2023-2024学年北京市海淀区某中学七年级（下）期中数学试卷

2023・2024学年北京市海淀区中关村中学七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1.（3分）下列图形中，N1和N2是邻补角的是（）

B.

1

A.3B.-3C.±3D.±-

3

3.（3分）下列各数中，无理数是（）

A.gB.3.14C.D.2TT

4.（3分）小明读了：“子非鱼，焉知鱼之乐乎？”后，利用电脑画出了鱼儿的各种形态，请问：图中所示

的小鱼图案经过平移后得到的是（）

5.（3分）如图，AB//CD,NOCE=130°,则的度数为（

C.60°D.70°

6.（3分）如图，四边形ABC。中，AC,BO交于点。，如果N84C=NDC4,那么以下四个结论中错误

A.AD//BCB.AB//CD

C.NABD=NCDBD.NB4D+N八。C=180°

7.（3分）下列命题中，假命题是（）

A.对顶角相等

B.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.在同一平面内三条直线a,b,c,如果a_L/;,b±c,那么a〃c

D.两条直线被第三条直线所栈，同旁内角互补

8.（3分）如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、

正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0,-2）,表示九龙壁的点的坐标为（8,

2）,则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（）

;・用楼神武门加怔

■

二.二乾清宫景仁宫1

存:〉般■乾;清门

・保礼殿•儿花壁

中和殿•

•太和门

式英殿

.

西华门东华门

■

•角楼：一门！i角阳

•.......—

A.保和殿（0,2）B.养心殿（-2,3）

C.武英殿（-7,-8）D.景仁宫（8,4）

9.（3分）在平面直角坐标系xOy中，以。，A,B,C为顶点的正方形的边长为3.若点A在x轴上，点

C在y轴的正半轴上，则点8的坐标为（）

A.（3,3）B.（3,-3）

C.（3,3）或（3,3）D.（3,3）或（3,3）

10.（3分）在平面直角坐标系xO），中，已知点A（2,1）,点B在），轴上，对于线段人B有如下四个结论：

①线段A3的最小值是2；

②线段A8的最大值是2；

③线段A8可能经过点（2,0）；

④线段反可能经过点（1,3）.

上述结论中，所有正确结论的序号是（)

A.①@B.②③C.②④D.①④

二、填空题（每小题2分，共16分）

11.（2分）述的相反数是.

12.（2分）点、P（m-I,2//Z+4）在），轴上，则P点坐标是.

13.（2分）如图，数轴上点4,B对应的实数分别是-I,2,点C在线段AB上运动，如果点。表示无理

数，那么点C可以是（写出一个即可）.

AB

▲A

-2-1012

14.（2分）如图，从位置尸到直线公路MN共有四条小道必、PB、PC、PD,若用相同的速度行走，能

最快到达公路MN的小道是,理由是

15.（2分）在平面直角坐标系中，如果过点A（1,2）和点B的直线平行于x轴，且AB=3,那么点B的

坐标是.

16.（2分）如图，直线。〃儿直线A8分别与直线a,b相交于点。和点8,过点。作射线CELLA8于C,

17.（2分）如图，雷达探测器探则到三艘船4,B,C,按照目标表示方法的规定，船A,8的位置分别表

示为A（5,30°）,B（6,300°）,船C的位置应表示为.

90。

18.(2分)将I,V2,V3,遥，遍按右侧方式排列.若规定(/〃，〃)表示第小排从左向右第〃个数，则

(7,3)所表示的数是；(5,2)与(20,17)表示的两数之积是.

X1L

TJ4I.

1t二

p2

I.

V2V3-J二

f3J

V5A1N1

t4L二

4z43JsnJ

5J.

J11

I.

二

三、解答题(本题共54分，第19-20题，每小题8分；第2L25题，每题5分；第26题6分；第27题7

分)

19.(8分)计算：

(I)V8+|V3-2|4-7(-2)2.

(2)V3(4-V3)-5V3.

