数学归纳法【七大题型】-人教A版高中数学选择性必修第二册（解析版）

专题4.7数学归纳法【七大题型】

【人教A版（2019）］

＞题型梳理

【题型I数学归纳法的证明步骤】...............................................................2

【题型2用数学归纳法证明恒等式】.............................................................3

【题型3用数学归纳法证明不等式】.............................................................6

【题型4用数学归纳法证明几何问题】............................................................7

【题型5用数学归纳法证明整除问题】...........................................................10

【题型6用数学归纳法证明数列问题】...........................................................12

【题型7用数学归纳法证明其他问题】...........................................................15

A举一反三

【知识点1数学归纳法】

1.归纳法

由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想

的一种方法.

归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法.

2.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数〃有关的命题，可按下列步骤法行：

第步（归纳莫基），证明当〃取笫-个值〃o（〃o£N*）时命题成立；

第二步（归纳递推），以当片做汐0,止7V*）时命题成立为条件，推出当+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从〃。开始的所有正整数〃都成立.

上述证明方法称为数学归纳法.

3.数学归纳法的重要结论及适用范围

1+2+3-1----\-n=+

产+2?+…+〃2=+1)(2〃+1)

O

数学归纳法

的重要结论『+23+…+”3=(〃+[)2

1+3+5+―+(2〃-1)=〃2

2+4+6+…+2〃=n2+n

适用范围只适用于证明与正整数有关的数学命题

【题型1数学归纳法的证明步骤】

【例1】⑵-24高二下•辽宁•阶段练习）利用数学归纳法证明不等式1+：+：+…+七V/（"之WV）

/JJ-JL

的过程中，由ri=k（A之1）变到九二k+1时，左边增加了（）

A.1项B.k项C.3k项D.2x3”项

【解题思路】根据题意，结合九=k变到n=k+l时，左边由（3卜一1）项增加到（3日】一1）项，即可求解.

【解答过程】由题意，不等式的左边中分子都为1,分母是从1开始到故共有3"-1项，

又由九=k变到九=k+1时，左边由（3k-1）项增加到（3k+1-1）项,

从而左边增加了（3日1—1）一（3|-1）=2x3〃项.

故选：D.

【变式1-1]（23-24高二下•四川成都•阶段练习）用数学归纳法证明”对任意的九6N*,都有1-

贵一金=++++++.••+亲第一步应该验证的等式是（）

AA.1♦—-14.--1—1=-1+.-1B.+

234342323

C.1=;+1D.1-

22

【解题思路】根据数学归纳法的知识确定正确答案.

【解答过程】在等式1一"；"・・,+号7-齐・+++++…+/“N”中，

当K=1时，2九=2,

故等式的左边为右边为:

所以第一步应该验证的等式是1-;\

故选:D.

【变式1-2]（23-24高二上•浙江杭州•期末）用数学归纳法证明：f（n）=1+抖[+…+*2等（九£川）

的过程中，从n=k到n=k+l时，/"（/c+1）比/"（A）共增加了（）

A.1项B.2"-1顷C.2k+1项D.2k项

【解题思路】分别计算出/（k+1）和/（A）的项数，进而作差即得结论.

【解答过程】因为/'5）=1+：+；+•••+、

所以/出=1+]+；+…+总共2k项,

则依+1)=1+"扛...+6+六+...+日2丘1项,

所以J(k+1)比f(k)共增加了¥+1-2%=2k项,

故选：D.

【变式1-3](23-24高三•全国•对口高考)某同学用数学归纳法证明不等式荷E<n+l(n£N，)，过程

如下：

(1)当n=i时，+不等式成立.

(2)假设当〃=k(k€N”,且kNl)时，不等式成立，即VFTiFvk+1,则当〃=k+l时，

d(k+1尸+(k+1)="2+3k+2<32+3k+2+(&+2)=J(k+2》=(/c+l)+l,

当九=k+1时，不等式成立.

根据(1)和(2)可知对任何九6/7・,后而〈71+1都成立.则上述证法()

A.全部过程均符合数学归纳法的原理

B.n=l的验证不正确

C.归纳假设不正确

D.从71=/^1伍=忆+1的推理没有用到归纳假设

【解题思路】根据数学归纳法的定义与证明即可判断.

【解答过程】根据数学归纳法的证明可知当〃=1的验证正确，旧纳假设正确，故BC错误；

从n=k到九=k+l的推理中，并没有用到九=攵时的假设，故D正确，A错误，

故选:D.

