2026年人教版八年级数学：实数（暑假复习讲义）

平方根：一般地，如果的平方等于a,那么这个数x

叫做a的平方根（二^方W

算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根

平方根与

正数：有两个平方根，它们互为相反数；算术平方根仅有一个，且为正数

算术平方-

根0:平方根和算术平方根均为0

核心性质

负数：没有平方根和算术平方根

双重非负性：算术平方根a满足azO且azO,是解题核心隐含条件

fife,如果fKx的立方等于a,另监这个数x叫做a的立方根（三次方根）

任意实数都有且只有一立方根.

-

核心性质（-------------------------------

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

平方根、算术平方根、立方根对比豪|

核心思路：找到被开方数相邻的两个完全平方数/完全

立方数，确定无理数所在的整数区间.

实进阶方法：利用整数部分、4曲部分拆分求值

估算（无理数估值）

数J5CT：^小、雌定

穆改定义：无限不循环小数叫做襁数.

开方开不^^

三大常见类型含n的数

实数的概念与分类

孰律但不循环的无限小数

实义：有理数和无理蟋称翔

实数与数轴上的点一对应，数轴上任意一点都对应T实

数，任意f实数都能在数轴上找到对应点.

相反数：实数a的相反数是-a

实数的基本关联概念绝对值：几何意义为数轴上点到原点的距离

倒数：三虎实数a的倒数为1/a

实数的性质与运算-

运算范围：有理数的运算法则、运算律（交换律、结合

律、分配律）在翊范围内全部适用

基础运算：可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算

实数运算规则

大小比较：正数>0>负数；两个正数，被开方数越大，算

术平方根越大；两个负数，绝对值大的数反而小.

O重I点I梳I理

知识点一平方根与算术平方根

1.基本定义

（1）平方根：一般地，如果一个数》的平方等于a，即/=Q,那么这个数％叫做。的平方根（二次方根），

记作士迎（a>0）o

（2）算术平方根：正数a的正的平方根叫做Q的算术平方根，记作后（a>0）;规定。的算术平方根是0。

2.核心性质

3

(1)正数：有两个平方根，它们互为相反数；算术平方根仅有一个，且为正数。

(2)0：平方根和算术平方根均为0。

(3)负数：没有平方根和算术平方根：

(4)双重非负性：算术平方根6满足。NO且逅20,是解题咳心隐含条件。

【易错提醒】

1.负数没有算术平方根；

2.算术平方根：符号后，结果唯一、非负，只取正数(0的算术平方根为0)；

3.平方根：符号士正数有两个互为相反数的平方根，。只有一个平方根0。

4.忽略算术平方根的双重非负性；

(1)认为石有意义，直接计算；

(2)计算序T时，不考虑x取值范用；

(3)多个非负数和为0,不会列式：如G+|y-l|=0,不会令两项分别为0。

即时即练W的平方根是IJ记的算术平方根是.

【答案】±22

【详解】解：计算4的平方根，得士石=±2：

先化简标，得J语=4,再计算4的算术平方根，得"=2.

知识点二立方根

1.基本定义

一般地，如果一个数方的立方等于a,即/=%那么这个数又叫做a的立方根(三次方根)，记作遮，符号

3为根指数，不可省略。

2.核心性质

(1)任意实数都有且只有一个立方根。

(2)正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

(3)重要公式：口=一正，可实现负被开方数的转化。

【易错警示】

立方根与平方根最大区别：负数有立方根，无平方根；根指数3不能省略。

即时即期计算:|-2|+^8=

【答案】0

【详解】解：|一2|+4=2+(-2)=0.

知识点三平方根、算术平方根、立方根对比表

知识点表示符号被开方数取值范围根的个数记忆口诀

平方根±y/aa>0正数2个,0为1个，正数两根互为反，负数

4

负数无开方没答案

算术平方根a>0非负数仅有1个（非算术根只取正，双重非

负）负要记清

立方根诟a为全体实数任意实数都有1个立方开方无限制，符号

跟着被开方数

即时即练已知3a-5的平方根是±2,-7的立方彳艮是-2.求加〃+13的算术平方根.

【答案】5

【分析】根据平方根的定义得到3a-5=4,根据立方根的定义得到。-3-7=-8,求出。，〃的值，即可得

出2他+13的值，再根据算术平方根的定义求解即可.