20,(8分)求出下列等式中x的值:

(1)4?=36；

(2)(x-I)3+8=-19.

21.(5分)如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是4(3,4),B(1,2),

C(4,0),将三角形4BC平移后得到三角形AbC,点A,B,C的对应点分别为4',C,且A'

的坐标为(・1,2).

(1)点、B'的坐标为,点C'的坐标为.

(2)在平面直角坐标系中画出三角形AbC,并写出一种平移方式:

yA

22.（5分）已知：如图，直线48,CO相交于点O,NAOC=40°,。£平分N80C,求NOOE的度数.

23.（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（小2）,B（/?,0）,C（m，0）,且行方+（b+1产=0.

（I）直接写出点4,8的坐标；

（2）若三角形ABC的面积为6,求〃7的值.

24.（5分）已知：如图，AZ）J_BC于。，EFLBC于F,交AB于G,交CA延长线于E,Z1=Z2.求证:

A。平分NB4c.

25.（5分）我们规定用（a,b）表示一对数对，给出如下定义；记租=去，n=Vb（其中a>0,b>0）,

将（加，〃）与（〃，〃?）称为数对（小b）的一对“和谐数对”.例如：（4,1）的一对“和谐数对"为1）

和（L1）,（1）数对（9,5）的一对“和谐数对”是；

（2）若数对（16,b）的一对“和谐数对”相同，则〃的值为；

（3）若数对（a,b）的一个“和谐数对”是（5,4）,直接写出曲的值.

26.（6分）已知，直线A8〃CO,点E为直线A8上一定点，直线EK交。于点凡FG平登4DFK,Z

AEF=a.

（1）如图1,当a=70"时，ZGFK=°；

（2）点P为射线产E上一点，点M为直线AB上的一动点，连接PM,过点P作PN_LPM交直线CO

于点N.

①如图2,点尸在线段上，若点M在点E左侧，求/BMP与N/WC的数量关系；

②点尸在线段FE的延长线上，当点M在直线A3上运动时，NMPN的一边恰好与射线/G平行，直接

写出此时NPN尸的度数（用含a的式子表示）.

备用图

27,（7分）平面直角坐标系M7.v中任意两点P（用，产），巴（必"）,小聪定义了Pi,尸2的“分解距离”，

如下：

若M・x2121yLy2|,则我|为点Pi,尸2的“分解距离”，即d（P,Q）=ki-xi\；

若M-X21Vly1-则|yL”|为点a，F2的"分解距离"，即d（P,Q）=b'l->,2|.

例如，点P（l,2）,Q（3,5）,因为|l-3|<|2-5|,所以点P,。的“分解距离”为|2-5|=3,记为4

（P,Q）=3根据上面的材料，解决下列问题：

（1）如图1,已知点4（2,1）,8为平面内一个动点

①则d（A,。）=；

②若点8（x,4-x）在第一象限，且点1（8,0）=3,求点8的坐标：

③动点4（X,>'）满足"（A,B）=r,所有动点4组成的图形面积为16,请直接写出r的值；

(2)对于点C(・1,・1),点。(2,4),若有动点M(m,〃)，使得d(C,M)+d(。，M)=5.请

直接写出〃?的取值范围.

2023・2024学年北京市海淀区中关村中学七年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

题号12345678910

答案BADBBADACD

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

I.（3分）下列图形中，N1和N2是邻补角的是（）

【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案.

【解答】解：A.N1与N2是对顶角，故A选项不符合题意：

B.N1与N2是邻补角，故4选项符合题意；

C.NI与N2不存在公共边，不是邻补角，故C选项不符合题意；

O..N1与N2是同旁内角，故。选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题主要考查的是邻补用的定义，熟练掌握邻补角的定义是解题的关键.

2.（3分）9的算术平方根是（）

1

A.3B.-3C.±3D.±-

3

【分析1根据算术平方根的定义解答.

