沪教版七年级数学上册《整式的乘法：多项式与多项式相乘》教案

沪教版七年级数学上册《整式的乘法：多项式与多项式相乘》教案

一、教学设计的理念与依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，秉承“核心素养导向”的课程理念，致力于在七年级代数学的入门关键期，为学生构建坚实而富有生长性的认知结构。整式的乘法，尤其是多项式与多项式的乘法，是初中代数的核心运算之一，它不仅是数与式运算规律的深化与扩展，更是后续学习因式分解、分式运算、方程与函数等知识的逻辑基石。本课设计的核心立意在于超越单纯技能训练的窠臼，通过精心设计的问题链、探究活动和数学表征转化，引导学生亲历数学法则的“再发现”过程，深刻理解运算法则的算理本质，即乘法分配律的连续应用，并体会数形结合的数学思想方法。

  在设计思路上，强调“从已知到未知，从具体到抽象，从算法到算理”的认知路径。以学生已掌握的单式乘多项式为认知起点，通过创设具有现实背景或几何直观的问题情境，激发认知冲突，将多项式乘多项式这一新问题转化为已知模型的组合。在探究过程中，着力培养学生的符号意识、运算能力和推理能力，引导他们归纳出普遍性的法则，并运用多种数学表征（符号、图形、文字）进行验证与阐释。同时，关注运算的严谨性和规范性，通过辨析易错点，提升运算的准确性与流畅性，为未来更复杂的代数变形奠定思维习惯基础。本设计追求在扎实的双基训练中，渗透数学思想，发展核心素养，实现数学育人的价值。

二、教学目标

  （一）知识与技能

  1.理解多项式与多项式相乘的法则，并能用数学语言（文字、符号）准确表述。

  2.熟练掌握多项式与多项式相乘的运算步骤，能够正确、迅速地进行计算，并能处理较为复杂的含有多项式乘法运算的化简求值问题。

  3.能够从几何图形面积的角度解释多项式与多项式相乘的法则，实现代数与几何的初步关联。

  （二）过程与方法

  1.经历探索多项式乘法法则的过程，体会“转化”与“化归”的数学思想，即将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式。

  2.通过小组合作、探究与交流，发展观察、归纳、类比、概括等合情推理与演绎推理能力。

  3.体验“特殊——一般——特殊”的认知模式，学会从具体实例中抽象数学规律，并应用规律解决新问题。

  （三）情感、态度与价值观

  1.在自主探索与合作交流中获得成功的学习体验，增强学习代数的信心和兴趣。

  2.感受数学知识之间的内在联系（如与乘法分配律、单项式乘法、图形面积的关联），体会数学的整体性和逻辑美。

  3.养成严谨、规范、有条理的运算习惯和书写习惯。

三、教学重难点

  （一）教学重点：多项式与多项式相乘的法则的探索、理解与应用。

  （二）教学难点：

  1.算理理解：理解法则的本质是乘法分配律的连续运用，理解展开式中各项的生成过程，特别是如何做到“不重不漏”。

  2.符号处理：在运算过程中正确处理各项的符号，尤其是当多项式含有负号或减号时，容易出现符号错误。

  3.几何解释：将代数式的乘法运算与几何图形的面积分割建立对应关系，形成直观理解。

四、教学准备

  （一）教师准备：

  1.多媒体课件：包含情境引入动画、法则推导的动态图示、多层次例题与练习题、课堂小结结构图。

  2.几何教具：可拼贴的矩形面积模型（如磁力贴片），用于直观演示（a+b）（m+n）的面积构成。

  3.学情前测分析：了解学生对单项式乘多项式、乘法分配律、合并同类项的掌握情况。

  （二）学生准备：

  1.复习巩固单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘的法则。

  2.准备好练习本、草稿纸、直尺等学习用品。

五、教学实施过程

  （一）创设情境，问题导入（预计用时：8分钟）

  教师活动：

  1.复习铺垫：首先以提问方式引导学生快速回顾：“上节课我们学习了单项式与多项式相乘，其法则是什么？依据是什么？”学生应能答出：“用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。依据是乘法分配律。”教师在黑板上板书关键：m（a+b+c）=ma+mb+mc。此环节旨在激活学生的已有认知结构，为新知学习提供稳固的“固着点”。

  2.情境引入：利用多媒体课件展示一个实际问题情境：“为美化校园，学校计划将一块长为（a+b）米，宽为（m+n）米的长方形空地改造成花圃。请问这块花圃的面积是多少平方米？”同时，用教具展示一个标有长度（a+b）和（m+n）的大矩形。

