2026年陕西省榆林市高考数学模拟试卷（5月份）带答案解析

2026年陕西省榆林市高考数学检测训练试卷（5月份）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.（5分）已知复数z满足z（1-/）=-2+i（i是虚数单位），则复数z为（）

31311313

A.-i-iiB.---iC.-i-iiD.~--i

22222222

2.（5分）已知集合4={1,2,3,4,5},B={R0Vlog2x<2},则4nB=（）

A.{2,3}B.{2,3,4）C,{1,2,3}D.{1,2,3,4}

3.（5分）甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站在最左端，则不同的站

法共有（）

A.12种B.36种C.72种D.96种

4.（5分）已知函数/（X）=Si7l（3X+刍（3>0）的图象关于点（泉0）中心对称，则3的最小值为（）

*JO

A.1B.2C.3D.4

5.（5分）己知双曲线C：/一苓=1伯>°）的左、右焦点分别为为（・•0），F2（c,0）,。的一条渐

近线与直线/：无=：交于点若尸2的面积为企，则C的离心率为（）

A.2V3B.V3C.4D.2

6.15分）在平行四边形4BCO中,E是边上的点，启=4记,F是线段OE的中点，若於=入京+

则入+四的值为（）

791113

A.-B.-C.-D.一

8888

7.（5分）已知函数/。）=（"°氏刈'℃43,若函数gG）=/a）-〃?有三个不同的零点，则〃？的

2-log2x,x>3,

取值范围为（）

A.（0,1）B.[0,1）C.（0,1]D.[0,1]

8.（5分）球面上有A,B,C三点,NA6C=60°,A8=6C=6,球心O到平面A4C的距离是2,则球O

的体积是（）

327r2567r

A.---B.64nC.----D.256n

33

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项得2分，有两个正确选项的，每个选项

得3分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）设抛物线氏d=4y的焦点为R过点。（0,3）的直线与E相交于A,B两点，且|AF1

=2,|8F|=10,则（）

A.E的焦点坐标为（0,1）B.E的准线方程为），=-1

C.\AB\=4x/2D.△AO尸的面积为1

（多选）10.16分）已知函数/■（%）=，nx+芒及，则（）

A.函数的定义域为（0,+8）

B./（i）+/（%）=0

C.函数/（x）在区间（1,+8）上单调递减

D.函数/（X）有两个不同的零点XI,X2,且X1X2=1

（多选）11.（6分）已知数列｛由｝满足山=1,an+1=4an+3%设他〃｝的前〃项和为S〃，则下列结论中

正确的是（）

A.42=7

B.数列｛册+3"｝是等比数列

C.数列｛板｝中存在最大项

D.数列｛8｝中存在最小项

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）tan230+tan220+tan23°tan220=.

13.（5分）已知变量小），满足线性相关关系，经验回归方程为y=0.4X+Q旦^=20,y=7.现有一对

观测数据为（30,n）,若该数据的残差为06则〃=.

14.（5分）对于三次函数/«）=0?+小+5+4（4W0）,给出定义：设/（x）是函数/'（X）的导函数，

r（X）是函数，（X）的导函数，若方程/（X）=0有实数解加，则称点（冲，/（A0））为函数/（X）

的拐点.研究发现，任何二次函数/（X）都有拐点，又:有对称中心，且拐点就是对称中心.设g（X）

1=1

=j?-6X2+17,数列｛“〃｝的通项公式为・2〃+11,则9（%）=.

8

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足〃=2,bc=2.

（I）若s出力=,，求sinB*sinC的值；

（2）求角A的最大值，并判断此时△人BC的形状.

16.（15分）如图，在四棱锥尸-ABC。中，侧面布。_L底面A8CQ,底面A8CQ为梯形，AB//CD,AB

A.BC,AB=2BC=2CD=2a

（1）证明：4。_1_平面以。：

（2）若△以。为等腰直角三角形，PA=PD,求二面角B-P。-C的余弦值.

17.（15分）已知函数/（X）-x.

（1）当Q=［时，求函数/G）的最小值；

（2）若函数/（%）有极小值，记/（X）的极小值为g（«）,证明：g（a）<〃-1.

18.（17分）已知椭圆C：l（a>匕>0）的离心率为当右顶点为NG,0）.

