线性基础代数 1

1.1矩阵的概念与运算第1章矩阵与线性方程组√√√√√其中√表示有航班始发地ABCD目的地

ABCDBAC√√1.矩阵概念的引入引例1某航空公司在A、B、C、D四城市之间开辟了若干航线，如图所示表示了四城市间的航班图，如果从A到B有航班，则用带箭头的线连接A与B.

解：四城市间的航班图情况常用表格来表示:为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表:1.矩阵概念的引入(续)这个数表反映了四城市间交通联接情况.ABCD

ABCD√√√√√√√1.矩阵概念的引入(续)

引例2

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量．

这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：

其中bi1

表示第i种货物的单价，bi2

表示第i种货物的单件重量．

1.矩阵概念的引入(续)引例3由m个方程n个未知量x1,x2,…,xn构成的线性（即：一次）方程组可以表示为其中，第i个方程的第j个未知数的系数第i个方程的常数项.对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究！2.矩阵的定义定义1.1由

个数排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵.简称矩阵，记作.2.矩阵的定义(续)这个数称为矩阵A的元素，简称为元.以上矩阵可以记为:.元素全为实数的矩阵称为实矩阵，有元素为复数的矩阵称为复矩阵．.

(1)行矩阵：只有一行的矩阵称为行矩阵(行向量).

(2)列矩阵：只有一列的矩阵称为列矩阵(列向量)...3.几种特殊的矩阵主对角线副对角线例如：矩阵称为n阶矩阵或者n阶方阵，记作或者.

(3)方阵：行数与列数相等的矩阵称为方阵.3.几种特殊的矩阵(续)

(4)三角形矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角形矩阵.主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角形矩阵.3.几种特殊的矩阵(续)不全为0又记作

(5)对角矩阵：主对角线以外的元素全为零的方阵.3.几种特殊的矩阵(续)3.几种特殊的矩阵(续)称为n阶单位矩阵（或n阶单位阵）．全为1

(6)单位矩阵：主对角线上元素全为1、其它元素全为零的方阵.注：每一个n对应一个单位矩阵．不同阶的单位阵是不同的.

(7)零矩阵：所有元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作

或．3.几种特殊的矩阵(续)例如：4.同型矩阵与矩阵相等的概念

(1)两个矩阵的行数对应相等、列数对应相等时，称它们为同型矩阵.为同型矩阵.

(2)若两个矩阵为同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即则称矩阵相等，记作注:每一个型号都有一个零矩阵．不同型号的零矩阵是不同的.4.同型矩阵与矩阵相等的概念(续)定义1.3

设有两个m×n

矩阵A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B的和记作

A＋B，规定为注：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.5.

矩阵的加法减法:负矩阵：矩阵加法的运算律:称为矩阵A的负矩阵.(1)交换律：(2)结合律：(3)(4)5.

矩阵的加法(续)

例如：5.

矩阵的加法(续)例如：

数乘矩阵定义1.4

数与矩阵的乘积记为或，规定为:6.矩阵的数乘6.

矩阵的数乘(续)数乘矩阵的运算律矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算：（设为m×n矩阵，为数）：（1）（2）（3）并把此乘积记作.

定义1.5

设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中

例如：7.矩阵与矩阵相乘7.矩阵与矩阵相乘(续)

一个1×s的行矩阵与一个s×1的列矩阵的乘积等于一个1阶方阵，即为一个数.

一个s×1的列矩阵与一个1×s的行矩阵的乘积是一个s阶方阵.7.矩阵与矩阵相乘(续)例如：不存在.存在，为2×3矩阵.注：只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数，两个矩阵才能相乘.7.矩阵与矩阵相乘(续)显然有例如:则有注：7.矩阵与矩阵相乘(续)矩阵乘法不满足交换律：并且有，但．同时说明：8.例1例1

设，求AB和BA.

AB不一定等于BA.矩阵乘法不一定满足交换律...9.

线性方程组的矩阵表示系数矩阵

未知数向量常数项向量

m个方程n个未知数的线性方程组中，有以下几个矩阵增广矩阵线性方程组可以用矩阵乘法表示为：利用矩阵乘法，有

9.线性方程组的矩阵表示(续)10.矩阵乘法的运算规律(1)

乘法结合律(3)乘法对加法的分配律

(5)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即注：矩阵乘法不一定满足交换律，但是数量阵

lE

与任何同阶方阵都是可

交换的.数量阵不同于对角阵(4)对于2个n阶方阵A与B,

若AB=BA,则称方阵A与B是可交换的.11.方阵的幂

定义1.6

若A是n阶方阵，则称为A的k

次幂，定义为由以上定义可知，当为正整数时，注：思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立12.矩阵的转置

定义1.7

把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做

的转置矩阵，记作.例如:13.

转置矩阵的运算性质矩阵转置满足的运算律：

(1)

(2)

(3)

(4)14.

例2例2

已知解法114.

例2(续)例2

已知解法215.

对称阵与反对称阵定义1.8设A为n阶方阵，如果满足，即那么A称为对称矩阵.

例如：注：对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.

如果，则称A是反对称矩阵.对称阵

反对称阵

aii=016.

对称矩阵的性质(1)若A,B都是n阶对称矩阵，则A±B

及kA也是对称矩阵(k为实数)，但

AB不一定是对称矩阵;(2)若A，B都是n阶对称矩阵，则AB仍为对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换.例如是对称矩阵，但不是对称矩阵;

证明：因为例3：设列矩阵满足，E为n阶单位阵，.

证明H是对称矩阵，且.所以，H是对称矩阵.17.

例318.本节小结

(1)矩阵的概念：m行n列的一个数表

(2)特殊矩阵方阵单位矩阵对角矩阵