  3.提出问题：“这个面积该如何表示？我们学过的知识能直接解决吗？”引导学生发现，所求面积为（a+b）（m+n）。这是一个多项式乘以多项式的问题，是之前未曾系统学习的新运算。从而自然引出课题：“今天，我们就一起来探究多项式与多项式如何相乘。”

  设计意图：通过复习旧知，建立新旧知识间的联系，遵循认知的连续性。创设现实情境，赋予抽象的代数式以实际意义，激发学生解决问题的内在动机。明确抛出认知冲突，使学生清楚本节课的学习目标，带着问题进入探究。

  （二）合作探究，建构新知（预计用时：20分钟）

  阶段一：转化探究，初识法则

  教师活动：

  1.引导转化：“面对新问题（a+b）（m+n），我们没有现成法则。但我们有解决单项式乘多项式的‘利器’——乘法分配律。能否利用它将新问题转化为我们熟悉的问题呢？”给予学生片刻思考。

  2.启发思考：“我们可以将（a+b）看作一个整体，比如用一个大写的M来表示，那么原式变为M（m+n）。这像什么？”学生应能类比出：这变成了单项式乘多项式！即M（m+n）=Mm+Mn。

  3.揭示过程：教师引导学生进行替换还原：“现在，我们把M换回（a+b），那么Mm就是（a+b）m，Mn就是（a+b）n。”板书第一步转化：（a+b）（m+n）=（a+b）m+（a+b）n。

  4.继续转化：“现在，每一项（a+b）m和（a+b）n又变成了什么形式？”引导学生运用单项式乘多项式法则，继续展开：（a+b）m=am+bm；（a+b）n=an+bn。

  5.完成推导：将结果合并，板书完整过程：

  （a+b）（m+n）=（a+b）m+（a+b）n

  =am+bm+an+bn。

  6.初步归纳：教师引导学生观察最终结果am+bm+an+bn，提问：“这个结果是怎么得来的？它是哪些项的和？”学生观察后应能发现，结果是第一个多项式（a+b）中的每一项a和b，分别与第二个多项式（m+n）中的每一项m和n相乘，再把所有的积相加得到的。

  阶段二：几何验证，深化理解

  教师活动：

  1.建立联系：“刚才我们从代数运算的角度推导出了结果。这个结果在几何上有没有直观的解释呢？我们回到最开始的花圃面积问题。”利用几何教具或课件动画，将长为（a+b）、宽为（m+n）的大矩形进行分割。

  2.动态演示：如图，沿a、b和m、n的划分线，将大矩形分割成四个小矩形。引导学生观察并说出四个小矩形的长和宽，及其面积表达式。

  3.得出结论：四个小矩形的面积分别为：am,an,bm,bn。大矩形的总面积等于四个小矩形面积之和，即S=am+an+bm+bn。这与代数推导的结果完全一致。

  4.思想提升：教师总结：“这体现了‘数形结合’的思想。代数运算（a+b）（m+n）的展开式，恰好对应了几何图形（组合矩形）的总面积。这从另一个角度验证了我们推导法则的正确性和合理性。”

  阶段三：抽象概括，形成法则

  教师活动：

  1.推广一般：“以上我们研究了（a+b）（m+n）的特例。对于任意两个多项式相乘，是否具有同样的规律呢？”引导学生思考更一般的情形，例如（a+b+c）（x+y）。

  2.尝试概括：让学生仿照上述过程，尝试推导（a+b+c）（x+y），并观察结果中项的构成规律。学生活动后，得出：ax+ay+bx+by+cx+cy。

  3.归纳法则：教师组织学生分组讨论，用精炼的数学语言概括多项式乘法的法则。经过讨论与修正，师生共同得出法则：

  多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

  4.符号表述：在黑板上用字母进行一般化表述：设多项式A和B，则A·B的展开式，是A的每一项与B的每一项乘积之和。强调“每一项”和“乘积之和”。

  5.步骤梳理：教师与学生一起梳理运算的规范步骤：

  （1）按序排列：通常将两个多项式按同一字母的降幂（或升幂）排列，可使结果有序，便于合并。

  （2）逐项相乘：用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，注意“不重不漏”。建议使用箭头连线或表格等辅助思考，初学时可在心中默念“第一项乘第一项，第一项乘第二项……”。