（1）求椭圆。的方程；

（2）过点M（l,1）的直线/与C交于A,3两点，在线段AB上取异于A,B的点P,且满足粤=震.

\MB\\BP\

（/）求证：点P在定直线上；

（"）设直线NA,NP,N8的斜率分别为内，k2,依，求证：ki,h,以成等差数列.

19.（17分）某校园社团为分析一款文创产品在学生群体中的受欢迎程度与传播规律，构建加下概率模型：

研究团队选定〃名学生进行研究，假设每名学生对该产品的“基础心动度”参数均相同，记为〃（OVa

<1）.规则如下:第一天，研究团队从〃名学生中随机招募"？（1W〃?V〃，且〃氏N*）名进行初始体验,

每名学生体验后购买的概率为P，且彼此相互独立.从第二天起，每一天每名购买者会推荐未购买者参

与体验，•旦成为购买者，将参与后续的推荐传播，以此类推.

（1）当加=5,p=）l寸，求第一天结束，初始体验的学生中恰有3名成为购买者的概率；

（2）求第一天结束，机名初始体验的学生中，成为购买者的人数为奇数的概率：

（3）对于任意一位未购买者，若某天有kaeN”）名购买者尝试向他推荐，则他当天成为购买者的概

率为1（1-d）k.当〃=6,6=2,p=2时，求在前两天，学生甲成为购买者的概率（用含”的式子

表示）；基于此模型，简要说明为什么在实际校园场景中，一款产品有时会突然“爆发式”走红.

2026年陕西省榆林市高考数学检测训练试卷（5月份）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.（5分）已知复数z满足z（17）=-2+i（，是虚数单位），则兔数z为（）

113

A.-B.-iC.D.-i

222

【解答】解：复数z满足z（1-/）=-2+i（i是虚数单位）,

,,,,1-2+i(-2+i)(l+i)-2-2i+i-l3

则2=『=%_m+/=-2—=2

故选：A.

2.(5分)已知集合人={1,2,3,4,5},B={x|0<log2x<2},则AP8=()

A.{2,3}B.{2,3,4}C.{b2,3}D.{1,2,3,4)

【解答］解:B={x|0<log2r<2）={x\1<x<4},

又4={1,2,3,4,5},故4nB={2,3}.

故选：A.

3.（5分）甲、乙、丙、丁.、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站在最左端，则不同的站

法共有（）

A.12和1B.36种C.72种D.96种

【解答】解：甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站在最左端,

则最左端有3种排法，

剩下的位置共4个元素，全排列为属种，

所以共有34；=3x4x3x2xl=72种不同的站法.

故选：C.

4.（5分）已知函数/G）=sE（3x+?）⑷>0）的图象关于点段,0）中心对称，则3的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：因为/（X）的图象关于点弓，0）中心对称,

所以-3+—=kn（keZ）,即3=62-2（AeZ）,

63

所以3（3>0）的最小值为4.

故选：D.

2

5.（5分）已知双曲线C/-$v=1（5>0）的左、右焦点分别为g（-c,0）,Fi（c,0）,。的一条渐

近线与直线/：%=：交于点"，若AMF尸2的面积为注,则C的离心率为（）

A.25/3B.V3C.4D.2

【解答】解：双曲线Cx2=l（b>0）的左、右焦点分别为Fl（-c,0）,Fl（c,0）,C的一条渐

设双曲线的实轴长为24,则4=1.

根据双曲线的对称性，不妨取C的渐近线>=云,

与联立，得点M的坐标为

所以SAA4F/2=4x2cx[=V2,解得b=V2,

从而c=+2=W,故离心率为*=

a

故选：R.

6.15分）在平行四边形ABC。中,E是BC边上的点,BZ=4日:,尸是线段DE的中点，若於=2.4%+〃6,

则入+四的值为（）

791113

A.一B.-C.—D.—

8888

【解答】解：因为平行四边形A8CQ中，£是8C边上的点，BC=4EC,〃是线段QE的中点,

所以还=2（疝）+启），

TTTT.TT.T

又力f=AB+BE=AB+^BC=AB+^AD,

T1TTI-7T

所以AF=4（i4D+AE）=+^AD,

g、ii1_7-_1,7_11

所以4=2，〃=g,a+〃=&+g=石・

故选：c.