【详解】解：团3。-5的平方根是=2,

03«-5=4,解得.=3.

回。一2/7—7的立方1艮是一2，

团。一必一7=—8,BP3-2/?-7=-8,解得力=2.

团2,心+13=2x3x2+13=25.

025的算术平方根为5,

团2必+13的算术平方根为5.

知识点U1估算（无理数估值）

1.核心思路：找到被开方数相邻的两个完全平方数/完全立方数，确定无理数所在的整数区间。

2.进阶方法：利用整数部分、小数部分拆分求值（若7171+1,几为整数，则整数部分为，，小数部分

为历一n）。

3.应用：比较实数大小、数轴定位无理数。

【易错警示】

若九+1（n为整数），贝IJ：整数部分=n,小数部分=原数-整数部分。

即时即练|估开V23-1的龌7一）

A.2到3之间B.3到4之间C.4到5之间D.5到6之间

【答案】B

【分析】本题利用夹逼法估算无理数的大小，先确定J苏的取值范围，再推导后-1的范围即可.

【详解】解：团16<23<25,

0>/|6<>/23<>/25，

04<723<5,

04-1<V23-1<5-18P3<V23-l<4,

目后-1的值在3到4之间.

知识点五实数的概念与分类

L无理数定义:

5

无限不循环小数叫做无理数。

2.三大常见类型：

（1）开方开不尽的数：鱼、遍等:

（2）含n的数：冗、2冗、?等；

（3）有规律但不循环的无限小数：1.010010001…）（相邻两个1之间0的个数依次加1）-

3.实数定义

有理数和无理数统称实数。

4.实数分类

小二3八,有理数（整数、分数；有限/无限循环小数）

按足乂分：实数｛无理数（无限不循环小数）

正实数（正有理数、正无理数）

按正负性分：实数｛0

'负实数（负有理数、负无理数）

【易错警示】

L带根号的数不一定是无理数（如石=2、次=2）是有理数；

2.无限小数不一定是无理数（无限循环小数是有理数）。

即时即练|赢A表示有近数,B表示无理数：C表示正整数，则下）四个庙中，能正确表示它们之间关系

【分析】根据实数的分类即可求解.

【详解】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示正整数，则能正确表示它们之间关系的是

知识点六实数的性质与运算

1.实数与数轴

实数与数轴上的点一一对应，数触上任意一点都对应一个实数，任意一个实数都能在数轴上找到对应点。

2.实数的基本关联概念

（1）相反数：实数a的相反数是-a,a+（-a）=0：

⑵绝对值：同=｛二瑞，几何意义为数轴上点到原点的距离；

⑶倒数：非零实数a的倒数%*=1（30）。

6

3.实数运算规则

(1)运算范围：有理数的运算法则、运算律(交换律、结合律、分酿律)在实数范围内全部适用；

(2)基础运算：可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算；

(3)大小比较：正数>0>负数；两个正数，被开方数越大，算术平方根越大；两个负数，绝对值大的数

反而小。

【易错警示】

1.有括号先算括号内一先开方、乘方一再乘除一最后加减，同级运算从左到右。

2.有理数运算律(交换律、结合律、分配律)在实数中依旧成立，但不能随意拆分带根号的式子。

即时即练|实数计算

(ll-P+V=J7-(-2)x79；

(2)(-2)2+|>/2->/3|-734-^^64.

【答案】(1)2(2)-72

【详解】(1)解：原式=-1+(-3)-(-2)X3

=-1-3—(-6)

=-1-3+6

=2：

(2)解：原式=4+\/5-\/5-V5+(-4)

=4+6-&-6-4

=一&•

题型突破

题型1求一个数的平方根、立方根、算术平方根

例1.16的平方根是()

A.±4B.8C.±2D.2

【答案】A

【详解】解：7(±4)2=16

」.16的平方根是±4

【技巧总结】

1.算术平方根：只取非负数，符号〃，I个结果；

2.平方根：一正一负互为相反数，符号土石，正数2个结果，0只有0；

3.立方根：任意实数都有唯一立方根，负数立方根为负，根指数3不能省。

利用对顶角相等、邻补角和为180。、垂直为90。三个基础条件列式计算。

［变式训练1”】下列各式，正确的是()

A.\/64=±8B.±>/64=8

7

C.-764=-8D.J（_64『=-64

【答案】C

【分析】根据平方根和算术平方根的求解方法，逐个判断即可.