  （3）确定符号：遵循“同号得正，异号得负”的单项式乘法符号法则，准确写出每一项的符号。

  （4）合并同类项：将相乘后得到的积中的同类项合并，化为最简形式。

  设计意图：这是本节课的核心环节。通过“代数推导——几何验证——抽象概括”的完整探究链条，让学生亲历法则的生成过程。代数推导体现了“转化”思想，将未知转化为已知；几何验证提供了直观模型，加深对算理的理解，培养数形结合思想；抽象概括锻炼了学生的数学表达能力。三步环环相扣，层层递进，旨在让学生不仅“知其然”，更“知其所以然”，实现深度学习。

  （三）范例解析，巩固应用（预计用时：25分钟）

  本环节通过由浅入深、类型多样的例题，引导学生应用法则，规范书写，突破难点。

  例题1：基础应用，规范书写

  计算：（1）(x+2)(x-3)；（2）(2x-1)(3x+4)。

  教师活动：

  1.板书第一小题的完整解答过程，边写边讲解每一步的操作和依据，特别是符号的处理。强调将(-3)看作一个整体，x与(-3)相乘得-3x。

  解：（1）(x+2)(x-3)

    =x·x+x·(-3)+2·x+2·(-3)

    =x²-3x+2x-6

    =x²-x-6。

  2.引导学生总结：结果通常按某个字母的降幂排列。两项式乘两项式，在未合并前有2×2=4项，合并后可能为三项或更少。

  3.请一名学生上台板演第（2）小题，其他学生在练习本上完成。教师巡视，关注学生是否漏乘、符号是否正确、是否合并同类项。

  4.点评学生板演，强调（2x）·（3x）=6x²的系数与指数运算。巩固基本流程。

  例题2：含有多项式与符号复杂的情况

  计算：（1）(a-3b)(a-b+2)；（2）(2m+n)(m-2n)-m(m-3n)。

  教师活动：

  1.对于（1），提问：“这个式子和例题1有什么不同？”引导学生发现第二个多项式是三项式。强调法则的普适性：用一个多项式的每一项（a,-3b）去乘另一个多项式的每一项（a,-b,+2），特别注意“-3b”这一项的符号要参与每一项的乘法。

  2.教师可示范第一步的展开，然后让学生独立完成剩余部分。重点巡视学生处理“-3b*(-b)=+3b²”这类符号易错点。

  3.对于（2），这是一个混合运算。提问：“运算顺序是什么？”（先乘除，后加减）。引导学生先分别进行两个多项式乘法，再进行整式的加减。板书时注意将两个积用括号括起来再相减，避免符号错误。

  解：（2）原式=(2m·m+2m·(-2n)+n·m+n·(-2n))-(m·m+m·(-3n))

      =(2m²-4mn+mn-2n²)-(m²-3mn)

      =2m²-3mn-2n²-m²+3mn

      =m²-2n²。

  4.引导学生观察结果，有时经过运算，中间项可能会消去，结果变得很简单。强调运算的严谨性。

  例题3：公式雏形与规律感知（为后续学习伏笔）

  计算：（1）(x+1)(x-1)；（2）(x+3)(x+3)；（3）(x+y)²。

  教师活动：

  1.让学生独立计算（1）和（2）。学生将得到：（1）x²-1；（2）x²+6x+9。

  2.引导学生观察（1）的结果特点：两项，且是平方差。教师可指出，这是今后要学习的“平方差公式”的特例，其结果为（首项）²-（尾项）²。

  3.引导学生观察（2）的结果特点：三项，首尾是平方项，中间是两数积的2倍。教师可指出，这是“完全平方公式”的特例。

  4.对于（3），让学生展开。得到x²+2xy+y²。教师总结：这些特殊的多项式乘法结果很有规律，记住这些规律可以简化运算，但今天我们必须从一般法则出发，熟练推导。这为后续学习乘法公式埋下认知伏笔，激发进一步探究的兴趣。

  例题4：实际应用与化简求值

  有一块长方形铁皮，长为（3a+2）厘米，宽为（2a-1）厘米。现需在它的四个角上各剪去一个边长为b厘米的小正方形（b<a），然后折成一个无盖的盒子。求这个盒子容积的代数表达式，并化简。当a=5，b=1时，求盒子的容积。

