线性基础代数3

3.5

线性方程组解的结构第3章向量空间与线性方程组解的结构问题：什么是线性方程组的解的结构？答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系．注：

(1)当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构;

(2)下面的讨论都是假设线性方程组有解．1.引言2.齐次线性方程组的一般表示

m个方程n个未知数的齐次线性方程组的表示形式：3.齐次线性方程组解的性质性质3.8若为的解，则也是的解.

证明：显然有

证明：显然有性质3.9若为的解，k为实数，则也是的解.4.齐次线性方程组的解空间记因此，S是一个向量空间，称为齐次线性方程组的解空间.由Ax=0的解的性质可知，S非空，并且，

(1)若，则；

(2)若，则.5.齐次线性方程组的基础解系定义3.18

如果是齐次线性方程组Ax=0的解空间S的一个基，则称是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.

若是齐次线性方程组的基础解系，则

(1)是的线性无关的解向量．

(2)的任一解可由线性表示，即

(2)当时,方程组的基础解系必含n-r个解向量,此时方程组的任一解

可表示为其中为任意实数，上式称为齐次线性方程组的通解.

(1)当时，方程组只有零解，解空间只含一个零向量，方程组没有基础解系．6.齐次线性方程组解的结论定理3.5如果n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩R(A)=r<n，那么它必有基础解系，并且基础解系所含线性无关解向量的个数等于n-r，即解空间S的维数为n-r．

(3)齐次线性方程组的解空间S的一个基就是齐次线性方程组的一个基础解系，基础解系不唯一，从而通解的表达式也不唯一．注：例1

求齐次线性方程组的基础解系．方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系．即写出同解方程组7.例1令x3=c1，x4=c2，得通解表达式因为方程组的任意一个解都可以表示为x1,x2

的线性组合．x1,x2的四个分量不成比例，所x1,x2线性无关．所以x1,x2是原方程组的基础解系．7.例1(续)方法2：先求出基础解系，再写出通解．即令合起来便得到基础解系，得还能找出其它基础解系吗？同解方程组为7.例1(续)问题：是否可以把x1

选作自由变量？答：可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并不影响方程组的求解．当两个矩阵行等价时，以这两个矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组同解．7.例1(续)令x1=c1，x2=c2，得通解表达式即从而可得另一个基础解系：h1和h2

．同解方程组为7.例1(续)8.例2

例2求齐次线性方程组的基础解系和通解.

解：将方程组的系数矩阵化出行最简型：写出同解方程组8.例2(续)令代入同解方程组，分别得到，得基础解系:由此得到通解在同解方程组中，若令代入，则将得到，于是得基础解系:和通解8.例2(续)例2的另一种解法：同前面的解法，得到增广矩阵的行最简形：写出对应的同解方程组：8.例2(续)将自由变量补全，写成如下形式：8.例2(续)这就是所求的方程组的通解．再将右边的自由变量提出并用任意常数表示，可得：8.例2(续)

例3

设，证明.9.例3

证明：将矩阵B和O按列分块可得于是有这说明，都是齐次方程组Ax=0的解.记Ax=0的解集为S，则有即10.非齐次线性方程组的一般表示

m个方程n个未知数的非齐次线性方程组可以表示为或者向量形式：其中，至少有一个不为零.以上方程组也可以写成矩阵形式11.非齐次线性方程组有解的条件非齐次线性方程组有解向量b能由A的列向量组线性表示向量组与向量组等价12.非齐次线性方程组解的性质性质3.10若是非齐次线性方程组的解，则是其对应的齐次线性方程组的解.

证明：显然有这说明，是其对应的齐次线性方程组的解.证明：显然有性质3.11若是非齐次线性方程组的解，是其对应的齐次线性方程组的解，则仍是的解.这说明，是的解.

