综合训练：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（上海专用）解析版

第一章集合与常用逻辑用语.不等式（综合训练）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.）

I.已知集合A={21+a},-\eA,则。=.

【答案】-2

【详解】由题意得解得。=-2,经验证此时集合4={2,-1}满足题意.

2.若4=3。},8={2,3,4},且Au8={l,2,3,4},则实数。取值的集合是

【答案】{2,3,4}

【详解】因为A={1M},4={2J4},J@LAVJB={1,2,3,4},则Aq（AuB）,

所以且由互异性知awl,

则有a=2或a=3或a=4,

所以实数”取值的集合是{2,3,4}.

3.已知集合人=卜,2=一ixec},则用列举法表示集合A=.

【答案】{-i,i}

【详解】由题意，集合A的元素为满足d=_i的复数x：设工=4+5，其中《此R,i为虚数单位，代入

方程得：（。+历尸=a2-b2+2abi=-1,

根据复数相等的充要条件，实部、虚部分别对应相等，可得方程组：=,

若6=0,则/=一1，无实数解，舍去；若。=0,代入第一个方程得孑=-1,解得b=±l,

因此满足方程的解为x=i或x=-i,故人=卜3}

4.已知全集口="集合A={1,3,5,7},8={x|xN2},则Ac*B=.

【答案】{1}

【详解】由全集U=R,集合A={1,3,5,7},B={x|x>2},

可得。B=W%v2},则AM8={1}.

5.已知集合A={-l,0,1.2,3}.8={小=log2026M,则4n4=.

【答案】{1,2,3}

【详解】由题可得，8={小>0},则AC8={123}

6.不等式1+,40的解集是____.

x

【答案】{x|7Wxv。}

【详解】1+-<0^—<0=>|^A+l^~°=>-l<x<0,

xx140

所以原不等式的解集为何-1W0}.

7.设全集为。={-2,-1,0,123},集合人=卜|±203^4,则无=.

【答案】{1,2}

【详解】由」;20,得厂“J：。，解得彳>2或xWO,

x-2[x-2^0

又xeU,所以A={-2,—l,0,3},则无={1,2}.

8.已知实数“，。满足|。+4=2,则而的最大值为.

【答案】1

【详解】由|〃+4=2,等式两边平方得：伯+切2=4展开得42+2"+〃=4.

由于对任意实数d匕，a2+b2>2ab,

将其代入上式：4=a2+2ab+b?>2ab+2ab=4ab,则41.

当且仅当〃时取等号，代入|。蝴=2,解得a=O=l或〃=。=-1,此时而=1,满足取等条件，因此而的最

大值为1.

9.已知l+2i是实系数一元二次方程e+b+cH的一个根，则c的值为.

【答案】5

【详解】方法一：由实系数一元二次方程的虚根性质可知，方程的两个虚根互为共枕复数，

已知l+2i是方程的一个根，则另一根为1-万，

根据韦达定理,对于方程Y+灰，。=0,两根之积等于常数项J

因此c=(l+2i)(l-2i)=|2-(2i)2=l-(-4)=5.

方法二：将x=l+2i代入方程.次+c=o,得：(l+2iy+0(l+2i)+c=0,

展开并整理得l+4i—4+Z?+2/?i+c=0,即9+c-3)+(»+4)i=0,

因为Ac为实数，根据复数相等的充要条件，可得方程组：ky+4r。，

3+c-3=0

b=-2

解得

c=5

,0-已知正数…满足则二不的最小值为一

【答案】1+2加

【详解】因为正数〃、人满足。+的=1,则，+3=竺殳+9=1+殳+?21+2,隹口=1+28.

ababab\ab

a+2/?=I

a=>/2-\

当且仅当竺时,

即当应时等号成立,

bah=\------

a>0,b>02

故：的最小值为1+2行.

ab

集合”卜公回,则柏八

11.若集合4=卜卜-1|+|兀—耳=71_1,46R}2

【答案】{1}=(3,可

［详解］当XV1时，上一1|+|冗一N=(l-x)+(兀一x)=7t+］_2x,

令木+1-2X=7T-1,解得x=l,与X<1矛盾，故方程无解；

当［时，|x-l|+|n-^=(.r-l)+(n-x)=n-l,

等式恒成立，所以14x4加都是方程的解；

当％〉兀时，,_1卜|兀_耳=(工一|)+(工-兀)=24一］一冗，

令2%-1-兀=兀-1,解得X=7T,与%>九矛盾，故方程无解，

所以4-[1,冗].