7.(5分)已知函数/(%)=1°V》一3’若函数g(%)=/(x)-m有三个不同的零点，则机的

.2-log3Xfx>3,

取值范围为()

A.(0,I)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1J

【解答】解：如图,

令g(x)=0得/(x)=m.由题意可知函数/(x)的图象与直线)，=〃?有三个交点，由图可知"汇(0,

1).

故选：A.

8.(5分)球面上有A,&C三点，NA4C=60“，A4=4C=6,球心O到平面A4c的距离是2,则球O

的体积是()

327r2567r

A.---B.64nC.----D.256n

33

【解答】解：根据题意可得三角形人8c为边长为6的正三角形，

所以三角形ABC的外接圆的半径r=n袅市=2遮，

zstnou

又A,R.。三点在球O的球面上，且球心O到平面A4C的距离是2,

所以球的半径R=^22+(2V3)2=4,

所以球。的体积为V=基R3=半.

JO

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项得2分，有两个正确选项的，每个选项

得3分，有选错的得0分。

(多选)9.(6分)设抛物线E：/=4y的焦点为F,过点P(0.3)的直线与E相交于A,B两点，且

=2,\BF]=\0,则()

A.£的焦点坐标为(0,1)B.E的准线方程为)，=-1

C.\AB\=4V2D.ZVIO产的面积为1

【解答】解：由题可得：〃=2,

则E的焦点坐标为(0,1),准线方程为选项A,3均正确;

pE

设A\8z)2O

X1J\f,--2

yl2y2

可得*=4yl=4,xf=4y2=36,

设A(-2,1),8(6,9),则|4B|=8&,选项C错误;

因为A(-2,1),则^A。尸的面积SAA0F=5|OHd=5xlx2=L选项。正确.

故选：ABD.

图，则(

(多选)10.(6分)已知函数f(x)=济不+)

A.函数/(x)的定义域为(0,+8)

B./1》+f(x)=0

C.函数/(x)在区间(1,+8)上单调递减

D.函数/(X)有两个不同的零点XI，X2，且X1X2=1

【解答】解：对于4选项，根据题意可知Q0且1・1工0,解得x>0且XW1,

函数f(x)的定义域为(0,1)U(1,+8),因此选项A错误；

对于B选项，f©)+fQ)=上1------+m工+产；2=/1++；+：2=0，因此选项B正确;

对于C选项，/'(%)=,+仅〉o,函数/G)在(1,+8)和(o,1)上单调递增，因此选项C

”(1-x2)

错误；

对于。选项，因为f(e)=占(0,/(M)=2+匿=^^°，

因此存在唯一的&e(e,e2),使得/(xo)=0.

根据选项B可知f(；)=一/(劭)=0，e(3'

x0xoee

因此函数/(x)有两个不同的零点XI,.V2.

不妨设与=3，x2=x0,那么X\X2=1,因此选项D正确.

xo

故选：BD.

（多选）11.（6分）已知数列｛小｝满足m=l,an+i=4an+3\设｛的｝的前〃项和为S〃，则下列结论中

正确的是（）

A.42=7

B.数列｛册+3口是等比数列

C.数列｛“〃｝中存在最大项

D.数列｛&｝中存在最小项

【解答】解：当〃=1时，可得42=4.1+3,乂41=1,所以〃2=7,A正确；

n

闺/A晌、产"1+3计14即+3叮3吁14an+4-3

因为册+1=4即+3'所以即+3'=a*'=不5r=4,

乂山+3=4#0,所以数列｛册+3〃｝是以4为首项，4为公比的等比数列，B正确；

由8选项分析可得知+3n=4-"T=4髓，所以=4n-3n,

所以即+i-Qn=4〃+i-3"+i-（4"-3"）=3•4"-2•3">2•4”-2•3”>0怛成立,

所以“〃+]>〃〃，所以数列｛〃”｝为单调递增数列，所以他“｝中不存在最大项，C错误；

因为数列｛〃〃｝为单调递增数列，所以=

所以对任意S“2s。正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）tan230+tan220+tan23°tan220=1.

【解答】解：・・・23°+22°=45°,tan45°=1,

tQ7i23°+tan22°

，

tan(230+23°l-tan23°tan22°

去分母整理，得tan230+tan23°=1-tan230tan220,

，原式=1Tan23°lan220+tan23°tan22°=1.

故答案为：1.