【题型2用数学归纳法证明恒等式】

[例2](24-25高二上•全国•课后作业)用数学归纳法证明：对任意的正整数几,2+6+10+…+(4n-2)=

2n2.

【解题思路】应用数学归纳法证明即可.

【解答过程】当九=1时，左边=2=2X/=右边；

假设九二k(kZ1,)时，原等式成立，则"=攵+1时，

等式左边=[2+6+10+-+(4A-2)]+(4k+2)=2/c2+4Ar4-2=2(k+l)2,因此n=k+1时原等式也

成立.

综上，VneN”都有2+6+10+…+(4n-2)=2n2.

【变式2-1](23-24高二上•全国,课后作业)用数学归纳法证明：

2

(1)1卜3+5+…」(2n-1)=n(nCN+)；

(2)1x4+2x7+3xlOH-----Fn(3n+1)=n(n4-l)2(nGN+).

【解题思路】(1)记土=1+3+5+-+(2几-1)=九2,验证当n=1时，等式成立；假设当〃=Z(/cWN+)

时，等式成立，然后证明由当九=k+1(忆6'+)时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立；

(2)记〃=1x4+2x7+3x10+…+n(3n+1)=n(n+l)2(neN+),验证当n=1.时，等式成立；假

设当n=k(kWN+)时，等式成立，然后证明出当7i=k+l(AEN+)时，等式成立，利用数学归纳法可证得

结论成立.

【解答过程】(I)证明：记%=1+3+5+…+(2九-1)=*

当冗=1时，则有Si=1=#,等式成立，

假设当？i=Z(k£N+),等式成立，即鼠=1+3+5+…+(2左—1)=/，

则品+i=S；.+2(k+1)-1=1+2k+1=(k+l)2,

这说明当日=〃+l(k6N+)时，等式成立，

2

故对任意的neN+,1十3十5十…十(2n-1)=n.

(2)证明：设7；=lx4+2x7+3xl0+・・・+n(37i+l)=?2S+l)2(nWN+),

当n=1时，八=1x4=1x(1+1)2,等式成立，

假设当n=k(kWN+)时，等式成立，

即限=1x4+2x7+3x10+-+k(3k+1)=k(k+I)2,

2

所以，Tk+1=Tk+(k+l)[3(k+1)+1]=k(k+l)+(k+l)(3k+4)=(k+1)伙(k+1)+3k+4]

=(k+l)(k2+4k+4)=(k+l)(k+2)2,

这说明当71=k+l(/cEN+)时，等式成立，

2

所以，对任意的几EN+,1X4+2X7+3X10H-----Fn(3n+1)=n(n+l)(nGN+).

【变式2-2](23-24高二上•上海•课后作业)用数学归纳法证明1・n+2•(n—1)+3•(九一2)+…+n•1=

；n(n+l)(n+2)(n为正整数).

6

【解题思路】根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当九二1时成立，进而假设〃二k时等式成立，证明九二

k+1时，等式也成立；即可得证.

【解答过程】设/(")=l-n+2-(n-l)+3-(n-2)+---+(n-l)-2+nl.

①当舞=1时，左边=1,右边=：x1x(1+1)x(1+2)=1,等式成立；

6

②设当71=々时等式成立,即f(A)=1•Z+2•(k-1)+3•(k-2)+…+(k-1)•2+k♦1=-k(k+

6

l)(k+2),

则当九=k+1时,

f(A+1)=1•(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(/c+1)-2]+-+[(/c+1)-2]-3+[(/c+1)-1]•24-(/c

+1)-1

=/(k)+1+2+3+…+k+(k+1)

=+l)(/c+2)+：(A+l)(/(+1+1)

6Z

=：(k+l)(k+2)(k+3).

6

由①@可知当九€N”时等式都成仁

【变式2-3](23-24高二上•全国,课后作业)用数学归纳法证明以下恒等式(-EN+)：

(1)-1+3-5+-+(-l)n(2n-1)=(-l)nn；

(2)(n+l)(n+2)…(九+7。=2"x1x3x…x(2n-1).