因为言对等价于归：)「)知即(x+l)(x-l)(x-3)>0

x-3^0

用穿根法可得不等式组的解为-14x41或x>3,

所以B=［T』］u(3,+oo).

因为［1,可C［T,1］={1},［1,兀］c(3,y)=(3,可,

所以人08={1}2(3,可.

12/◎^已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素〃?都乘以(-1广后

再求和.若集合A={n\\<n<\OjieN},则集合人的所有非空子集的“变项和”的总和为.

【答案】2560

【详解】A集合的所有非空子集中，每个元素出现的次数都是(2笛-1)-09-1)=2、

则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为1X(-1)，29+2X(-1八2、…+10乂(-1)以29

=(-1+2-3+4-...-9+I0)X29=5X29=2560.

二、选择题(本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个

正确选项。)

13.已知集合A={出/7-6=0},«=ply^>o|,贝I」AC|B=().

A.{-2,3}B.(-3,1)C.{3}D.{-2}

【答案】D

【详解】由丁7一6=0解得x=-2或x=3,即集合A={-2,3},

由二一>0可得"+3)(1-司〉0,解得—3VXV1,即集合5=卜|-3<%<1}；

所以408={-2}.

14.以下不等式正确的是()

A.如果a>〃，c>d,那么〃+d>〃+c

bc

B.如果一>:，那么力c、>〃d

ad

C.如果那么&>R

D.如果那么a>//

【答案】C

【详解】对于选项A,取。=3,b=—2,c=2,d=—3,

满足。>人,c>d,但a+d=0=>+c,A错误；

对干选项B,取a=l,b=2、c=-2,d=—3,

满足2b>上c，但加*=Y<—3=〃d.B错误；

ad

对「选项C,因为a>〃之0,所以扬，C正确；

对于选项D,取。=1,/?=-2,

满足〃，但〃=1<(一2)2=%2,D错误；

15.已知实数a,b,那么“|。+〃|=同+网”是“而>0”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【答案】B

【详解】先判断充分性：

*/当a=0，Z?=1时，|。+1|=网+"，满足,+耳=同+网，

此时=0,不满足,心>0,

・,・由|a+4=M+同无法推出必>0,充分性不成

再判断必要性：

若必>0,则。，b同号,

根据绝对值的运算性质，同号两数和的绝对值等「绝对值的和，即|。+q=时+网恒成

:.由曲>o可推出|。+q=时+回，必要性成立.

综上，“|。+4=M+例”是">0”的必要非充分条件.

16.已知集合A={x|cosx=laaMWxq+2025},其中z为实数，则A中元素个数不可能是()

A.644个B.645个C.646个D.647个

【答案】D

【详解】由题意可得8sx=tanx,可得cosx=®,HPcos2x=sinx=>1-sin2x=sinx,

cosx

令〃?=sinx,则加+m—1=0,因为解得m=二"逝,

2

gpsinx=z!±^,方程sin*=±或在每个周期内有2个解，

22

因为区间长度为2025,且2025-(271)«322.28,

所以该区间包含322个完整周期，

通过调整/的取值，区间内的解的个数可能为322x2=644个，322x2+1=645个，322x2+2=646,

所以A中元素个数不可能是647.

三、解答题(本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.)

17.(14分)已知不等式二K0的解集为A,不等式+如_6<0的解集为乩

(1)若a=l,求AcB；

⑵若对任意实数x，不等式a?+6<0均成立，求实数。的取值范围.

【详解】(1)易知不等式二工0等价于:3)^+1)"。，

x+1x+lwO

可得A={M-1<XW3}；

'与a=l时，不等+ar—6<0+x—6=(x+3)(x—2)<0,

可得3={X|-3VX<2}：

因此可得AnB=kH〈x<2}……(7分)

(2)当。=0时，不等式为-6v0恒成立;

当"。时，由恒成立可得…打叫。解得一24<av0：

综二可得实数〃的取值范围为(-24,0].……(14分)

18.(14分)已知关于工的方程./+履-2k=0(&eR).

(1)若该方程有一个实根为T,求方程的另一个根；

(2)若该方程有一个模为1的虚根，求女的值.

