实数及其简单运算【十大题型】（人教版）原卷版

专题8.3实数及其简单运算【十大题型】

【人教版2024]

＞题型梳理

【题型1实数的概念理解】..............................................................................1

【题型2实数的运算】..................................................................................2

【题型3估算无理数的大小】...........................................................................2

【题型4估算无理数的整数部分或小数部分】...........................................................3

【题型5实数与数轴】..................................................................................4

【题型6实数的大小比较】.............................................................................5

【题型7程序设计中的实数运算】......................................................................5

【题型8新定义中的实数运算】.........................................................................6

【题型9实数运算的实际应用】.........................................................................7

【题型10实数运算中的规律探究】......................................................................8

院举一反三1

知识点1：实数

正整数

整数0

有理数负整数有限小数或无限循环小数

实数正分数

分数

负分数

正无理数'

无理数「无限不循环小数

负无理数

无限不循环小数叫做无理数.

常见类型:①特定结构的无限不循环小数,如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）.

②含有冗的绝大部分数.如27r.

【题型1实数的概念理解】

【例1】（23-24七年级•陕西西安・期中）下列各数是无理数的是（）

A.0.101001B.-2C.-D.V9

2

【变式1-1]（23-24七年级•河南安阳・期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内:①-与②冠，③1-",

@0,⑤一而Z⑥V3近，⑦一片⑧0..（相邻的两个3之间依次多1个0）,⑨0.23,©3.14

4

⑴整数集合：（）

⑵分数集合：（）

⑶无理数集合：（）

【变式1-2】（23-24七年级.湖南衡阳•期中）一届的绝对值是,5^的相反数是.

【变式1-3]（23-24七年级•山东FI照•期中）已知。，〃都是有埋数，且（遮一1）。+28=b+3,求a+b的

值（）

A.IB.2C.3D.4

【题型2实数的运算】

【例2】（23-24七年级•四川泸州•期中）计算：-12一（_2）3乂工-遮7乂|一」+2+".

83

【变式2-1]（23-24七年级•新疆乌鲁木齐•期中）计算：

（lh/9+（-l）2-V27+V36:

（2）|1一金|一夜.

【变式2-2]（23-24七年级.云南昭通・期中）计算：—12024+近芯一4x+|1-V3|-（V2）2.

【变式2-3]（23-24七年级.甘肃平凉.期中）计算：

（DV64-V36+7（-2）2:

（2）6一（_1）2°23_后+弼.

知识点2：估算法

(1)若°«4<〃<%,则>/^i-<&<

则轲〈弘〈江:

(2)若％<〃<外,

根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算,"和标的大

小.例如：9<a<16,贝i]3<&v4；8<a<27,贝ij2<V^v3

常见实数的估算值：&=1414,6*1.732,后和2.236.

【题型3估算无理数的大小】

【例3】（23-24七年级♦北京•期中）如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的

边长最接近的整数是（）

【变式3-1]（23-24七年级.四川成都.期中）估算M+4T的运算结果应在哪两个整数之间（）

A.3和4B.4和5C.5和6D.6和7

【变式3-2]（23-24七年级.四川成都.期末）在学习《估算》一课时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏,

数值大的为赢家.小丽抽到的卡.上写的是遍-1,小颖抽到的卡上写的是2,那么赢家是.

【变式3-3]（23-24七年级•江苏盐城•期中）下面是小明探索近的近似值的过程：

我们知道面积是2的正方形的边长是加,易知企＞1.因此可设企=l+x,画出如下示意图.

由图中面积计算，5正方形=%2+2X1・3+1

另一方面由题意知S正方形=2

所以/+2X1-x+1=2

略去/,得方程2x+1=2.

解得％=0.5.即后«1.5.

（1）仿照上述方法，探究近的近似道.（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）

（2）结合上述具体实例，已知非负整数a、〃、〃?，若aV标Va+1,且m=。2+6,请估算

后4.（用〃、〃的代数式表示）

【题型4估算无理数的整数部分或小数部分】

【例4】（23-24七年级•陕西西安•阶段练习）若。是闻的整数部分，〃是V5的小数部分.则a+b-遮+1的

平方根是.

【变式4-1]（23-24七年级•河南新乡•期中）已知〃?是遍的整数部分，〃是在的小数部分，则加一九的值为

（）

A.-V6B.4-V6C.4+V6D.4

【变式4-2]（23-24七年级•江苏•期中）若口】表示实数x的整数部分，Vx>表示实数x的小数部分，如

【4]=1,[V2]=1,<尤则<3-百>+[77]的值是（）

A.4-V3B.1C.6-V3D.V13-1

【变式4-3]（23-24七年级•河南新乡•期中）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记.

无理数的估算

大家知道百是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此V5的小数部分我们不可能全部写出来，「•是我用

遮-1来表示V5的小数部分，你同意我的表示方法吗？

事实上，我的表示方法是有道理的，因为旧的整数部分是1,配以将这个数减去其整数部分，差就是小数

部分.

例如：

vV4<V7<V9,即2〈bV3,

•••近的整数部分为2,小数部分为g-2.

根据以上笔记内容，请完成如下任务.

（1）任务一：g的小数部分为.