【解题思路】(1)按照数学归纳法的步骤证明即可；

(2)按照数学归纳法的步骤证明即可；

【解答过程】(1)①当n=l时，左边二一1,右边=左边与右边相等，即n=l时等式成

立；

②假设当〃=k(k€N+)时，等式成立，

即-1+3-5+-+(-l)k(2fc-1)=

贝I」当-=k+1时，左边=-1+3-5+…+(-1)气2〃-1)+(-1)"+1(2〃+1)

=(一1)。+(-l)%+i(2k+1)=(-1)”k-(2k+1)]=(-l)k(k+l)x(-1)=(-1)"1伏+1)=右边，

即当n=/c+l时，等式也成立；

综上所述，由①②可知，对于任意正整数，-1+3-5+•••+(-1尸(2n-1)=(一1)喋成立.

(2)①当九=1时，左边=1+1=2,右边=21=2,左边与右边相等，即n=l时等式成立；

②假设当n=k(k€N+)时，等式成立，

即(k+l)(k+2)…(k+k)=2?<x1x3x…x(2k-1),

则当？i=k+1时，左边=(k+1-l)(k+1+2)…(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k+2)

2kxix3x…x(2k-l),、/、…

=--------.+])-----乙•(k+k+l)(k+k+2)=2k+1x1x3x-x(2/c-1)x(2k+1)=

右边，

即当n=/c+l时，等式也成立；

综上所述，由①②可知，对于任意正整数，5+1)(71+2>・・(九+71)=2'乂1乂3乂~乂(2?1-1)成立.

【题型3用数学归纳法证明不等式】

【例3】（2024高三.全国.专题练习）证明：不等式。x；x：x…X2%工而了I成立.

2462n

【解题思路】利用数学归纳法证明即可.

【解答过程】①当九=1时，左边=:>&=右边，，不等式成立.

②假设当九=Z时不等式成立，BP-X-X-X-X要>VFT1.

2462k

③当?i=k+l时,

卜3)2

+!)■

4(k+I)2+4(k+1)+1

4(k+1)

=W+1）+1+高>J（k+D+L

；•当〃=k+l时，不等式也成立.

综上可得，原不等式恒成立.

【变式3-1]（24-25高二上•全国,课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数几>4,2,

【解题思路】运用数学归纳法的步骤进行证明即可.

【解答过程】当几=5时，不等式25>5?成立，

假设九=/c（/c>4）时原不等式成立，即2k>1,

则r=k+l时，左边=2"+】=2-2">21,

当A>4时,2k2一（k+1产=炉-24一1二（k-1）2-2>0,

即2"+】>（攵+1）2,

因此九=k+1时原不等式也成立.

综上，对任意的正整数九>4,2〃AM.

【变式3-2]（23-24高二下.河南南阳•期末）观察下列不等式:5+3>8,25+9>32,125+27>128,

6254-81>512......

（1）根据这些不等式，归纳出一个关于正整数〃的命题：

（2）用数学归纳法证明（1）中得到的命题.

【解题思路】（1）不完全归纳得解：

（2）利用数学归纳法证明即可.

【解答过程】（1）解：不等式可写为：5+3>23,52+32>25,53+33>27,54+34>29,

所以归纳得到命题：5n+3n>2^+1（〃为正整数）.

（2）证明：①当〃=1时，易知命题成立；

②假设当n=k（k工1次£N"）时，命题成立，即5k+3"N22kT.

则当〃=k+l时，

5k+1+3k+1=5x+3x3k

=（4+1）x5k+（4-1）x3k

=4x（5"+3"）+5"-3〃

>4x22k+1+5比一3k>22（"+D+I,

即n=^十l时，命题也成立.

由①@可知，5n+3n>22n+1.

【变式3-3］（23-24高二上.全国,课后作业）证明不等式1+++专+~+奈<2诋（〃£"）.

【解题思路】利用数学归纳法可证明，先假设〃=&时成立，再证明〃=k+1时成立即可.

【解答过程】当〃=1时，左边=1,右边=2,左边<右边，不等式成立.

假设当〃=%七"）时，不等式成立，即1+专+专+•••+3<2遍,

当n=k~V\时,

1111

1+7+下+…+下+1--------

V2>/3瓜vm

"i2vwm+1

<2V/c+,=----7,----——

7k+1V/c+1

（庆产+（历T）2+l

鬻=2再1,

TPT

所以当〃=k+iM,不等式成立.

综上，原不等式对任意〃都成立.