【详解】解：闹是64的算术平方根，为8,A选项错误，不符合题意；

士府是64的平方根，为±8,B选项错误，不符合题意：

-相=-8,C选项正确，符合题意；

4-64）2=旧=64,口选项错误，不符合题意.

【变式训练1・2】下列说法：①-2是4的算术平方根；②16的平方根是4；③商的算术平方根是9；@0.25

777

的算术平方根是0.5：⑤系的立方根是±1.其中正确的说法有（）

14JJ

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【详解】解：①算术平方根为非负数，4的算术平方根是2,不是-2,•••①错误；

②（±4）2=16,「.16的平方根是±4,不是只有4,「•②错误；

③・「a=9,9的算术平方根是3,不是9,二•③错误；

④••.0.52=0.25,「.0.25的算术平方根是0.5,④正确；

⑤•••正数的立方根是唯一正数，急07的立方根4是不是土3（，.•.⑤错误；

14>JJJ

综上，正确的说法只有1个.

题型2求代数式的平方根

例1.若（/+/_2）2=64,贝1]/+从=.

【答案】10

【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键.

由方程（/+6-2『=64,利用平方根的性质，得到两个关于a2+b2的方程，再根据平方和的非负性排

除无效解.

【详解】解：由S+尸―2『=64,

根据平方根的性质，得：

^+"2=8或"+瓜-2=-8,

若a2+Z?2-2=8»贝a2+b2=1（）；

若a1+Z?2-2=-8>贝Ja2+h2=-6.

由于小+从是平方和，具有非负性，即/+从之0,

因此a2+b2=-6不成立，舍去；

故a2+/>2=10.

故答案为：10.

【技巧总结】

第一步：先化简代数式，算出最终数值；

c

第二步：再对结果求平方根(必带土)；

若代数式含根号，先算内层开方，再算外层。

【变式训练已知正实数X的平方根分别是〃和〃若/+(〃+。)2=8,则〃的平方根为

【答案】七丘

【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题.

根据平方根的定义，先求出x=4,然后求出〃+4=2,最后根捱平方根的定义即可得到答案.

【详解】解：,正实数x的平方根分别是〃和〃

/.ir=x,(〃+a)~=x,

若n2+(z?+a)-=8,

则2x=8,

解得x=4,

Qn+a>n,

:.n+a=2t

贝|J〃+”的平方根为土

故答案为：±五.

【交式训练2-2]一个正数b的平方根是2〃-1与-〃+2,

⑴求。和力的值.

⑵求5a+Z?平方根.

【答案】⑴〃=-1,b=9

(2)±2

【分析】本题主要考查平方根：

(1)根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出〃的值，再根据平方根求出〃的值；

(2)将(1)中结果代入5〃+方，再计算平方根即可.

【详解】(1)解：(3正数》的平方根是为—1勺―。+2,

团—。+2+2。-1=0,

Ea=-1.

国-a+2=—(-1)+2=3,2t7—1=2x(-1)-!=—3,

09的个平方根是±3,

团〃=9；

(2)解：0a=-l,b=9,

05a+Z?=5x(-l)+9=4,

2±j5a+〃=±>/J=±2,

即5。十[平方根是±2.

题型3已知一个数的平方根、立方跟，求这个数

例1.如果一个正数利的两个不相等平方根，分别是2a-3和。-9,求这个正数〃?的值.

9

【答案】25

【分析】根据正数的平方根互为相反数求出。的值，再求出其中的一个平方根即可求解.

【详解】解：由题意得，（〃-3）+（。-9）=0,

解得。=4,

吟一3=2x4—3=5,

团这个正数机二羽=.

【技巧总结】

I.已知一个数的平方根是m：原数=nf；（若给出两个互为相反数的平方根，任取一个平方即可）

2.已知一个数的立方根是m：原数二n13。

［变式训练3-11一个正数〃，的两个不同的平方根分别是3二2薪15，一加的值是—

【答案】-2

【分析】根据正数的两个不同平方根互为相反数，列一元•次方程求解即可.