13.（5分）已知变量工、），满足线性相关关系，经验回归方程为y=0.4%+Q且元=20,y=7.现有一对

观测数据为（30,〃），若该数据的残差为06则〃=11.6.

【解答】解:由题意，经验回归方程y=0.4x+。经过样本中心点（元，y）,即点（20,7）.

所以7=0.4x20+a,

解得a=-l,

所以y=0.4x-1.

当x=30时，y=30x0.4-1=11,

则n=ll+0.6=11.6.

故答案为：11.6.

14.(5分)对于三次函数/(x)=办3+/炉+5+4(〃K0),给出定义：设，(x)是函数/(公的导函数,

(X)是函数/'(X)的导函数，若方程/(X)=0有实数解加，则称点(加/Go))为函数/(x)

的拐点.研究发现，任何三次函数/(x)都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设g(x)

i=i

=？-6X2+17,数列｛“〃｝的通项公式为・2〃+11,则2T。(出)=8.

8

【解答】解：对三次函数g(幻=/-6』+17求导，得g'(幻=37-⑵，再求导得g”(x)=6,v-12.

令g"(x)=0,解得x=2,代入得g(2)=23-6X22+17=l,

故g(x)的对称中心为(2,1),满足g(A-)+g(4-x)=2.

数歹！的通项为・2〃+H,4|+。8=9+(-5)=4,42+07=7+(-3)=4,

43+46=5+(-1)=4,44+45=3+1=4,

即对i=l,2,3,4,均有5+49-7=4,故月(«,)+g(679-1)=2.

因此,%9@)=■(%)+g98)]+[g(g)+9(%)]+-&)+g(%)]+[gM+9(劭)]=4x2=

8.

故答案为：8.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知△ABC中，内角4,B,。的对边分别为。，b,c,且满足a=2,bc=2.

2

(1)若sim4=至，求sinB・sinC的值;

(2)求角A的最大值，并判断此时△ABC的形状.

【解答】解：(1)——=-y—=——=—=3,

sinAsinBsinC-

3

hchr2

所以=区，sinC=?所以出sinC；

。《DsJ8-J=-5-=5

2hc-a2_2x2-22

(2)cosA=

2bc_2bc=2x2

当且仅当b=c=/时，等号成立,

AG(0,n),则A的最大值为]此时上式等号成立,

即。=2,b=c=a，所以△ABC为等腰直角三角形.

16.(15分)如图，在四棱锥尸-ABC。中，侧面布。_L底面A8CQ,底面A8CQ为梯形，AB//CD,AB

A.BC,AB=2BC=2CD=2a

(1)证明：4。_1_平面以。：

(2)若△以。为等腰直角三角形，PA=PD,求二面角B-P。-C的余弦值.

【解答】解：(1)因为AB〃CO,AB1BC,AB=2BC=2CD=2企，

所以N8CO=90°,80=2,/A8O=45°,

在梯形48co中，AD=J(直尸+(2&一遮产=2,

由4^+以^^人状，可得AO_L8。，

又因为侧面粗加，底面ABCD,侧面小0G底面ABCD=AD,BDu底面ABCD,

所以8O_L平面抄1。，得证；

(2)以£＞为坐标原点，DA,OB所在直线分别为x轴，)，轴，过点。且垂直于底面A8CD的直线为z

轴，

建立如图空间直角坐标系D-移z,

xy

因为侧面以£>_!_底面ABCD,

所以P6平面xDz,

又△出。为等腰直角三角形，PA=PD,

则D(0,0,0),B(0,2,0),C(-1,\,0),P(1,0,1),

所以法=(0,2,0),DP=[1,0,1),DC=(-1,L0),

设平面PBD的法向量为％=Q,y,z),平面PCD的法向量为蔡=(Q,b,c)

则九."=2y=°,故可取]=(Lo,一i)；

(n-DP=x+z=0

\m-DP=a+c=O,故可取蔡=(1,1,-1),

-DC=—a+b=0

则|cos<^,.〉|=呼叫=

|m||n|、'3XJ23

V6

又二面角B-PD-C为锐角，故其余弦值为?.

17.(15分)已知函数/(x)=ak-x.

(1)当a=；时，求函数/(X)的最小值；

(2)若函数f有极小值，记/(x)的极小值为g(〃)，证明：g(a)<ea-1.