【题型4用数学归纳法证明几何问题】

【例4】（23-24高二•全国.课堂例题）在平面上画八条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不

共点.问：这〃条直线将平面分成多少个部分？

【解题思路】先通过n=l,2,3,4,5的结果归纳出7=1+1+2+3+4+…+n,再用数学归纳法证

明即可.

【解答过程】记〃条直线把平面分成％个部分，我们通过n=1,2,3,4,5,画出图形观察注的情况(如

图)

从图中可以看出，

4=2=1+1,

^=4=^+2=14-1+2»

r3=7=r2+3=14-14-2+3,

74=11=r3+4=1+1+2+34-4,

%=16=心+5=1+1+2+3+4+5.

由此猜想。=1+1+2+3+4+…+n.

接下来用数学归纳法证明这个猜想.

(1)当?i=1,2时，结论均成立.

(2)假设当〃时结论成立，艮1〃=1+1+2+3+4+~+仁

那么，当/=k+l时，第"1条直线与前面的左条直线都相交，有"个交点，

这上个交点将这条直线分成什1段，且每•段将原有的平面部分分成两个部分，

所以球+1=q+(k+1)=1+1+2+3+4+…+k+(k+1),结论也成立.

根据(1)和(2)可知，对TIEN"都有有=1+1+2+3+4+…+71,

即4=1+智.

【变式4-1](23-24高二上•全国,课后作业)用数学归纳法证明：凸n边形的内角和/(n)=S-2)・

180*(n>3,nGN)

【解题思路】验证当〃=3时，结论成立；假设当九=k(kGN*)时，结论成立，分析可知凸k+l(k>3,kGN*)

边形4遇2…边形可以在以AiA为边的△与凸k边形4通2…4拼接而成,即可得出

/(〃+1)=/(幻+180。成立，这说明当九=左+1时，结论成立，再由归纳原理可证得结论成立.

【解答过程】证明：当日=3时，三角形的内角和为180°,即/'(3)=180°=(3-2)•180°,结论成立；

假设当九=k(kWAT,kN3)时,结论成立，即/'(%=(&-2)•180°,

假设凸k4-l(fc>3,keN")边形为力2…44+1，如下图所示:

Ak

则凸k+l(fc>3,fcGN*)边形44•••44+1边形可以在以公4为边的△&44+1与凸々边形4遇2…由拼

接而成，

所以，f(k+1)=f(k)+180°=(k-2)•180°+180°=(fc-1)-1800,

这说明当〃=k+l时，结论成立，

故凸n边形的内角和f(n)=(n-2)•180°(n>3,n6AT).

【变式4-2](23-24高二・全国•课后作业)已知九22,且平面内有〃条直线，其中任意两条不平行，任意

三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为/(X)

【解题思路】按照数学归纳法证明步骤证明即可.

【解答过程】证明：(1)当九=2时，两条直线的交点只有1个，又/"(2)=管❷=1,

所以n=2时，命题成立；

(2)假设n=k£N♦且k>2时，命题成立，即平面内满足题设的任何2条直线交点个数/'(幻=丝严，

那么，当九二k+l时，任取一条直线/,除/以外其他左条直线的交点个数为/(幻="严，

因为任意两条直线不平行，所以直线/与其他上条直线的交点个数为匕又任意三条不过同一点，

所以上面4个交点两两不同，且与平面内其他的/(町=空❷个交点也两两不同，从而"I条直线共有/(£)+

k个交点，

即/(k+1)=f(k)+k=+k=：k(k-1+2)=\k{k+l)=1(/c+l)[(k+1)-1],

所以当〃=k+1时，命题成立.

综上，原命题成立.

【变式4-3](24-25高二・全国•课后作业)己知九(九>2,neN*)个半径相等的半圆的圆心在同一直线I上，

这九个半圆每两个都相交，且都在直线，的同侧，试用数学归纳法求这几个半圆被所有的交点最多分成多少段

圆弧.

【解题思路】设这几个半圆被所有的交点最多分成八九）段圆弧，由/（2）=4,/（3）=9,由此猜想/'5）=

712g>2,neN・），再用数学归纳法证明即可

【解答过程】设这几个半圆被所有的交点最多分成/（八）段圆弧，

如图分别是n=2,n=3的情形.

由图可知，/（2）=4,/（3）=9,由此猜想/5）=/（几之2,〃6叱）.

现用数学归纳法证明该猜想.

①当日=2时，猜想显然正确.