【详解】解：根据正数的两个不同平方根互为相反数，得（3-2。）+（。-5）=0

解得〃=-2.

【变式训练3.2】已知〃-6的算术平方根是石，5〃+7的中方根是3.

（1）求心〃的值；

（2）求关于x的方程/一必二o的解.

【答案】（1）。=9；力=4

⑵x=6或x=-6

【分析1（1）根据算术平方根、立方根的定义求解即可；

（2）将.、〃的值代入方程V—必=0,根据平方根求解即可.

【详解】（1）解：的算术平方根是6

二.a-6=（G）=3

.,.a=3+6=9

a+7的立方根是3

.•.舫+7=3、=27

.*.5^=20

.•.力二4

（2）解：将。=9,〃=4代入12_々〃=（）,得

9-36=0

x2=36

x=±6

此方程的解为x=6或x=-6

题型4利用平方根解方程

例1.解方程：

⑴.d=121；

10

⑵2(X-2)2=8.

【答案】(1)再=11，x2=-ll

(2)=4,x2=0

【详解】(1)解：X2=121,

开平方得：工=土11，

即8=11,x2=-ll：

(2)解：2(A-2)2=8,

方程两边同除以2得：(X-2):4,

开平方得：x-2=±2,

解得：再=4,与=。.

【技巧总结】

方程形式：(ax+b尸二c

1.判断c：c<0,无解：c20,两边同时开平方；

2.开方得:ax+b=±Vc(千万别漏土)；

3.分两个一元一次方程分别求解。

［变式训练4・1】若(x+1)匚1=8,则x的值为_____二

【答案】2或T

【分析】如果一个数x的平方等于。，即丁=〃，那么x叫做〃的平方根或二次方根，一个正数有两个平方

根，它们互为相反数，。的平方根是0,负数没有平方根.

【详解】解：变形，得(“+1)2=9.

根据平方根的意义，可得x+l=±3.

所以x=2或T.

【交式训练4-21已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与2〃-9.

⑴求。和正数〃?的值；

⑵求关于x的方程。(工一2)2—16=0的解.

【答案】⑴。=1,〃7=49

(2)x=6或-2.

【分析】(1)由一个正数的两个平方根互为相反数求〃值，即可求解加；

(2)将。代入2丫-16=0即可求解.

【详解】(1)解：由题意得，。+6+勿-9=0,

解得。=1,

.•.,"=(1+6)2=49；

(2)解：当。=1时，(X—2)2—16=0,

.•.(-2)2=16,

11

A-2=±4,

团x=6或一2.

题型5利用算数平方根的非负性解题

例1.若Jx+y-2+(x-31=0,贝口一2y的值为()

A.-13B.3C.1D.5

【答案】D

【分析】几个非负数的和为0,则每个非负数都为0,先求出工，)，的值，再代入计算x-2.y即可.

【详解】解：国算术平方根和平方数都是非负数，且JX+)，-2+(X-3)2=0,

0x+y-2=O,x-3=O,

由工-3=0得x=3,

将工=3代入x+y-2=。，得3+y-2=0,

解得y=T，

将3,)，=-1代入x-2y,得x-2.y=3—2x(—l)=5.

【技巧总结】

初中三大非负数：420、|A|20、A2>0

若几个非负数相加=0,则每一项隹独等于0。

【变式训练54】已知77万+k+2)，-5|=o,则x-y的值为.

【答案】2

【详解】解：|x+2,y-5|>0,且疝5+卜+2)，一5卜0,

0x—3=0»x+2y—5=0,

解第一个方程得x=3,

将“3代入第二个方程得3+2)，-5=0,

解得y=i,

将1=3,y=l代入x-y得

x-y=3-1=2.

【变式训练5・2】如果反行与而5互为相反数，那么"+)'的平方根是.

【答案】±1

【详解】解：,「JiT3与互为相反数，

\2x—6+,2+y—0，

Xv2x-6>0,2+”0,且后不NO,y/2+y>0,

0-j2x-6=0,j2+y=0,

.•2-6=0,2+y=0,

解得x=3,y=-2,

.\.r+y=3+(-2)=1,

回的平方根为±1,

12

回x+y的平方根是±1.

