相似三角形判定专项练习30题

相似三角形判定专项练习30题相似三角形的判定是平面几何中的核心内容之一，其应用贯穿于各类几何问题的求解过程。熟练掌握相似三角形的判定方法，不仅能够深化对图形性质的理解，更能提升逻辑推理与空间想象能力。以下为精心设计的30道专项练习题，旨在帮助读者系统巩固相关知识，灵活运用判定定理。一、核心判定定理梳理在开始练习之前，我们简要回顾相似三角形的主要判定定理，这是解决所有问题的基础：1.两角分别对应相等的两个三角形相似（AA或AAA）：若一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似。此定理应用最为广泛，需重点掌握。2.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）：若一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且它们的夹角相等，则这两个三角形相似。注意“夹角”的关键性，不可与“对角”混淆。3.三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）：若一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，则这两个三角形相似。4.斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似（HL）：此为直角三角形特有的相似判定方法，可视为SSS或SAS的特殊情形。在运用这些定理时，务必注意“对应”二字，找准对应角与对应边是避免出错的关键。二、专项练习题（一）基于“两角对应相等”（AA）的判定1.在△ABC与△DEF中，已知∠A=∠D=70°，∠B=∠E=50°，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由。2.如图，直线a∥b，直线c分别与a、b相交于点A、B，另一条直线d分别与a、b相交于点C、D。求证：△ACD与△BCD（此处原题意应为△ACB与△ADB或其他，根据平行线性质构造的相似三角形，假设为△AOC与△BOD，O为c与d交点）相似。（注：实际出题时需明确图形顶点，但此处用文字描述常见模型）3.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高。求证：△ACD∽△ABC∽△CBD。4.已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC。判断△ADE与△ABC是否相似，并说明理由。5.在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E。求证：△EDC∽△ABC。6.已知：∠1=∠2，∠3=∠4。求证：△ABC∽△ADE。（假设图形中A为公共顶点，∠1、∠2分别为∠BAE和∠CAD等，需构造角相等关系）7.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，连接CE交AD于点F。求证：△AFE∽△DFC。8.在△ABC中，∠B=60°，∠C=70°，△DEF中，∠D=50°，∠E=60°。判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。（二）基于“两边对应成比例且夹角相等”（SAS）的判定9.已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，AB/A'B'=AC/A'C'=2/3。求证：△ABC∽△A'B'C'。10.在△ABC中，AB=4，AC=6，AD=2，AE=3，且∠BAD=∠CAE。求证：△ABD∽△ACE。11.已知：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AD/AB=AE/AC，∠A是公共角。求证：△ADE∽△ABC。12.在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7。在△DEF中，DE=10，EF=12，DF=14。判断这两个三角形是否相似，若相似，指出对应关系；若不相似，说明理由。（此题也可用于SSS判定练习）13.已知：如图，∠ACB=∠DCE，AC=3，BC=4，DC=6，EC=8。求证：△ACB∽△DCE。14.在△ABC中，点D在AC上，且AD/DC=2/3，AB=10，AC=15，BD=6。试在AB上找一点E，使以A、E、D为顶点的三角形与△ABC相似，并求出AE的长。（可能存在多解）15.已知：如图，AB/AD=AC/AE，且∠BAC=∠DAE。求证：△ABC∽△ADE。16.已知△ABC中，AB=6，AC=8，∠A=30°；△DEF中，DE=3，DF=4，∠D=30°。判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。（三）基于“三边对应成比例”（SSS）的判定17.已知△ABC的三边长分别为3、4、5；△DEF的三边长分别为6、8、10。判断这两个三角形是否相似，并说明理由。18.若△ABC的三边长分别为a、b、c，△A'B'C'的三边长分别为√a、√b、√c，且a/b=b/c=k（k>0）。求证：△ABC∽△A'B'C'。（注：此处需保证a/b=b/c=√a/√b=√b/√c，即k为正数且开方后比例不变）19.已知△ABC与△A'B'C'中，AB=2，BC=3，AC=4；A'B'=1，B'C'=1.5，A'C'=2。判断它们是否相似，并说明理由。20.一个三角形的三边之比为2:3:4，另一个三角形的最大边为10，其余两边长之和为11，且这两个三角形相似。求另一个三角形的另两边长。21.已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP=3PC，Q是CD的中点。求证：△ADQ∽△QCP。（四）基于“斜边和一条直角边对应成比例”的直角三角形判定22.已知两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应成比例，求证这两个直角三角形相似。23.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=5，AC=3，DE=10，DF=6。判断这两个直角三角形是否相似，并说明理由。24.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，且AC²=BC·DC。求证：△ABC∽△DAC。（五）综合判定与开放探究25.