一次函数的应用-2025-2026学年人教版八年级数学下册

同步计算14一次函数的应用（一）最值问题

1.新学期伊始，某文具店计划购进甲、乙两种书包.已知购进甲书包2个和乙书包1个共需140元；购进甲书包

3个和乙书包2个的花费相同.

（1）求甲、乙两种书包每个的进价分别是多少元？

（2）文具店决定甲种书包以每个50元出售，乙种书包以每个80元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种书

包共100个，且甲种书包的数量不少于乙种书包数量的3倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润.

2.五和超市购进A,B两种饮料共200箱,两种饮料的成本与销售价如下表：

饮料成本（元箱）销售价（元/箱）

A2535

B3550

⑴若该超市花了6500元进货，求购进A,B两种饮料各多少箱?

（2般购进A种饮料a箱（5心心100）,200箱饮料全部卖完可获利润w元，求w与d的函数关系式，并求购进A

种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少?

同步计算15一次函数的应用(二)最优化问题

1.某校6名教师和234名学生外出参加集体活动，学校准备租用45座大车和30座小车若干辆.已知租用1辆大

车、2辆小车的租车费用是1000元，租用2辆大车、1辆小车的租车费用是II00元.

(1)每辆大车、小车的租车费用各是多少元？

(2母校要求每辆车上至少要有一名教师，且租车总费用不超过2300元，请问有几种符合条件的租车方案?明附

租车方案最省钱？

2.王老板经营甲、乙两个服装店铺，每个店铺各在同一段时间内都能售出A,B两种款式的服装合计30件，且

甲店售1件A款和2件B款可获利110元，售2件A款和1件B款可获利100元，乙店每售出一件A款获利27

元，1件B款获利36元.

(1)问在甲店售出1件A和1件B分别获利多少元？

(2)某日王老板进了A款式的服装35件，B款式的服装25件，如果分配给甲店的A款式的服装x件，

①求王老板获取的利润y(元)与x；件)之间的函数关系式,并写出x的取值范围；

②由于甲、乙两个店铺所处的地段原因，王老板想在保证乙店利润不小于950元的前提下，使得自己获取的利

润最大，请你帮王老板设计一种最佳分配方案，并求最大的总利润是多少？

同步计算16一次函数的应用(三)调配问题

I.A城有肥料200(,B城有肥料300(,现全部运往C,D两乡，从A城往C,D两乡运谢吃斗的费用分别是每

吨20元和25元，从B城运往C,D两乡的运输费用分别是每吨15元和24元，C乡需240t.D乡需260t,设A城运

往C乡的肥料量为xt,总运费为y元.

(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

⑵求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少?

2.某地A,B两村盛产柑桔，A村有柑桔200吨，B村有柑桔300吨,现将这些柑桔运到C,D两个冷藏仓库，

已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C,D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B

村运往C,D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，A,B两村运往两仓库

的柑桔运输费用分别为yA元和yB元.

（I请填写下表，并求出yA,yp与x之间的函数关系式.

CD总计

AX吨200吨

B300吨

总计240吨260吨500吨

（2）受到B村的经济承受能力的影响，B村的柑桔运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运，才能

使两村运费之和最小?并求出这个最小值.

同步计算17一次函数的应用（四）方案问题

1.某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，

凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.

设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为正整数）:

(1根据题意，填写下表：

游泳次数101520・・・X

方式一的总费用yi/元150175

方式二的总费用y2/元90135

⑵若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多?

(3)当x>20时，小明选择哪种付费方式更合算?并说明理由.

2.下表中有两种移动电话计费方式：

月使用费/元主叫限定时间〃min主叫超时费/元：加

方式一582000.20

方式二884000.25

其中，月使用费固定收,主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，设通话时间为xmin,方

式一、方式二的收费金额分别为力，y2元.

(1)分别写出收费金额yi,y2(单/立：元)与通话时间x(单位：min)的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

⑵如果乔治在5月份的通话费用为100元,那么他5月份按方式一、方式二通话时间分别是多少分钟？

(3)直接写出x为何值时,方式一和方式二的收费金额相等.

同步计算18一次函数的应用（五）含参问题

1.某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共50（）斤进行销售，进价和售价如下表所示：

茶口1种别甲乙

进价玩/斤）nn+40

售价（元/斤）120200

已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6（XJ0元购进乙种茶叶的数量相同.

⑴求n的值；

（2减写出总利润y（元）与购进甲和茶叶数量x（斤）之间的函数关系式；

（3疮销售过程中发现乙种茶叶滞销，茶叶店决定每斤降价a元，若甲种茶叶的售价不变，且无论乙种茶叶购进

多少斤，销售完这500斤茶叶所获利润相同，求a的值.

2.某商店销售A型和B型两种电脑，每台A型电脑的利润为400元，每台B型电脑的利润为500元.该商店

计划一次性购买两种型号的电脑共100台，且B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台,

这100台电脑的销售总利润为y元.

⑴直接写出y与x的函数关系式；

（2）i亥商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少?

⑶实际进货时，电脑厂家对A型电脑的出厂价下调m(0vm〈20。)元，B型电脑的出厂价不变，且限定商店最多

购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑售价不变，怎样进货可使销售完100台电脑的总利润最大?

同步计算14一次函数的应用(一最值问题

1.解：⑴设甲种书包的进价为x元/个,乙种书包的进价为y元/个.

根据题意，得「噌，廨得｛:梵

答：甲种书包的进价为40元/个，乙种书包的进价为60元/个；

(2)设购进甲种书包m个，乙种书包(100-m)个，获得利润w元，

根据题意，得w=(50-40)m+(80-60)(100-m)=-10m+2000.