题型6估计算数平方根的取值范围

例1.如图是我国古代的指南针，古人称它为司南.当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度

与最大宽度的比值为后-1.与这个比值最接近的整数是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】估算出J丞的范围，即可得出结果.

【详解】解:团53=30.25>26，52=25<26»

05<726<5.5,

04<V26-i<4.5,

故这个比值最接近的整数是4.

【技巧总结】

1.找相邻两个完全平方数夹住被开方数；

2.同时开方，得到无理数的整数区间；

3.格式：n<y/a<n+1（n为自然数）。

［变式训练6-1］估计石的值在1）

A.1到2之间B.2到3之间C.3到4之间D.4到5之间

【答案】A

【分析】找到被开方数3相邻的两个完全平方数，即可确定后的取值范围.

【详解】解：回12=1，2?=4，且1<3<4

0即i<73<2

因此6的值在1到2之间.

【变式训练6・2】已知》是正整数，当卜-"同取最小值时，X的值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】本题考查绝对值的意义和无理数的估算，解题思路是：卜一西|表示x与而的差的绝对值，该

值最小等价于正整数x最接近后，只需估算后的大小范围，找到最接近它的正整数即可.

【详解】解：・>32=9,42=16,且9<15<16,

/.3<\Zt5<4.

•.•15-9=6,16-15=1,可知15更接近16,因此屏更接近4,

13

.•.大=4时，卜-而］取最小值.

题型7算数平方根、立方跟的实际应用

例I.《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极

高的工艺水平和独特的工艺门类.现有一张长方形绣布，长、宽之比为4:3,绣布面积为432cm2.

⑴求绣布的长和宽；

（2）刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为246cm2的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明

理由.（”取3）

【答案】⑴长为24cm,宽为18cm

⑵不能裁出来，理由见解析

【分析】（1）设绣布的长为4nm,宽为Ircm,根据面积列方程求解；

（2）设完整的圆形绣布的半径为©】】，根据圆面积公式列式，进行计算得r=屈，然后判断出2短＞18,

即可作答.

【详解】（1）解：团长、宽之比为4:3

回设绣布的长为4.vcm,宽为3.rcm.

根据题意.得4x・3x=432

0x=6

回绣布的长为4x6=24cm,宽为3x6=18cm；

（2）解：不能裁出来，理由如下：

设完整的圆形绣布的半径为mm

根据题意得，兀产=246,

（23/=246

解得厂=^^（负值己舍去）

则短＞庖=9，

02^2＞18»

由（1）得绣布的长为24cm,宽为18cm,

而不能裁出来.

【技巧总结】

1.审题建模：

已知正方形面积求边长：边长二阿I；

已知正方体体积求棱长：棱长二斫蔽；

2.实际问题边长、长度为正数，只取算术平方根，舍去负根；

3.按题意列式计算，最后作答。

【变式训练7-1］如图，二甬两个边长为JFWcm的小定点纸齐剪拼成二形.

⑴求大正方形的边长；

（2）若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为3:2且面积为12cm2的长方形纸片，若

能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由.

【答案】（1）6cm

（2）能，长为3式，宽为20

【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可：

（2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可.

【详解】（1）解：由题意可得大正方形的面积为2乂（如丫=36（。/）,

所以大正方形的边K为阮-6（口〃）；

（2）能，理由如下：

设裁得的长方形的纸片的长为3.叩〃,宽为2.7〃，

由题意可得，3x-2x=12,

解得：x=±&，

・・・/>0,

/.A=>/2»

:.3x=3叵,

vl<V2<2，

.•.3<3"<6,

・••能裁得一个长宽之比为3:2同面积为12c»广的长方形纸片.

【变式训练7-2】将棱长为6cm的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且

长方体铁块的长、宽、高的比为1:1:8,求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少cm?

【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为:cm,=cm和12cm.

22

【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为xcm,xcm,8.wm.根据〃将楂长为6cm的正方体铁块在

炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块〃列方程求解即可.

【详解】解:设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为xcm,nm,8nm.

则工•x-8x-8=6;',

团64丁=216，

答：长方体铁块的长、宽、高分别为］cm,：cm和12cm.