【解答】解：・・・32=9,

，9的算术平方根是3.

故选：A.

【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键.

3.（3分）下列各数中，无理数是（）

A.炳B.3.14C.V^8D.2TT

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整

数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选

择项.

【解答】解：A.y/9=3,3是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

B.3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；

C.V^8=-2,-2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

D21I是无理数，故本选项符合题意.

故选：。.

【点评】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理

数.如mV2,0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0）等形式.

4.（3分）小明读了：“子非鱼，焉知鱼之乐乎？”后，利用电脑画出了鱼儿的各种形态，请问：图中所示

的小鱼图案经过平移后得到的是（）

【分析】根据平移的性质判断即可.

【解答】解：8选项图形中，是由如图经过平移得到的图形，

故选：B.

【点评】本题考查了利用平移设计图案，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形,

新图形与原图形的形状和大小完全相同，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的,

这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.

5.（3分）如图，AB//CD,NOCE=130°,则的度数为（）

【分析】根据邻补角的定义及平行线的性质求解即可.

【解答】解：VZDCE+ZfiCD=180°,ZDCE=130°,

AZBCD=50°,

♦：AB〃CD,

；,/B=/BCD=5O”,

故选：B.

【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键.

6.（3分）如图，四边形A4c。中，AC,BD交于点O,如果NZMC=NOCA,那么以下四个结论中错误

A.AD//BCB.AB//CD

C.NABD=/CDBD.ZBAD+ZADC=\SO°

【分析】根据平行线的判定定理及性质定理判断即可得解.

【解答】解：ZBAC=ZDCA,

:3、

工NABD=NCDB,ZBAD+ZADC=,

故A符合题意；B,C,。不符合题意，

故选：A.

【点评】此题考查了平行线的判定及性质，熟记“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角

相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键.

7.（3分）下列命题中，假命题是（）

A.对顶角相等

B.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.在同一平面内三条直线”，b,c,如果a_LAb_Lc,那么a〃c

D.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

【分析】根据对顶角相等、垂直的定义、平行线的判定、平行线的性质判断即可.

【解答】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意；

以同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，不符合题意：

C、在同一平面内三条直线a,〃，c,如果■力，〃_Lc,那么a〃c,是真命题，不符合题意；

D、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，符合题意；

故选：O.

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真

假关键是要熟悉课本中的性质定理.

8.（3分）如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、

正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0,-2）,表示九龙壁的点的坐标为（8,

2）,则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（）

不•加楼：武门向慢•

■御花园

■

•中需宫・景仁宫:

:不，1殿•乾清门

•保、和殿•儿

中和殿•

•太,和门

西华「J东空门

I••I

•玲，门楼・

A.保和殿（0,2）B.养心殿（・2,3）

C.武英殿（-7,-8）D.景仁宫（8,4）

【分析】根据已知两个点的坐标得出原点位置及单位长度，从而得出答案.

【解答】解：如图所示：保和殿（0,2）,养心殿（-4,6）.武英殿（-7,-6）,景仁宫（4.8）.

故保和殿的点的坐标正确.

故选:A.

卜，--C--

辜武可用楼•

•角楼

御花园

，乾清宫燎仁宫

;养心展W斓布：;;;

--原和康。4康¥

，「太和行-

武英殿：

—Y■■■»

西华门::厂琮土门

•角楼午1V:，角楼.

【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置及单位长度是解题关键.

9.（3分）在平面直角坐标系入仑中，以O,A,B,C为顶点的正方形的边长为3.若点A在x轴上，点

C在y轴的正半轴上，则点8的坐标为（）

A.(3,3)B.(3,-3)

C.(3,3)或(-3,3)D.(-3,-3)或(3,-3)

【分析】根据正方形的性质作出图形,结合图形直接得到答案.

【解答】解:如图,

y、

B1

由图象知，符合条件的点B的坐标为（3,3）或（・3,3）.

故选：C.

【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，解题时，需要对A、8的位置进行分类讨论，以防漏解.