【解答】解：(1)当。=:时，/(x)=^ex-x,函数/(x)的定义域为R,f'(x)=冬萨，

当xVl时，/(4)VO,/(x)单调递减；当4>1时，，(x)>0,/(x)单调递增，

因此f(X)min=f(1)=0.

(2)证明：函数/(公的定义域为R，/(x)=aex-1.

当时，/(x)<0,/(x)在R上单调递减，/(x)无极小值，不符合题意；

当〃>0时，令，(x)=0»解得％=

当％<7n：时，f(x)<0,f(x)单调递减；当x>仇:时，f(x)>0,f(x)单调递增.

因此函数/(x)有极小值，极小值为/■(/*)=1+仇a，故g(a)=\+lna.

令h(a)=^-\-(1+加a)=d・Ina-2,则"(a)在(0,+8)上单调递增.

因为打心)=Ve-2〈0,"⑴=e-1)0,

1

所以存在唯一的Qo6(*,1),使得九'(劭)=0,即ao=-Inao.

当托(0,ao)时，h'(a)<0,h(a)单调递减；当赤(的，+«>)时，(〃)>0,h(a)单调

递增，

a<e(t1

因此h(a)>/i(a0)=e°-lnaQ-2=^-+aQ-2=("。"故g(〃)~•

a。aQ

18.(17分)已知椭圆C：，+今=l(a>b>0)的离心率为当右顶点为N(l,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(l,1)的直线/与C交于43两点，在线段4B上取异于A,B的点P,且满足粤=二

\MB\\BP\

(/)求证：点P在定直线上;

(/7)设直线NA,NP,NB的斜率分别为内，内，依，求证：内，幻，七成等差数列.

【解答】解：⑴由题意可知，b=l,好学

又/-。2=庐，所以。2一,。2=1,解得。=2(4=-2舍去)，

所以椭圆C的方程为：［+#=1.

4

(2)证明：(储由题意直线/的斜率存在，设直线/的方程为y-1=Z(x-1),

不妨设人(xi,y\),B(X2>*),P(x,y),且-1WxiVx〈x2<1,

(y-1=k(x-1),

由〈v2可得(4+9)/・(2必・22)x+必・2k-3=O,

信+-=1，

依题意△=(29-2%)2-4(4+后)(必・2k-3)=32&+48>0,

2/一2kk2-2k-3

所以%1+必=

4+必%1%2=4+k27

2

又|M川=V/c+l|%i-1|=7k2+1(1-X1),

222

同理|M8|=\!k+1(1—汇2)，18Pl=y/k+l(x2—x),\AP\=V/c+l(x—/),

,\MA\1/lPL^l-Xix-Xy/t-—

由;----=----；得----=----,化简得2X1X2-(X1+X2)=(X1+X2-2)X,

\MB\\BP\l-x2x2-x

所以2xd_空二至二组二生_整理得攵=谭3,

4+必4+k24+必x-1

代入y-\=k(x-1),并化简得4x+y-4=0,

所以点夕在直线4.v+j'-4=0二.

(ii)依题意向=言『攵2二壮『&二津T

由(i)易知心=噩=-4(点N,P都在直线4x+y-4=0上)，

_y1，力—巧(%2-1)+丫2(4一1)—(无2-1)(依1+1-幻+(4—1)(入2+1-〃)

1

3-叼_1+犯-1一(X1-1)(X2-1)一(%1-1)(%2-1)

_2kx1%2+(1-2k)(％1+%2)-2(1-1)

-XiX2-(x1+x2)+l'

又%1+%2=2k一.，XIx2=k_2km3,代入并整理得k\+ki=-8,

4+必4+kz

所以2&2=内+&3,即依，心,43成等差数列.

19.（17分）某校园社团为分析一款文创产品在学生群体中的受欢迎程度与传播规律，构建如下概率模型：

研究团队选定〃名学生进行研究，假设每名学生对该产品的“基础心动度”参数均相同，记为。（0V。

<1）.规则如下：第一天，研究团队从〃名学生中随机招募〃？（1W〃?V〃，且〃?WN"）名进行初始体验，

每名学生体验后购买的概率为P，且彼此相互独立.从第二天起，每一天每名购买者会推荐未购买者参

与体验，一旦成为购买者，将参与后续的推荐传播，以此类推.

（1）当m=5,时，求第一天结束，初始体验的学生中恰有3