②假设九=底九22,71€7.）时，猜想正确，即/■（口=12,

则当九=k+l时，作出第k+1个半圆，它与前上个半圆均相交，最多新增k个交点，

第A+1个半圆自身被分成了k+1段弧，同时前攵个半圆又各多分出1段弧，

故有/（k+1）=f（k）+k+k+l=k2+2k+i=（k+i）2,

即当n=k+l时,猜想正确.

综上，对于几>2,n€N*,/（n）=/都成立.

故这几个半圆被所有的交点最多分成九2段圆弧.

【题型5用数学归纳法证明整除问题】

[例5]（2024高二下•全国・专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数九，那-L能被。-力整除时，其第

二步论证应该是（）

A.假设九=k（A为正整数）时命题成立，再证n=A+1时命题也成立

B.假设7i=2A（忆为正整数）时命题成立，再证n=2k+1时命n=2k题也成立

C.假设〃（k为正整数）时命题成立，再证九=2k+1时命题也成立

D.假设九=2k（々为正整数）时命题成立，再证九=2（k+1）时命题也成立

【解题思路】根据题意可得〃为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案.

【解答过程】因为，为正偶数，所以第二步的假设应写为：

假设〃=2k（k为正整数）时命题成立，再证n=2（々+1）时命题也成立，

即当九=2k（k为正整数）时，（^上一^上能被^^一力整除，

再在n=2（k+l）B寸，a一〃（k+i）能被。一。整除

故选：D.

【变式5-1](23-24高一下•上海徐汇・期末)已知/'(九)=(2n+7)-3n+9,存在自然数m,使得对任意在eN\

都能使m整除/(〃),则最大的血的值为()

A.30B.9C.36D.6

【解题思路】依题意，可求得/(I)、-2)、〃3)、/'(4)的值，从而可猜得最大的m的值为36,再利用数学

归纳法证明即可.

【解答过程】由/(九)=(2"+7)・3n+9,得/'(1)=36,

/(2)=3X36,/(3)=10x36,

f(4)=34X36,由此猜想771=36.

下而用数学归纳法证明：

(1)当九=1时，显然成立。

(2)假设?1=4时,f(k)能被36整除，即

fW=(2k+7)•3火+9能被36整除；

当n=k+1时，

[2(k+1)+7]•3"+1+9

=3[(2/c+7)-3fc+9]-18+2x3k+1

=3K2k+7)•3%+9]+18(3b1-1)

是2的倍数，

18(3"i-l)能被36整除,

.•.当九=k+1时，/•5)也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数几都有/(八)=(2n+7)•十9能被

36整除,

m的最大值为36.

故选：C.

【变式5-2](23-24高二上•全国•课后作业)用数学归纳法证明：n3+(n+l)3+(n+2户能被9整除(nGN*).

【解题思路】先验证〃=1时，n3+(n+I)3+6+2产能被9整除；假设当n=k时,k3+(k+l)3+(k+2)3

能被9整除，再证明(k+17+(A+2>+(k+3产能被9整除，结合归纳原理可得出结论成立.

【解答过程】证明：(1)当n=1时，13+23+33=36能被9整除，所以结论成立；

(2)假设当九=k(kEN")时结论成立，即4+a+i)3+(A+2产能被9整除.

则当n=k+1时，(k+I)3+(k+2)3+(k+3)3=(k+l)3+伏+2)3+k3+9/c2+27k+27k

=k3+(k+I)3+(k+2)3+9(H+3k+3),

因为4+/+1)3+(k+2尸能被9整除,9*2+3k2+3)能被9整除,

所以，(Z+17+(A+2尸+(A+3)3能被9整除，即即71=k+1时结论也成立.

由(1)(2)知命题对一切•都成立.

【变式5-3](23-24高三•全国・对口高考)是否存在正整数机使得f6)=(2n+7)•3"+9对任意正整数九都

能被租整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论.若不存在说明理由.

【解题思路】

求出/'(1)、f(2)的最大公约数，可得出m的值，然后利用数学归纳法证明出/(九)都能被36整除，即可得出结

论.