已知△ABC和△A'B'C'，给出下列条件：①∠A=∠A'；②∠B=∠B'；③AB/A'B'=AC/A'C'；④AB/A'B'=BC/B'C'。从中任取两个条件，能判定△ABC∽△A'B'C'的概率是多少？（请列出所有可能组合并判断）（注：此题为概率与几何结合，重点在相似判定）26.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点。△ACB和△DCE的顶点都在格点上。求证：△ACB∽△DCE。（需假设图形，如ACB为直角边3、4，DCE为直角边6、8等）27.已知：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件，使△ADE∽△ACB，并说明添加的条件是如何满足判定定理的。（至少给出两种不同类型的条件）28.如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别在BC和AC上，且∠APD=∠B。求证：AC·CD=CP·BP。（需先证△ABP∽△PCD）29.已知：如图，△ABC内接于⊙O，弦CD平分∠ACB，弦DE∥BC交AC的延长线于点E。判断△ADE与△DBC是否相似，并证明你的结论。30.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,3)，B(4,0)，C(1,4)，D(5,1)。试判断△AOB与△COD是否相似，并说明理由。三、答案与提示（一）基于“两角对应相等”（AA）的判定1.相似。理由：∠A=∠D，∠B=∠E，根据AA判定定理。2.相似。提示：利用平行线的性质（同位角或内错角相等）得到两组对应角相等。3.相似。提示：均为直角三角形，且有一个公共锐角，根据AA判定。4.相似。理由：DE∥BC，可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C（或∠A公共），根据AA。5.相似。提示：先证∠EDC=∠B（平行线性质），∠C公共，根据AA。6.相似。提示：由∠1=∠2可得∠BAC=∠DAE，结合∠3=∠4（或通过角的和差转化），根据AA。7.相似。提示：平行四边形性质得AB∥CD，AD∥BC，从而得到∠E=∠DCF，∠EFA=∠CFD（对顶角），根据AA。8.相似。理由：△ABC中∠A=50°，∠B=60°；△DEF中∠D=50°，∠E=60°，故∠A=∠D，∠B=∠E，AA判定。（二）基于“两边对应成比例且夹角相等”（SAS）的判定9.相似。理由：∠A=∠A'（夹角相等），AB/A'B'=AC/A'C'（夹边成比例），根据SAS。10.相似。提示：AD/AC=2/6=1/3，AE/AB=3/4？题目应为AD/AB=2/4=1/2，AE/AC=3/6=1/2，则AD/AB=AE/AC，且∠BAD=∠CAE（或∠DAE为公共角等，需原题图形支持，此处按比例关系修正后可证SAS）。11.相似。理由：AD/AB=AE/AC，∠A公共（夹角），根据SAS。12.相似。提示：AB/DE=5/10=1/2，BC/EF=6/12=1/2，AC/DF=7/14=1/2，三边对应成比例（SSS），故相似。△ABC∽△DEF。13.相似。提示：AC/DC=3/6=1/2，BC/EC=4/8=1/2，故AC/DC=BC/EC，且∠ACB=∠DCE（夹角相等），根据SAS。14.AE=4或AE=1.6。提示：分两种情况，①△ADE∽△ABC（AE与AC对应），则AD/AB=AE/AC；②△ADE∽△ACB（AE与AB对应），则AD/AC=AE/AB。15.相似。理由：AB/AD=AC/AE（已知比例），∠BAC=∠DAE（已知夹角相等），根据SAS。16.相似。理由：AB/DE=6/3=2，AC/DF=8/4=2，故AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D=30°（夹角相等），根据SAS。（三）基于“三边对应成比例”（SSS）的判定17.相似。理由：3/6=4/8=5/10=1/2，三边对应成比例。18.相似。提示：由a/b=b/c=k，可得a=bk，b=ck，故a=ck²。则△ABC三边为ck²、ck、c；△A'B'C'三边为√(ck²)=k√c、√(ck)=√(ck)、√c。其比例为k√c:√(ck):√c=k:√k:1（可约），或直接计算√a/√b=√(a/b)=√k，√b/√c=√(b/c)=√k，故√a/√b=√b/√c，三边对应成比例。19.相似。理由：AB/A'B'=2/1=2，BC/B'C'=3/1.5=2，AC/A'C'=4/2=2，三边对应成比例。20.另两边长为4和7。提示：设另两边为x、y（x<y<10），则x+y=11，且x/2=y/3=10/4（或其他比例组合，根据最大边对应），解得x=4，y=7。21.相似。提示：设正方形边长为4a，则BP=3a，PC=a，CQ=DQ=2a。AD=4a，DQ=2a，QC=2a，CP=a。AD/QC=4a/2a=2，DQ/CP=2a/a=2，AQ=√(AD²+DQ²)=√(20a²)=2√5a，QP=√(QC²+CP²)=√(5a²)=√5a，CQ=2a。AD/QC=DQ/CP=AQ/QP=2，故SSS或SAS（夹角为直角）。（四）基于“斜边和一条直角边对应成比例”的直角三角形判定22.相似。提示：设Rt△ABC和Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，AB/A'B'=AC/A'C'=k。由勾股定理可证BC/B'C'=k，从而三边对应成比例或SAS。23.相似。提示：Rt△ABC中BC=4，Rt△DEF中EF=8。AB/DE=5/10=1/2，AC/DF=3/6=1/2，BC/EF=4/8=1/2。或直接用斜边AB/DE=1/2，直角边AC/DF=1/2，符合HL类似判定。24.相似。提示：AC²=BC·DC⇒AC/BC=DC/AC，且∠C公共，根据SAS（∠C为夹角）。（五）综合判定与开放探究25.概率为3/6=1/2。提示：所有组合：①②（AA，相似）；①③（SAS，相似）；①④（不一定，SSA不成立）；②③（不一定，非夹角）；②④（SAS，相似）；③④（SSS，相似）。共6种，其中①②、①③、②④、③④共4种？需仔细甄别：①④：∠A=∠A'，AB/A'B'=BC/B'C'，非夹角，不判定；②③：∠B=∠B'，AB/A'B'=AC/A'C'，非夹角，不判定。故能判定的是①②、①③、②④、③④？应为①②（AA）、①③（SAS，∠A为AB和AC夹角）、②④（SAS，∠B为AB和BC夹角）、③④（SSS，若AB/A'B'=AC/A'C'=BC/B'C'，则需三组比例，但此处只取③④两组，即AB/A'B'=AC/A'C'且AB/A'B'=