10,（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2,1）,点3在），轴上，对于线段A4有如下四个结论:

①线段A8的最小值是2；

②线段的最大值是2；

③线段A8可能经过点（2,0）；

④线段A8可能经过点（1,3）.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①③B.②③C.②④D.①④

【分析】根据点到坐标轴距离的计算方法及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，依次对四个结论进行

判断即可.

【解答】解：•・•点A（2,1）,

・••点4到），轴的距离为2,

又•・•点8在），轴上，

・,・线段A3的最小值是2.

故①正确.

显然线段无最大值，

故②错误.

•・•点（2,1）和点（2,0）的横坐标相等，

，过这两个点的线段与y轴平行，

又,・,点3在），轴上，

・•・线段A8不可能经过点（2,0）.

故③错误.

•・•过点（1,3）和（2,1）的直线函数解析式为y=-2x+5,

则当x=0时，y=5,

，当点8坐标为（0,5）时，线段A8经过点（1,3）.

故④正确.

故选：

【点评】本题考查坐标与图形性质，熟知点到坐标轴距离的计算方法及平行于坐标轴的直线上点的坐标

特征是解题的关键.

二、填空题（每小题2分，共16分）

II.（2分）述的相反数是一遍.

【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答.

【解答】解：遍的相反数是一遍.

故答案为：一瓜

【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义，熟记概念是解题的关键.

12.（2分）点P（w-1,2〃i+4）在y轴上，则户点坐标是（0,6）.

【分析】根据），轴上点的坐标特点得出关于〃?的方程，求出〃，的值，进而可得出。点坐标.

【解答】解：一点尸（m-1,2*4）在y轴上,

：.m-1=0,

解得m=\,

.•・2〃?+4=2+4=6,

:.P（0,6）.

故答案为：（0,6）.

【点评】本题考查的是点的坐标，熟知），轴上点的横坐标等于0是解题的关键.

13.（2分）如图，数轴上点A,8对应的实数分别是-I,2,点C在线段AB上运动，如果点C表示无理

数，那么点C可以是遮（答案不唯一）（写出一个即可）.

IAfltB1—

-2-1012

【分析】根据所写无理数的取值范围可得答案.

【解答】解：在-I和2之间的无理数可以是直、瓜n-2等，

故答案为：V2（答案不唯一）.

【点评】本题考查实数与数轴，会估算无理数的大小是解题关键.

14.（2分）如图，从位置户到直线公路MN共有四条小道附、PB、PC、PD,若用相同的速度行走，能

最快到达公路MN的小道是一PB,理由是垂线段最短.

【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线的性质即可得到结论.

【解答】解；根据垂线段最短得，能最快到达公路的小道是

故答案为：PB,垂线段最短.

【点评】本题考查了垂线段最短，熟记垂线的性质是解题的关键.

15.（2分）在平面直角坐标系中，如果过点4（1,2）和点B的直线平行于x轴，且AB=3,那么点B的

坐标是（・2,2）或（4,2）.

【分析】根据48所在直线平行于x轴，点A的坐标为（1,2）,可知点8的纵坐标为2.然后分两种

情况讨论①当点B在点A的左边；②当点B在点A的右边.

【解答】解：〈AB所在直线平行于x轴，点A的坐标为（1,2）,

，点8的纵坐标为2.

①当点4在点A的左边时，

•・•点8到点4的距离为3,

，点8的横坐标为1-3=-2.

・••点8的坐标为（-2,2）.

②当点B在点A的右边时，

•・•点8到点A的距离为3,

工点8的横坐标为1+3=4.

工点8的坐标为（4,2）,

・••点8的坐标为（-2,2）或（4,2）.

故答案为（-2,2）或（4,2）.

【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握平行于坐标轴的两点的横纵坐标特点：平

行于横轴时纵坐标相等，平行于纵轴时横坐标相等.