22

题型8算数平方根和立方跟的综合应用

例1.已知•一个正数的平方根分别是。+2和2〃-5,8-3的立方根为T.求的算术平方根.

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【答案】8

【分析】根据题意得出〃+2+〃-5=0,确定〃=1,再由立方根得出力=-61,然后代入计算，求出算术平

方根即可.

【详解】解：•,,一个正数的平方根分别是〃+2和2〃-5,

+2+-5=0,

解得。=1,

,・3-3的立方根为-4,

.•./P-3=(-4)3=-64,

解得6=-61,

/.3C7—/?=3x1—(-61)=64.

心-人的算术平方根为痫=8.

【技巧总结】

1.拆分条件：分别处理平方根、立方根条件；

2.平方根条件：利用“两平方根互为相反数”或平方求原数；

3.立方根条件：直接立方求原数；

4.求出未知数后，代入所求式子计算。

［变式训练8-1］亘家2々:1的平方根是±3：25+〃的立方根是3.

⑴求力的值.

(2)求2々+3/?的平方根.

【答案】(1)。=5；b=2；

(2)±4.

【分析】(1)根据平方根以及立方根的定义解决此题：

(2)先将由(1)得。=5,〃=2代入2。+3〃，再求解2a+3〃的平方根即可.

【详解】(1)田口-1的平方根是±3,

02«-1=9,解得：a=5,

团25+匕的立方根是3,

用25+^=33=27,解得:b=2；

(2)回由(1)得。=5,b=2,

国2«+劝=2x5+3x2=16,

团2a+3b的平方根为±4.

【变式训练8・2】已知X-2的平方根是±2,x+3y-9的立方根是一3.

(1)求刘丁的值;

(2)求./+尸的平方根.

【答案】(1)%=6；y=-8；

(2)+10.

【分析】(1)根据平方根和立方根的性质求解即可；

(2)先求出/+)尸，再根据平方根的性质求解即可.

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【详解】（1）团x—2的平方根是±2,

0x-2=4,

解得：x=6,

0x+3y-9的立方根是-3,

0x+3y-9=（-3）\即6+3），-9=_27,

解得：丁=-8；

（2）@x2+y2=62+（-8）2=100,

团V+y2的平方根为=±10.

题型9判断是否为无理数

例1.下列各数中，是无理数的为（）

A.-1B.y/2C.3.33333D.3.14

【答案】B

【详解】解：根据定义，无限不循环小数是无理数，整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数

都属于有理数.

T是整数，属于有理数；3.33333和3.14是有限小数，都属于有理数；

也是无限不循环小数，属于无理数.

【技巧总结】

带版号不一定无理，开得尽就是有理；无限循环是有理，无限不循环才无理。

［变式训练9-1理数作为无限不循环小数，是数学家族里的重要二员.下列各数中，属于无理数的是（）

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A.不B.MC.-\/4D.--—

【答案】A

【分析】本题考查无理数的概念，根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，对各选项

逐一判断即可.

【详解】先明确概念，无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数.

团选项B中，邪=3,3是整数，属于有理数；

选项（：中，"=2,2是整数，属于行理数；

?2

选项D中，是分数，属于有理数；

选项A中，n是无限不循环小数，

0只有n是无理数，故选A.

【变式训练%2］在下列实数中，无理数是（）

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A.2B.—C.75D.我

【答案】C

【详解】解：选项A：2是整数，属于有理数；

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选项B：，是分数，属于有理数；

选项C：石是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数：

选项D：唬=2,2是整数，属于有理数.

题型10无理数大小的估计

例1.估计我的值在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【答案】D

【详解】解：<V2O<V25,

/.4<>/20<5，

则估计而的值在4和5之间.

【技巧总结】

1.优先用夹逼法确定近似整数范围；

2.如需精确比较，结合估算法算出近似小数再对比。

［变式训练10-1］如图，在数轴T相对应的点可能是（）

-101234

A.点MB.点NC.点QD.点尸

【答案】D

【分析】本题考查无理数的估算，用数轴上的点表示无理数，直接利用3<J万<4,进而得出作的取值范

围，进而得出答案.

【详解】解：v9<13<16,

.--3<>/13<4,

则相对应的点为P.

