线性基础代数7

2.2行列式的性质与计算第2章行列式1.转置行列式及其性质为行列式D的转置行列式.记n阶行列式则称若记,则.

性质2.1行列式与它的转置行列式相等.注：以上性质说明：行列式中行与列具有同等的地位，因此，行列式的性质凡是对行成立的，对列也同样成立！2.行列式中两行(列)互换的性质

性质2.2互换行列式的两行(列)，行列式变号.例如:第i行与第j行互换，记作.

第i列与第j列互换，记作.

注：2.行列式中两行(列)互换的性质(续)于是.

推论2.1若行列式有两行(列)元素完全相同，则此行列式为零.

证明：互换相同的两行，有3.行列式的数乘性质性质2.3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数，等于用这个数乘此行列式.即某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.

证明：3.行列式的数乘性质(续)注：第i行乘k，记作.

第i列乘k，记作.

第i行提出公因子k，记作.

第i列提出公因子k，记作.

注：

数乘矩阵与数乘行列式是有区别的：4.行列式中两行(列)元素的比例性质推论2.3行列式中若有两行(列)元素成比例，则此行列式为零.

证明：5.行列式的拆分性质性质2.4若行列式的某一行(列)元素都是两数之和，则它等于两个行列式之和.

5.行列式的拆分性质(续)证明：6.两个行列式/矩阵相加的区别知识点比较

7.行列式中行(列)相加的性质性质2.5把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．7.行列式中行(列)相加的性质(续)

证明：7.行列式中行(列)相加的性质(续)注：第i行乘k加到第j行上，记作.

第i列乘k加到第j列上，记作.

8.利用行列式性质计算行列式的的思路利用行列式的性质，特别是以下运算将行列式化为上(下)三角形行列式，从而算出行列式的值．9.例1例1

计算

解：9.例1(续)9.例1(续)9.例1(续)10.例2例2

计算n阶行列式

解：将第2、3、…、n列都加到第1列得10.例2(续)例3(练习)计算4阶行列式(1)(2)

(3)11.例312.例4例4

设，且设证明：.12.例4(续)

证明：对作运算，将其化为下三角形行列式，设为对作运算，将其化为下三角形行列式，设为12.例4(续)对的前k行作运算，再对后n列作运算，将化为下三角行列式故13.例5

例5计算行列式13.例5(续)

解：将第2n行依次与第2n-1行、第2n-2行、···、第2行作对换，可得再将第2n列依次与第2n-1列、第2n-2列、···、第2列作对换，可得13.例5(续)于是，由例4的结论有13.例5(续)以此作递推，可得14.关于行列式的运算顺序

例如：特别值得注意的是：上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法，要注意各个运算次序一般不能颠倒，因为后一次运算是作用在前一次运算的结果上.15.方阵行列式的运算性质(1)(2)(3)(4)注：虽然但16.例6例6

设A是三阶方阵，且，求和.

解：17.行列式展开的引入考虑三阶行列式：一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算！问题：一个n

阶行列式是否可以转化为若干个n-1阶行列式来计算？18.余子式与代数余子式定义2.6在一个n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作.

称为元素的代数余子式．例如：18.余子式与代数余子式(续)注：

行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式．19.引理引理一个n阶行列式D，如果其中第i行所有元素除外都为零，那末这个行列式等于与它的代数余子式的乘积，即例如：19.引理(续)

证明：当位于第一行第一列时,由上一节的例题，有又因为，从而19.引理(续)将D的第i行依此与第i-1行、第i-2行、···、第1行作对换，可得再证一般情形，此时19.引理(续)再将以上行列式第j列依次与第j-1列、第j-2列、···、第1列作对换，可得19.引理(续)19.引理(续)因此有，我们以4阶行列式为例.思考：能否以代替两次行变换？

被调换到第1行，第1列.19.引理(续)20.行列式按任一行(列)展开定理2.1行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

证明：只对行的情形证明，列的情形类似可证．20.行列式按任一行(列)展开(续)注：定理2.1称为行列式按行（列）展开定理．21.例7例7

计算行列式

解：21.例7(续)22.利用展开法则计算行列式的思路(1)利用行列式的性质，将行列式的某一行（列）尽量多地化出0；(2)利用展开法则将行列式展成低阶行列式；(3)依此下去；(4)直至展成二阶行列式或者可直接计算的行列式．23.例8例8

计算行列式

解：23.例8(续)24.例9

例9

证明：范德蒙德（Vandermonde）行列式24.例9(续)

证明：用数学归纳法证明.因为所以，当n=2时，Vandermonde行列式成立.假设Vandermonde行列式对于n-1阶成立，下面考虑n阶的情形.从第n行开始,后一行加上前一行的倍,可得24.例9(续)按第1列展开，并将每列的公因子提出，得到

n-1阶Vandermonde行列式24.例9(续)因此有24.例9(续)25.一个推论推论2.4行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即25.一个推论(续)

证明：将行列式按第j行展开，有上式中，将换成，可得25.一个推论(续)所以有相同类似可证26.代数余子式的重要性质

将定理2.1和推论2.4结合，我们将得到以下重要性质：对于n阶行列式D，它的元素的代数余子式满足：27.例10例10设，求和.

解：27.例10(续)28.本节小结

3.计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值；(3)利用行列式按行（列）展开法则，把高阶行列式的计算化为低阶行列式的计算.1.行列式的5个性质及其推论(行列式中行与列具有同等的地位,凡是对行成立的性质对列也同样成立).2.方阵行列式的运算性质.4.29.思考题1计算解：29.思考题1(续)30.思考题2解：设，计算和