16.（2分）如图，直线。〃儿直线A8分别与直线a,b相交于点。和点8,过点。作射线CELLA8于C,

若Nl=57°,则N2的度数是33°.

【分析】根据平行线的性质可得求出N3=57°,根据垂线定义可得NOCB=90°,然后利用角的和差

关系进行计算即可解答.

【解答】解：如图:

*：a//b,

.\Z1=Z3=57°,

VCD1AB,

：.ZDCB=90°,

.•.Z2=ZDCB-Z3=33°,

【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

17.（2分）如图，雷达探测器探刎到三艘船A,B,C,按照目标表示方法的规定，船4,B的位置分别表

示为A（5,30°）,B（6,300°）,船。的位置应表示为（4,240°）.

【分析】直接利用坐标的意义得出C点坐标即可.

【解答】解：如图所示：船。的位置应表示为（4,240°）.

故答案为：（4,240。）.

【点评】此题主要考查了坐标确定位置.，正确理解坐标的意义是解题关键.

18.（2分）将I,V2,V3,圾,遥按右侧方式排列.若规定（〃?，〃）表示第6排从左向右第〃个数，则

2

（7,3）所表示的数是V5第（5,2）与（20,17）表示的两数之积是

第1

1

第2^

JT

V2V3第3X

J4

Vsn।第

4lt

厉后艮*

Ji5k

1V2V576l

【分析】（7,3）表示第7排从左向右第3个数，表示按1,V5V3,通，遍•排列后的第1+2+3+4+5+6+3

=24个数，由24=5X4+4,得（7,3）表示按1,&V5,岳,痣排列后的第4个数，即底

先求(5,2)表示或.同理可得(20,17)也表示&，故(5,2)与(20,17)标的两数之积是鱼-V2=2.

【解答】解：(7,3)表示第7排从左向右第3个数，表示按T,岳氏衣,遍•排列后的第1+2+3+4+5+6+3

=24个数，由24=5X4+4,得(7,3)表示按1,迎V5,后，述排列后的第4个数，即通.

故答案为：V5.

(5,2)表示第5排从左向右第2个数，表示按1,V2V3,遥，乃•排列后的第1+2+3+4+2=12个数，

由12=5X2+2,得(5,2)表示按1,V2V3,瓜遍排列后的第2个数，即VL同理可得(20,17)

也表示遮，故(5,2)与(20,17)标的两数之积是班•应=2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了数列，解题关键是正确应用找到的规律.

三、解答题(本题共54分，第19・20题，每小题8分；第21・25题，每题5分；第26题6分；第27题7

分)

19.(8分)计算:

(1)|百一2|+J(-2产

(2)V3(4-V3)-5V3.

【分析】(1)根据立方根、绝对值、二次根式的性质与化简分别计算即可：

(2)根据二次根式的混合运算法则计算即可.

【解答】解：(1)V8+|V3-2|+/(^2)2

=2+2-73+2

=6—V3：

(2)V3(4-V3)-5V3

=4V3-3-5V3

=-V3-3.

【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键.

20.(8分)求出下列等式中x的值：

(1)4/=36；

(2)(x-1)3+8=-19.

【分析】(1)根据平方根的定义解答即可；

(2)根据立方根的定义解答即可.

【解答】解：(1)4?=36,

f=9,

.r=±3；

(2)(x-1)3+8=-19,

(x-1)3=-27,

x-I=-3,

Ax=-2.

【点评】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键.

21.(5分)如图，在平面直角坐标系中，三角形48c三个顶点的坐标分别是4(3,4),8(1,2),

C(4,0),将三角形A8C平移后得到三角形A5C,点A,B,C的对应点分别为A',8,C,且A'

的坐标为(7,2).

(1)点、B'的坐标为(-3,0),点C'的坐标为(0,-2).

(2)在平面直角坐标系中画出三角形/V夕C,并写出一种平移方式：将三角形ABC先向左平移4个

单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形AEC.