【解答过程】解：f(l)=9x3+9=36,f(2)=11X9+9=108,

所以，/⑴、f(2)的最大公约数为36,

猜想:对任意的neN3/'(n)能被36整除，

当九=1时，猜想显然成立；

假设当n=k(kEN),猜想成立，即/(幻=(21+7)-3k+9能别36整除，

即存在£eN*,使得/(k)=(2k+7).3-+9=363

则当"=k+l(keN*)时，f(k+1)=[2(k+1)+7]-3k+1+9=3(2k+7)•3卜+2•3k+1+9=

3(36t-9)+2•3"+】+9

=108t+2•3nl-18=108t+18(3"i-1),

因为3”】为奇数,则3%T-1为偶数,则18(3»】-1)能被36整除,

所以，/*(k+l)能被36整除，

这说明当〃=k+l时，猜想也成立，

故对任意的TIENMf(冗)=(2n+7)•3n+9对任意正整数n都能被m整除，且?n=36.

故?n的最大值为36.

【题型6用数学归纳法证明数列问题】

【例6】(24-25高二上•全国•课后作业)已知正项数列｛。〃｝的前n项和为S”，满足为+1=弊.

(1)求出数列｛即｝的前三项：

⑵根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明.

【解题思路】(1)分别将几=1,九=2,71=3代入求解即可；

(2)先猜想通项公式，再应用数学归纳法及而=%Sn_i证明即可.

【解答过程】(I)当n=l时，由已知条件可得%+1=炉，即酒+2%—2=0,

Zal

解得处=V5-1(如>0)；

当冗=2时，由已知条件可得%+a2+1=将%=V3—1代入得今+2s/3a—2=0,

2a22

解得做=V5-V3(a2>0)；

当？i=3时，由已知条件可得为+g+。3+1=等上，同理解得Q3=上一遍(。3>0)。

(2)由(1)可以猜想即=可2人+1—72n-1,九二1,2,3时，等式成立；

假设当九=攵(4>3,1£1<)时，等式也成立，B|Jak=y/2k+1-72/c-l,

1

又因为=Sk+i-Sk=粤+1---竽一十，

将以=以+1-72k-1代入上式解得4+1=y/2k4-3-y/2k4-l(an>0),

所以ri=k+1时命题成立.

综合可得，当n€N*时，+1-72n一1(九£N').

【变式6-1](24-25高二上•上海•课后作业)设数列｛曰｝各项均为正数，且满足*+君+…+以=2层+2/1

(“为正整数).

⑴求数列｛』｝的通项公式f；

2

(2)试用数学归纳法证明：xrx2+x2x3+—+xnxn+1<2[(n+l)-1].

【解题思路】(1)先根据和项与通项关系求得片，解得出；

(2)先证明71=1成立，再根据九=k成立推导九=k+1成立即可.

【解.答过程】(1)当n>2时比-据+…+1=2n2+2n,xf+xf+•••+嵋=2(n—l)2+2(n—1),

所以以=2n24-2n—2(n—I)2—2(n—1)=4n

当冗=1时％f=2+2=4,•,.以=4n,vxn>0,:.xn=2yfn；

2

(2)①当九=1时，x^2=2x272<2x3=2[(1+I)-1],即？2=1时，结论成立；

②假设当九二k,(AZl,k£Z)时，结论成立，即占不++…+%行卜+1V2[(k+一1]

2

当n=k+1时，x1x2+%2^3+…+xkxk+1+xk+1xk+2V2[(k+l)-1]+xk+1xk+2

22

因为2KA+l)-1]+xk+1xk+2=2[(k+2)-1]+4vmVm-2(2k+3)

=2[(k+2)2-1]+2(，4k2+12k+8-+12k+9)<2[(k+2)2-1]

即当n=k+l时，结论成立；

由①@得，%i%2+X2X3+…+xnxn+l<2[(H+1不一1].

【变式6-2]（23-24高二下•北京房山•期中）已知数列｛〃｝中,与=0且即+i=

（1）求数列｛册｝的第2,3,4项；

（2）根据（1）的计算结果，猜想数列｛a"的通项公式，并用数学归纳法证明.

【解题思路】（1）由题意逐个计算即可得；

（2）由（1）的计算结果可猜想出数列｛a“｝的通项公式，利用数学归纳法证明即可得.

【解答过程】（1）由%=0且册+i=一，则即=丁」二，

°3=有=弓=丁«4=^=q=-；

（2）由（1）的计算结果可猜想即=%,证明如下:

当冗=1时，%=_=0,等式成立;

假设当〃二k时等式成立，即有。〃二早，

K

则当九=Z+1时，有以+i=±=金T=备

即当n=k+l时,等式成立;

故猜想Q”二-7成立.