定理5.4设Ax=b是n元非齐次线性方程组，且R(A)=R(A,b)=r<n，则该方程组的任意一个解x可以表示为其中，是对应的齐次线性方程组Ax=0(一般称之为其导出组)的基础解系，是任意常数，是Ax=b的某一个解．13.非齐次线性方程组的通解

证明：令则由非齐次线性方程组解的性质可知，是Ax=b的解．13.非齐次线性方程组的通解(续)又设是Ax=b的任一解，则由非齐次线性方程组解的性质可知，是对应的齐次线性方程组Ax=0的解．即

于是，存在一组数使得

(3)非齐次线性方程组的通解形式：

对应的齐次线性方程组的通解+一个特解．(4)对于n元非齐次线性方程组Ax=b，它有唯一解的充分必要条件是：

r

=R(A)=R(A,b)=n．(5)对于n元非齐次线性方程组Ax=b，它有无穷解的充分必要条件是：

r

=R(A)=R(A,b)<n．

(2)称为Ax=b的特解．

(1)称为Ax=b的通解.注：13.非齐次线性方程组的通解(续)14.非齐次线性方程组的解法

(1)对增广矩阵B进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，判断它的解的情况．

(2)若非齐次线性方程组有解(设R(A)=R(A,b)=r)，则进一步进行初等行变换，将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵．

(3)写出Ax=b的同解方程组，并求出一个特解.

(4)求出其对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.

(5)写出非齐次线性方程组的通解：其中，是任意常数．15.例4

例4求解线性方程组

解：对增广矩阵进行初等行变换可得：可得，故方程组有解.继续进行初等行变换，将行阶梯形化为行最简形：15.例4(续)写出同解方程组：取，可得，得方程组的一个特解：于是，所求线性方程组的通解为取，对应得到，即得对应的齐次线性方程组的一个基础解系：同解方程组对应的齐次线性方程组为15.例4(续)15.例4(续)16.例4的另一种解法

例4求解线性方程组

解：对增广矩阵进行初等行变换化为行最简形可（与前一解法相同）：写出同解方程组16.例4的另一种解法(续)将上式改写为令，得到方程组的通解17.例5

例5求解线性方程组

解：对增广矩阵进行初等行变换可得：17.例5(续)可得，故方程组有解，且有于是再将右边的自由变量提出并用任意常数表示，可得：为原方程组的通解.17.例5(续)18.本节小结(2)齐次线性方程组基础解系与通解的求法.(1)齐次线性方程组解的性质.(3)非齐次线性方程组解的性质.(4)非齐次线性方程组特解与通解的求法.19.思考题1

求解线性方程组解：将方程组的系数矩阵化出行最简型：19.思考题1(续)方程组的基础解系中有3个线性无关的解向量.同解方程组为于是.将其写成如下形式：令，得到通解19.思考题1(续)此时基础解系为：19.思考题1(续)设B是一个三阶非零矩阵，它的每一列都是如下线性方程组的解，求的值和.

解：因为B非零，所以B中至少有一个非零列向量，因此齐次线性方程组有非零解，其系数矩阵的秩小于3，从而由此可得：.20.思考题2当时，，齐次线性方程组的解空间的维数为，基础解系只有一个解向量.因此，B的三个列向量线性相关，故.

20.思考题2(续)21.思考题3设A是m×3矩阵，且R(A)=1，若非齐次线性方程组的三个解向量

满足求的通解.解：由A是m×3矩阵和R(A)=1可知，Ax=0的基础解系中含有3-1=2个线性无关的解向量.

令

21.思考题3(续)则有

得到

为的解，且线性无关，所以它们可作为对应的齐次方程组的基础解系.因此，的通解为

21.思考题3(续)当为何值时，非齐次线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？在有无穷解情形求其通解.解：对增广矩阵进行初等行变换可得：22.思考题4

(1)当时，，方程组有唯一解．因此，，方程组无解.

(2)当且时，22.思考题4(续)

(3)当且时，因此，，方程组无解.

(4)当且时，此时，