•.•正3(100m)解得mN75.

v-l0<0,・,・w随m的增大而减小，

・\当m=75时,w最大，最大值为-10x75+2000=1250(元)，

此时100-75=25(个)一・・当购买甲种书包75个，乙种书包25个时获得利润最大，最大利润为I250元.

2.解：⑴设购进A型饮料x箱，购进B型饮料y箱，根据题意，得HASSOO.解得｛党.

答：购进A型饮料50箱，购进B型饮料150箱；

(2)由题意狷w=(35-25)a+(50-35)(200-a)=-5a+3000,・・・-5<0,，w随a的增大而减小，又：5()951()。,・••当a=50时,w

有最大值为2750.

答：当购进A种饮料50箱时，可获得最大利润，最大利润是2750元.

同步计算15一次函数的应用(二最优化问题

1.解：(1)设大车每辆的租车费是x元，小车每辆的租车费是y元，可得黑,解得(^no

答：大车每辆的租车费是400元，小车每辆的租车费是300元；

⑵由每辆汽车上至少要有I名老师可知汽车总数不能大于6辆；又要保证240名师生有车坐，汽车总数不能

小于智(取整为6)辆,综合可知汽车总数为6辆.设租用m辆大型车,租车费用为Q元，则QN00m+300(6-m)=l

00m+l8(X),V100m+l800<2300,/.m<5,

又要保证240名师生有车坐，即45m+30(6・m)N240,解得m>4,/.4<m<5,Vm为正整数,m=4或5,所以有两种租

车方案,方案一：4辆大车，2辆小车；方案二：5辆大车，1辆小车・・・・Q随m的增大而增大，

・•・当m=4时，Q最少，此时租车费用为2200元.

故最省钱的租车方案是4辆大车，2辆小车.

2.解：⑴设在甲店售出1件A和1件B分别获利a元、b元，则琛瑞得燔

笞：在甲店售出1件A和1件B分别获利30元，40元；

(2起由题意可得,y=30x+40(30-x)+27(35-x)+36[25-(30-x)]=-x+l965,Vx<30,35-x<30,5<x<30,即王老板获取的

利润y(元与x(件)之间的函数关系式是y=-x+l965(5<x<30);

②•・.王老板想在保证乙店利润不小于950元.•••27(35-x)+36[25-(30-x)E950解得.吃20；,

*.*y=-x+l965,且x为整数，,当x=21时,y取得最大值，此时y=1944,30-x=9,35-x=14,30-14=16,

答：最佳分配方案是在甲店出售A种款式的服装21件，B种款式的服装9件，在乙服装店出售A种款式的

服装14件，出售B种款式的服装16件，最大的总利润是1944元.

同步计算16一次函数的应用(三:调配问题

1.解：(DA城运往C乡的肥料为xt,则运往D乡的肥料为(200-x)t；B城运往C,D乡的月睨斗分别为(240-x)t

和(60+x)t,

根据题意，得y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(60+x)=4x+10040,

自变量x的取值范围为0<x<200一・・y与x的函数关系式为y=4x+10040(0<x<200);

⑵由⑴知,y=4x+10040,

Vk=4>0,.\y随x的增大而增大，

・•・当x=0时,y最小=1()040,

・••从A城运往C乡0t,运往D乡200t;从B城运往C乡240

t,运往D乡60t.此时总运费最少总运费最小值是1004()元

2.解：(1)A,B两村运输柑桔情况如表，

收收地地运运地地CD总计

AX吨200-x200吨

B240-xx+60300吨

总计240吨260吨500吨

yA=20x+25(200-x)=5000-5x,yB=l5(240-x)+18(x+60)=3x+4680(C<x<200);

(2)・・・B村的柑桔运费不得超过4830元,・・・yB=3x+4680<4830解得烂50,

两村运费之和为yA+yB=5000-5x+3x+4680=9680-2x,

要使两村运费之和最小，所以x的值取最大时，运费之和最小，故当x=50时,最小费用是9680-2x50=9580(元).

同步计算17一次函数的应用(四।方案问题

1.解:⑴根据题意得力=5x+100:当x=20时,力=200;y2=9x.当乂=20时,丫2=9'20=180.故答案为200;5x+100;180;

9x;

(2)当yi=270时.5x+100=270,解得x=34：当也=270时,9x=270.解得x=30.V34>30,选择付费方式一,游泳的次数

匕徽多

(3)当5x+IOO<9x时,x>25;当5x+lD0=9x时,x=25;当5x+100>9x,x<25.

・•・当20Vx<25时，选择付费方式二更合算；

当x=25时，选择两种付费方式费用相同；

当x>25时，选择付费方式一更合算.

2.解:⑴由题意可得方式一:当0<x<200时,%=58,当x>200时,y】=0.20(x-200)+58=0.2x+l8,

58(0<x<200),

八一'。.2rH8(x>2000),

方式二:当0<x<400时山=88,当x>400时,y?=0.25(x-400)+88=0.25x-12,

/88(0<x<400),

yt=\

10.25x-12(x>400)।

(2)方式一:0.2x+18=100,解得x=410:方式二:0.25x-12=100,解得x=448;

答：方式一通话时间是41()minf方式二通话时间是448min；

(3根据(1*导0.2x+18=88或0.2x+18=0.25x-12.解得x=350或x=600.即通话时间为350min或600min时，两

种方式的收辖金额相同.

同步计算18一次函数的应用(五含参问题

1.解：(1)依题意彳导理=卓.解得n=8(),经检验,n=80是原方程的解且符合题意.

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