【变式6-3]（23-24高二上•上海,课后作业）设数列｛a，｝的各项均为正整数，且%=L记6=a1+a2+-+

a”.如果对于所有的正整数ri均有5-1+工=（$-1-工）2

（1）求S],52，S3,54，S$；

（2）猜想｛SJ的通项公式，并加以证明.

【解题思路】（1）利用代入法进行求解即可；

（2）根据｛Sn｝前五项的特点进行清想，然后利用数学归纳法进行证明即可.

【解答过程】（I）因为数列｛Q?J的各项均为正整数，

所以数列⑪工是递增数列，

2

因为又+i+S'=（Sn+1-Sn）,$=%=1,

所以S2+Si=0-SJ2=>S2=3,S2=0舍去，

同理可得：S3=6,S3=1舍去，S*=10,=3舍去，S5=15,S5=6舍去,

所以S]=1,$2=3,$3=6,$4=10,S5=15；

（2）猜想：Sn=g3,证明过程如下：

当力=1时，S[=1显然成立,

假设当n=k时成立，即品="罗，

当九=攵+1时，Sk+i+sk=（Sk+i-5Q2=SE1-（必+k+r）sk+1+，T）（7）（〃+2）=o,

（k+l）（k+2）1[k（k-l）l_

=S〃+1-Sk+]--0n

解得;S"+】=（一堂+"或1+「〃（F）,

因为数列｛Qn｝的各项均为正整数，

所以数列｛S"是递增数列，

显然（k+l）（k+2）>k（k+l）>

所以品+1=7丝卫金+[=竺/舍去，

所以当n=k+1时，S〃=丝罗成立，

综上所述：Sn=K罗.

【题型7用数学归纳法证明其他问题】

【例7】（23-24高二下.山西吕梁期末）给出下列不等式：

（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论;

（2）用数学归纳法证明你的猜想.

【脩题思路】（1）猜想不等式左边最后一个数分母2“T,对应各式右端为今即得解;

⑵递推部分，利用〃时结论，替换括号内部分1+/打/……+六+/+……+汨七+高

>\（次+六+…+汨七+汨匕）即得证•

【解答过程】解：（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点:

1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,

猜想不等式左边最后一个数分母2吁1,对应各式右端为去

所以，不等式的一般结论为：1+T+3+3+…+£T>；（nWN，）

（2）证明：①当〃=1时显然成立；

②假设九=女时结论成立，即：1+；+；+；+...+六>9成立，

2342K-12

当九二k+l时，

1111111

1+2+3+4+……+齐R丞+……+声=+历=1

冶+假+含+…+寻3+品!）

i

>^+2^x47=-+=—

22k+,222

即当71=Z+l时结论也成立.

由①②可知对任意nWN・，结论都成立.

【变式7-1］（2024高三・全国・专题练习）试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何n（n>7,nEN）分的

邮资.

【解题思路】利用数学归纳法证明.

【解答过程】I。当〃=8时，结论显然成立.

2。假设当n=k（k>7,kWN）时命题成立.

若这4分邮资全用3分票支付，则至少有3张，将3张3分票换成2张5分票就可支付hl分邮资：

若这女分邮资中至少有•张5分票，只要将•张5分票换成2张3分票就仍可支付M分邮资.

故当n=k+\时命题也成立.

综上，对几>7的任何自然数命题都成立.

【变式7-21（23-24高一上•上海浦东新•阶段练习）已知M是满足下列条件的集合：①0WM,1EM；②

若x、yEM,则x-yCM；③若％6M且x工0,则56M.

（1）判断［EM是否正确，说明理由；

（2）证明：“若％€Z,则3WM”是真命题;

（3）证明：若x,ye则xyEM.

【解题思路】（1）结合性质①②证明2£M,然后利用性质③即可求解：

（2）结合（1）中结论，利用数学归纳法即可求解：

(3)结合已知条件，先证明X2EM,然后证明x+y€M,然后证明;EM即可求解.

【解答过程】正确，理由如下：

由®®可知，O-1=-1EM,1-(-1)=26M,

由③可知，M.

(2)由②可知，对于0-x=-X6M,故只需证明对于Vx€N,xEM,

由(1)中知，-1GM,

可知0€M,16M,

假设正整数kWM(k工1),可得k一(-1)=k+16M,

故对于V%€N\xE