=CD=2,

PF1

BC=3,E为PD的中点、，点、尸在PC上,且——=-.

PC3

(1)求证：。。，平面左。；

PG

⑵应是平面板与直线物交于点G在平面板内，求丽的值.

17.如图，在四棱锥尸一力8CZ)中，P/_L平面48CZ),AD1CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,

BC=3.E为PO的中点，点尸为P