【详解】(1)若该方程有一个实根为-1,则1—%—2攵=0,解得：

1o9

此时方程为Y—§=。，解得：X|=T,X2=~

2

所以方程的另一个根为:……(7分)

(2)方程有虚根，所以八二^+弘々，即-8<k<0,

设虚根为2=。+初5力eR,bwO),则其共挽复数N=a-引(。力eR力¥0)也是方程的根，

因为该方程有一个模为1的虚根，则/+从=1

由韦达定理可得z-2=-24，

所以z・N=/+〃=-2Z=l,解得：k=-；,满足一8VA<0,符合条件.……(14分)

19.(14分)设函数)，=lg(Y-5/+4)的定义域为集合A,函数,，=右，xw(0,〃7)的值域为集合乩

(1)当/»=1时,求Ac5；

⑵若“xwA”是“xw8”的必要不充分条件，求实数机的取值范困.

【详解】⑴对于函数y=lg(f-5x+4),则有解-5%+4>0,得x«y,l)54,+8),

故A=y,l)U(4,y),

当"?=1时，由反比例函数性质得y=工在(0,1)上递减，

X

则函数y=工在(0,1)上递减，可得即

x+11+10+12

得到3=仔,5),则AA8=(4,5),即AD8={X|4c<5}.……(7分)

(2)因为“xwA”是“xwZT的必要不充分条件，

所以A是A的真子集，由反比例函数性质得函数y=+在(0,〃。上单调递减，

高,5,且心0,得到〃？+1

所以3=解得0<W2<—.

4

m>0

因此实数”的取值范围是.……(14分)

20.(国①(18分)定义[«句3cMsvc)的“区间长度”为d-c+b-a,设函数/⑴=(2sinxT)⑵siiiv+1)

的定义域为［。，2兀］.

⑴当/=T时，求关于x的不等式/(x)W0解集的“区间长度”;

⑵已知;＜/＜2,设关于x的不等式/(x)＞0解集的“区间长度”为I.

①若I=71,求f；

②求/的最大值.

【详解】(1)解：当Z=T时，/a)=(2shu+l)(—2siru+l)的定义域为［0,2兀］,

由f(x)K0,解得sinxN,或sinxK,则二工工乂2或2^石工4111£,

226666

所以不等式解集的“区间长度”为?

...........(4分)

OOOO3

(2)①因为由/(x)20,解得sin,rN4或siarW,

222t

设SiM=；的两个根为玉,勺，其中。＜玉＜^＜X2＜兀，且再+9=兀，

［37r

同理，设sinx=-五的两个根为与儿，其中兀＜曰＜丁＜14＜2兀，月.43+工4=3兀，

所以1=毛_大+七一七=4兀一2(玉十玉),

当1=兀时，则4+七=千，乂sinx)sinx3=—x-=,贝！JsinX]sinj任37t一内

22t4'I22

即由2N一3,解得不咤或百一:

兀7.

所以f=2sin芭=2sin~~~#5三或/=2sin玉=2sin—+-(11分)

46~T~

②由①可知sin%sinx,=--

22

?222七)+COSXyCOS玉=',

则$iif芭sinx,=-cosxj(l-cosx,)=1-(cos?X}+COS

22

I大I为cos芭>0.cosx3<0,所CIcos.r,+cos&>-2cosxtcos/.

所以1+2COSXjCOSXy+cos2xcos2>—,

}16

,3、5

解得COSX]COSX3>一]或COSX[COS£<(舍),

3I।

所以cos(x+x3)=cosx,cosx3-siaV]sinx3>,

冗3元4Ji

因为0＜玉＜5，71＜x3＜—,所以冗＜再+%3＜2几，所以内+刍2彳，

n

cosX,=-cosx

3-1=7

当且仅当I..1,即，:时等号成立,

sin%sin%,=--77r

行不

47r,/的最大值为手47t.……（18分）

所以I=4兀-2(%+x3)<—

21.语向（18分）已知/（x）是定义在R上的函数，若对任意的内、勺cR小-wS,均有/(xJ-/a)eS,

则称〃x）是S关联.

⑴判断和证明f（x）=2x+l是否是［0,内）关联？

⑵若外”是（3）关联，当x«Q3）时，/（%）=<-2A-,解不等式2K/（X）K3；

（3）证明："/（x）是｛1｝关联，且是［0,招>）关