  教师活动：

  1.引导学生分析：折成无盖盒子后，盒子的底是一个长方形，其长为原长减去2b，即（3a+2-2b）厘米；宽为原宽减去2b，即（2a-1-2b）厘米；高为b厘米。

  2.因此，容积V=长×宽×高=（3a+2-2b）（2a-1-2b）·b。

  3.先引导学生化简（3a+2-2b）（2a-1-2b）。这是一个三项式乘三项式，过程较复杂，教师可带领学生逐步完成，或分小组合作。重点强调有序性：可先将两个多项式分别看作[（3a+2）-2b]和[（2a-1）-2b]，分步运用法则。最终结果乘以b。

  4.化简后，代入a=5，b=1求值。此题为学生提供了一个综合运用多项式乘法解决实际问题的机会，并锻炼了复杂式子的化简能力。

  设计意图：例题设计体现了梯度性和综合性。从两项式乘两项式到多项式乘多项式，从单纯计算到混合运算，再到蕴含公式雏形和实际应用，逐步提升思维难度和技能要求。通过教师的规范示范、学生的实践演练和有针对性的点评，使学生牢固掌握运算技能，并学会处理复杂情境，积累活动经验。

  （四）课堂练习，分层反馈（预计用时：15分钟）

  教师活动：

  1.基础巩固组（面向全体）：

  （1）计算：①(y-5)(y+6)；②(3x-2)(2x+1)；③(a+2b)(a-4b)。

  （2）下列计算是否正确？若不正确，请改正：

  ①(x-2)(x+3)=x²+3x-2x+6=x²+x+6。

  ②(2a-1)²=(2a-1)(2a-1)=4a²-1。

  2.能力提升组（面向大部分学生）：

  （1）计算：①(x²-2x+1)(x-3)；②(2m-n)(m²+mn+n²)。

  （2）先化简，再求值：(2x-3)(x+4)-(x-2)(x-1)，其中x=-1。

  3.拓展探索组（面向学有余力学生）：

  （1）若（x+p）（x+q）=x²+mx+6，且p,q为整数，求m的所有可能值。

  （2）观察下列等式，你能发现什么规律？请用含有n的等式表示出来，并验证。

  1×3=2²-1；2×4=3²-1；3×5=4²-1；4×6=5²-1；…

  教师巡视指导，重点关注基础薄弱学生对法则的应用和符号处理，对能力提升组学生指导其运算的条理性，对拓展组学生给予思路点拨（如第一题联系因式分解的逆用，第二题引导用字母表示一般项）。完成后，利用投影展示典型答案，组织学生互评、教师点评，及时纠正错误，分享优秀解法。

  （五）课堂小结，反思提升（预计用时：5分钟）

  教师引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

  1.知识层面：今天我们学习了什么运算法则？请用自己的话复述多项式乘多项式的法则。展开式中的项是如何产生的？（第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项的乘积之和）。

  2.方法层面：我们是怎样得到这个法则的？（通过转化、几何验证、抽象概括）。在进行多项式乘法运算时，关键的步骤是什么？需要注意哪些易错点？（有序相乘、符号准确、合并同类项；易错点：漏乘、符号错误、未合并）。

  3.思想层面：本节课蕴含了哪些重要的数学思想？（转化思想——将未知转化为已知；数形结合思想——用图形面积解释代数运算；从特殊到一般的思想）。

  教师用结构化的板书或课件动画，呈现本课的知识脉络和思想方法，使学生的认知系统化、结构化。

  （六）布置作业，延伸学习

  1.必做题：教材对应章节的课后练习，包括基础计算题和简单的化简求值题。要求书写规范，步骤清晰。

  2.选做题：

  （1）探究：计算（a+b）（a²-ab+b²）和（a-b）（a²+ab+b²），观察结果，它们与你学过的什么公式有联系？（为立方和/差公式做铺垫，不要求记忆）。

  （2）设计一个可以用多项式（2x-y）（x+3y）表示面积的实际问题情境。

  （3）查阅资料，了解我国古代数学家在多项式运算方面的贡献（如《九章算术》中的相关记载）。

  作业设计体现分层与开放性，既巩固基础，又满足不同层次学生的发展需求，并拓展数学视野。

六、板书设计

  （左侧主板书区域）

  课题：多项式与多项式相乘

  一、法则探究

  1.代数推导：

   （a+b）（m+n）=（a+b）m+（a+b）n

         =am+bm+an+bn

  2.几何验证：（图示：大矩形分割为四个小矩形，标注面积am,an,bm,bn）

  3.抽象概括：

   法则：多项式×多项式→用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项→把所得的积相加。

   本质：乘法分配律的连续应用。

  二、运算步骤

  1.按序排列（便于合并）

  2.逐项相乘（不重不漏，辅助连线）

  3.确定符号（