（2）任务二：4为百的小数部分，〃为6的整数部分，请计算a-b-通的值.

（3）任务三：x+y=10+V3,其中x是整数，且0<y<l,求拉一y的相反数.

【题型5实数与数轴】

【例5】（23-24七年级•山东临沂・期中）如图，面积为7的正方形力BCO的顶点4在数轴上，且点4表示的数

为I,若点£在数轴上，（点E在点力的右侧）且力8=4E,则点E所表示的数为（）

A.V7B.1+V7C.2+V7D.3+V7

【变式5-11（23-24七年级・北京•期中）实数〃、人在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足a+b<0,ab<0,

则原点所在的位置有可能是（）

AHD

ab

A.点AB.点BC.点CD.点。

【变式5-2]（23-24七年级•辽宁大连•期中）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为一1和火，AB=AC,

则点C所表示的数为（）

CAOB

III1A

A.-2—V3B.—1—v3C.—24-V3D.14-V3

【变式5-3]（23-24七年级.湖北恩施.期中）已知实数小〃在数轴上的位置如图所示：

------------1----------------1----------1------►

a0h

（1）化简：a+b—VF24-2Va^；

（2）若1+2|a|的平方根是士近，2a+b-4的立方根是一2,求a+2b的算术平方根.

【题型6实数的大小比较】

【例6】（23-24七年级•河南郑州•阶段练习）实数一%一百和一:的大小关系是（）

A.--<-V3<--B.--<--<―/3

3223

C.-V3D.--<--<-V3

2332

【变式6-1]（23-24七年级•安徽・专题练习）1,-2,0,遍这四个数中，绝对值最大的数是（）

A.1B.-2C.0D.V5

【变式6-2]（23-24七年级•河南平顶山•期中）通过估算3,g,V26,的大小为：—（用“〈”连接）.

【变式6-3]（23-24七年级•贵州黔南•期中）数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无

法解决，你能帮老师解决这个问题宇与:的大小.

44

小明的方法：因为同>4,所以内一3_3,所以空二_：（填“〉”或“V”）

44

小英的方法：宇一]=平，因为21<62=36,所以同一6_0,所以空2二J（填“>”或y，）

444—4—4

（1）将上述材料补充完成；

⑵请从小明和小英的方法中选择一种比较闿二与T的大小.

【题型7程序设计中的实数运算】

【例7】（23-24七年级•广东阳江•期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求

丁的值，并写出详细过程.

【变式7-1］（23-24七年级•山西太原•阶段练习）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为-VL则

输出），的值为（）

【变式7-2］（23-24七年级•上海黄浦・期中）根据下图中的程序，当输入》为36时，输出的值是

【变式7-3］（23-24七年级.河北张家口.期末）如图是一个数值转换器（|x［<10）,其工作原理如图所示.

—>|计算『2||->愀算术平方根|是无理”输布

是有理数

（I）当输入的x值为一2时，求输出的y值；

（2）若输入有意义的x值后，始终输不出），值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由;

（3）若输出的），值是百，直接写出;I的负整数值.

【题型8新定义中的实数运算】

【例8】（23-24七年级.山东济宁.期中）任何实数小可用⑷表示不超过。的最大整数，如⑷=4,［遮］=1,

现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1,只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，

最大的是.

[g]=8第二次＞[781=2[y/2]=\

【变式8-1]（23-24七年级.四川达州•阶段练习）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数”，b,都有a@b=

Vb+1,如18@9二百+1,则m@（m@9）的结果是.

【变式8-2]（23-24七年级•福建福州•期中）若实数m〃满足Q+b=6,我们就说“与。是关于6的,，如意

数”，则与3是关于6的“如意数”是（）

A.3+V2B.3-V2C.9-V2D.9+企

【变式8-3]（23-24七年级•山西吕梁・期中）用表示一种新运算：对于任意正实数a功=必不£例如

10-2l=V102+21=11,那么g・（V7-2）的运算结果为（）

A.13B.7C.4D.5

【题型9实数运算的实际应用】

【例9】（23-24七年级•福建莆田•期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一

种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围堵有多长吗（误差小

于I米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？

【变式9-1]（23-24七年级.广西玉林.期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生

交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是u=16阿,

其中y表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），，表示摩擦系数.在一次交

通事故中，经测量d=32米，/=2,请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了.

【变式9-2]（23-24•湖南长沙•一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬

同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们.从奶茶店到学校的每份订单配

送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份

订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，问一订单只允许使用一个红包）.但根据该奶茶店的优惠活

动，当订单总价（不含配送费）满3（）元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单

总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可

以换一种下单方式，优惠更多！''请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送

费）最低可为元.

【变式9-3]（23-24七年级•安徽虻埠・期中）如图，长方形48CD的氏为2cm,宽为1cm.

DC

（1）将长方形/BCD进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正

方形；（标出关键点和数据）

（2）求所拼正方形的边长.

【题型10实数运算中的规律探究】

【例10】（23-24•湖北黄冈•模拟预则）对于正整数a,我们规定：若a为奇数，则f（a）=3a+1：若a为偶数,

则/（a）=p例如f（15）=3x15+1=46,f（10）=y=5,若％=8,a2=/（a。，a3=/（a2）,