【变式训练10-2】在0,-2,2,6这5个数中，最大的数是（）

A.75B.-jC.-2D.2

【答案】A

【分析】利用负数小于0,。小于正数，正实数比较大小时，平方更大的数本身更大的性质即可求解；

【详解】解：因为2c逐<3,

故-2<0<g<2<6

故K最大；

题型11无理数整数部分的相关计算

例1.阅读下面的文字，解答问题：

我门知道6是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将6的小数部分全部写出来，于是小慧用6-1

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来表示G的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？

事实上，因为G的整数部分是1,将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分.

例如：•••〃<>/7<次，即2<«<3,

.•.a的整数部分为2,小数部分为（疗-2）.

⑴而的整数部分是,小数部分是：

⑵如果标的小数部分为“，折的整数部分为〃，求。+1-府|的值；

⑶已知X是8+而的整数部分，/是8+灯的小数部分，求x-y的值.

【答案】（1）4,VT7-4

（2）2

（3）14-X/TT

【分析】（1）仿照题干作答即可；

（2）仿照题干得到〃、人的值，进而代入。+卜-府卜|•算即可；

（3）仿照题干得到小y的值，法而代入X-V计算即可.

【详解】（1）解：⑦屈<后<后，

04<V17<5,

团后的整数部分是4,小数部分是我-4：

（2）解：团胸<而〈风，

团7c屈v8，

用相的小数部分〃=标-7,

团商<夜<V［而，

团9<屈<10,

团后的整数部分〃=9,

团〃+1-何=（疝-7*9-而卜府-7+9-屈=2；

（3）解：团囱<而<历，

03<VH<4»

田11<8+而<12，

团8+而的整数部分工=11，小数部分y=（8+JFT）—11="!—3.

@A-y=ll-（>AT-3）=14->/H.

【技巧总结】

若：n<y/a<n+1（n为整数）：整数部分=n：小数部分=/-n

【变式训练H」】已知加+2的算术平方根是4,5。+〃-9的立方根是3,。是而的整数部分，求a-2/?+c+l

的平方根.

【答案】±3

【分析】根据算术平方根和立方根的定义，求得。、〃的值，再根据二次根式的估算，求得c的值，最后求

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得a—%+c+l的值，进而求得a-W+c+l的平方根.

【详解】解：为+2的算术平方根是4,

2。+2=16,

解得：。二7,

・・•加+〃一9的立方根是3,

.•.M+6-9=5X7+6-9=26+〃=27,

解得：b=\,

•.•9<15<16,

7.3<715<4,

***c=3,

/.6—2Z?+c+l=7—2xl+3+l=9,

一劝+C+1的平方根为：±79=±3.

【变式训练11・2】已知4〃+1的平方根是±3,6-1的立方根为2.

⑴求。与。的值；

Q）如果后的整数部分为，，求方+8+。的平方根与Ji5的小数部分的差.

【答案】（1）。=2,b=9

（2）7-厉或-1-后

【分析】（1）根据平方根和立方根的性质即可求解：

（2）先估算出3<厉<4,可得c=3,然后再求出小数部分，再代入2.+%+c求出平方根，最后求出差即

可求解.

【详解】（1）解：•••4a+l的平方根是±3,〃-1的立方根为2,

.•4+1=9,1二8,

解得a=2,b=9,

（2）---5/9<715<716

闭3〈厉<4,

•••延的整数部分为3,即c=3,

.••炳的小数部分为厉-3,

由（1）得a=2,b=9,

，2“十〃十c=2x2十9+3=16,

团16的平方根为±4,

回2〃+〃+c的平方根与V15的小数部分的差为

4-（715-3）=4-715+3=7->/15^-4-（>/15-3）=-4-715+3=-1->/|5.

题型12实数的分类

例1.下列说法正确的是（）

A.相等的两个角是对顶角B.同位角相等

C.立方根是本身的数有-1、0、1D.实数可分为正实数与负实数

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【答案】c

【详解】解：A、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，例如两个任意位置不相对的直角相等，不

是对顶角，该选项不符合题意；

B、只有两直线平行时，同位角才相等，选项缺少前提条件，该选项不符合题意；

C、立方根是本身的数有-1、0、1,说法正确，该选项符合题意；

D、实数可分为正实数，0,负实数，选项漏掉0,该选项不符合题意.

