线性基础代数12

4.1

特征值与特征向量第4章相似矩阵与二次型例如：则l

=1为的特征值，为对应于l=1的特征向量.1.特征值与特征向量的定义定义4.1设A是n阶实方阵，若存在数和n维非零列向量x满足，则称数为方阵A的特征值，称非零向量x为A的对应于特征值的特征向量.1.特征值与特征向量的定义(续)定义4.1设A是n阶实方阵，若存在数和n维非零列向量x满足，则称数为方阵A的特征值，称非零向量x为A的对应于特征值的特征向量.注：

(1)特征值和特征向量是对方阵而言的.

(2)特征向量一定是非零向量，特征值可以为零.(3)若x是A的特征向量，则kx(k≠0)

也是特征向量.2.特征方程与特征多项式根据定义，特征值和特征向量x必须使得下式成立或者说，有非零解.由齐次线性方程组有非零解的条件可知，以上线性方程组有非零解的充分必要条件是2.特征方程与特征多项式(续)也就是记，它是的n次多项式，称为矩阵A的特征多项式.称以为未知数的一元n次方程为矩阵A的特征方程.2.特征方程与特征多项式(续)注：

(1)矩阵A的特征值就是它的特征方程的根.

(2)n阶矩阵A的在复数范围内有n个特征值(相同的特征值按重数计算)

.

(3)设是A的一个特征值，则齐次线性方程组的非零解就是A的对应于的特征向量.

(4)若特征值是实数，则相应的特征向量为实向量.若特征值为复数，则相应的特征向量为复向量.3.例1例1

求矩阵的特征值和特征向量.

解：矩阵的特征多项式为所以，A的特征值为3.例1(续)当时，解方程组，即得基础解系所以，A的对应于特征值的全部特征向量为当时，解方程组，即3.例1(续)得基础解系所以，A的对应于特征值的全部特征向量为4.特征值与特征向量的求法求方阵A的特征值与特征向量的步骤:

(1)由求出A的全部特征值,其中的r重根对应A的r个数值相同的特征值.

(2)对每个，求的非零解，得到A的对应于的全部特征向量.5.例2

例2(练习)

求矩阵的特征值和特征向量.

解：矩阵的特征多项式为所以，A的特征值为5.例2(续)当时，解方程组，即得基础解系所以，A的对应于特征值的全部特征向量为5.例2(续)当时，解方程组，即得基础解系所以，A的对应于特征值的全部特征向量为6.例3

例3求矩阵的特征值和特征向量.

解：矩阵的特征多项式为所以，A的特征值为6.例3(续)当时，解方程组，即得基础解系所以，A的对应于特征值的全部特征向量为6.例3(续)当时，解方程组，即得基础解系所以，A的对应于特征值的全部特征向量为性质4.1设n阶方阵的特征值为，则有：(1)

(2)

7.特征值的性质注：

一个n阶矩阵的主对角线上的元素之和，称为矩阵A的迹，记为：8.方阵可逆的特征值条件

证明：推论n阶方阵A可逆的充分必要条件是：A的n个特征值非零.A可逆A的n个特征值非零.9.例4

例4若为矩阵A的特征值，x为A的对应于特征值的特征向量，则(1)对正整数m，是的特征值；(2)当A可逆时，是的特征值.

证明：由条件可得于是9.例4(续)

(2)由条件可得这说明：是A的特征值，且x是的对应于特征值的特征向量.这说明：是的特征值，且x是的对应于特征值的特征向量.10.矩阵多项式的特征值与特征向量定理4.2设n阶矩阵A的全体特征值为，是一个m次多项式，则矩阵多项式的全体特征值为.这是因为注：

若x是A的对应于特征值的特征向量，则x也是的对应于特征值的特征向量.11.例5

例5设3阶矩阵A的特征值为，求

(1)；(2)

.

解:(1)设，它是的矩阵多项式，由定理4.2可知，的特征值为于是11.例5(续)

(2)因为所以，A可逆，且于是设，它是的矩阵多项式，由定理4.2可知，有特征值11.例5(续)于是

证明：设x是A的对应于特征值的特征向量，则有12.特征向量的性质性质4.5设是方阵A的m个特征值，与之对应的特征向量分别是，若互不相等，则线性无关.性质4.2三角形矩阵、对角矩阵的特征值就是主对角线上的元素．性质4.3n阶方阵A与转置矩阵AT有相同的特征值．性质4.4一个特征向量不能对应于不同的特征值．于是，，与定义矛盾.13.例6

例6

设和是方阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别是和，证明一定不是A的特征向量．

证明：由题意可知而设是A的对应某个特征值的特征向量，则有所以13.例6(续)由性质4.5可知，与线性无关，所以即与题设矛盾.14.本节小结

(1)特征值与特征向量的概念.

(2)特征值与特征向量的求法.

(3)特征值与特征向量的性质.15.思考题1设A是n阶方阵，求的特征多项式.解：A的特征多项式为的特征多项式为这说明，A与的特征多项式相同，从而它们有相同的特征值.注：