【技巧总结】

先挑无理数，剩下全是有理数；0是有理数，非正非负。

［变式训练12-11把卜列各数填入相应的大括号内：

3&，-p舛，0.5,2n,3.14159265,一卜后|,1.3030030003...（两个3之间依次增加一个0）.

有理数：｛）;

无理数：｛）:

整数：｛｝;

负实数：｛）.

【答案】有理数：一•1，口，053.14159265,-卜后卜；

无理数：卜夜,2%,1.3030030003...｝；

整数：｛亚至一卜

负实数：卜亚瓦—k•

【分析】根据有理数包括整数和分数,有理数和无理数统称为实数,整数包括正整数,负整数和0,负实数

包括负有理数和负无理数解答.

【详解】解：有理数：卜|/，（）53.14159265,十塔卜

无理数：卜及,24,1.3030030003...｝；

整数：］切至一卜

负实数：一I"M豆十J可，.

【变式训练12・2】把下列各数写入相应的括号中：-：、啊、-0.618,p底、0.1717717771…（两个

1之间依次增加一个7）.

⑴正实数：｛_｝；

（2）负实数:｛_｝；

⑶有理数：｛_｝：

（4）无理数：｛_｝.

【答案】⑴幅，］，底,0.17177I777L..（两个1之间依次增加一个7）

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(2)--,-0.618

J

⑶-；，-0.618,\/36

⑷而，I，0.1717717771…（两个1之间依次增加一个7）

【分析】（1）根据正实数的定义确定，正实数包括正有理数和正无理数；

（2）根据负实数的定义确定，负实数包括负有理数和负无理数：

（3）根据有理数的定义确定，有理数包括整数和分数；

（4）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数.

【详解】（1）正实数：｛Y话，p底,0.1717717771…（两个1之间依次增加•个7）｝：

（2）负实数：｛-；，-0.618）：

（3）736=6

有理数：｛—g,-0.618,而｝:

（4）无理数：｛汴，0.1717717771...（两个1之间依次增加一个7）｝.

题型13实数与数轴

例1.如图，正方形A8CO的面积为7,顶点A在数轴上表示的数为1,若点£在数轴上（点E在点A的右

侧），且AEMB,则点E所表示的数为.

【分析】先求出A8与A£的值，再求出点E所表示的数.

【详解】解：回正方形的面积为7.

^AB2=7,即人8=近，

^AE=AB,

团=

团点A表示的数为1,

又自点E在点A的右侧，

回点后表示的数为J7+1.

【技巧总结】

1.一一对应：数轴上每一个点一唯一实数;

2.大小规则：数轴上右边的数>左边的数;

3.化简绝对值（核心考法）：①根据数轴判断字母正负、式子正负；②正数绝对值=本身，负数绝对•值=

相反数；③去括号化简。

【变式训练13-1】实数。//在数轴上对应的点的位置如图所示.化简近7+肉+川+加工7

~bc0a*

【答案】-b

【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及绝对值与数轴，正确化简各式是解题关键，直接利用数轴得

出各式的符号，进而化简得出答案.

【详解】解:由数轴可知：b<c<0<a,且网>同，

<0.a+h<0,

/.+\a+b\+J（c-a）2

=c-（4+0）+（a-c）

【变式训练13・2】如图，半径为1的圆从表示-1的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示-1的

点里合，滚动1周后到达点4，点A表示的数是-

【详解】解：团圆的周长为2兀,

回点8表示的数为一1+2兀.

题型14实数的大小比较

例L计算：^27=;比较大小：而4（填“>"、"V"或"=〃号）.

【答案】3<

【分析】根据33=27,即可得出炳=3,运用厉（灰=4,故而<4,即可作答.

【详解】解：团3,=27,

0^27=3»

sVTJ<\/16=4，

0>/15<4.

【技巧总结】

1.数轴法：数轴右侧数更大（通用）；

2.正负区分法：正数>0>负数；

3.平方法（仅两个正数使用）：平方大的原数大；

4.绝对值法（仅两个负数使用）：绝对值大的，原数反而小。

［变式训练14-1］比较大小：G2（填"V","=〃或”>〃）.

【答案】<