【分析】(1)由题意可得，三角形A8C是向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到的三角

形AbC,即可得点8,。的坐标.

(2)根据点8,C的坐标，描点再连线即可；根据平移的性质可得答案.

【解答】解；(|)・・・人(3,4),A1(1,2),

••・三角形人8c是向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到的三角形

・•・点夕的坐标为(-3,0),点C'的坐标为(0,-2).

故答案为：(-3,0)；(0,-2).

(2)如图，三角形ABC即为所求.

yA

平移方式：将三角形A8C先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形A5C（答案

不唯一）.

故答案为：将三角形ABC先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的三角形人EC.

【点评】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键.

22.（5分）已知：如图，直线4B,CO相交于点O,ZAOC=40°,0E平分NBOC,求的度数.

【分析］根据邻补角的性质得到N8OC=180°,由角平分线的性质得到NCOE=70°,根据邻补角的

性质可求出答案.

【解答】解：・.・NAOC=40°,

，N8OC=1800-ZAOC=140°,

平分NBOC,

1

，NCOE=*BOC=70°,

，NOOE=180°-^COE=110°.

【点评】本题考查的是邻补角和角平分线的定义，掌握邻补角的和等于180°和角平分线的定义是解题

的关键.

23.（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（a,2）,B（b,0）,C（w,0）,且+（b+=0.

（1）直接写出点48的坐标；

（2）若三角形人5。的面积为6,求小的值.

【分析】(I)因为二/+(b+1)2=0,所以。-2=0,8+1=0,解得力的值，即得点4,B的坐

标；

1

(2)己知三角形A8C的面积为6,4(2,2),B(-1,0),C(〃?，0),可得^xZXIm-(-1)|=6,

可解得机的值.

【解答】解：(1)y/a—2+(Z?+1)2=0,

,'.a-2=0,b+\=0,

解得-

•2,

如图，48在3X2的网格中，

•・•三角形ABC的面积为6,A(2,2),B(-1,0),C(m，0),

1,、

A-x2X|/«-(-1)|=6,

2

解得：m=5或加=-5.

【点评】本题考查了三角形的面积，三角形A8C的面积=2XYAX8C是本题的关键.

24.(5分)已知：如图，AO_L8C于。，EFLBC于F,交AB于G,交CA延长线于£,Z1=Z2.求证:

AQ平分/4AC.

E

【分析】推出八根据平行线的性质得出=/2=NDAC,推出/"W=八C即可.

【解答】证明：VAD1BC,EFLBC.

••・/4。。=/砂。=90°,

：.AD//EF,

，N1=NOA8,Z2=ZDAC,

：,ZDAB=ZDAC,

即AO平分N/MC.

【点评】本题考查了垂直定义，平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力.

25.（5分）我们规定用（a,b）表示一对数对，给出如下定义：记m=9，n=VF（其中〃>0,/?>0）,

将（办〃）与（山m）称为数对（a,b）的一对“和谐数对”.例如：（4,1）的一对“和谐数对"为8,1）

和（1,1）,（1）数对（9,5）的一对“和谐数对”是6眄）和（后；）；

（2）若数对（16,b）的一对“和谐数对”相同，则〃的值为:

（3）若数对（〃，b）的一个“和谐数对”是（5,4）,直接写出加的值当或学.

【分析】（1）根据新定义即可得出结论；

（2）根据新定义，列等式吃=〃，解方程进而得出结论；

V16

（4）根据新定义，分情况列方程组，解出即可得出结论.

［解答］解：（1）*.*m=-^=n=V5,

工数对（16,5）的一对“和谐数对”是（乙，V5）和（遥，-）,

33

故答案为：（士V5）和（遥，3；

33

（2）•・•数对（16,b）的一对“和谐数对”相同,

.._1

16:

故答案为：―;

16

（3）•・•数对（a,b）的一个“和谐数对”是（5,4）,

“=5或修=4

（迎=4\>/b=5

解得去或【”志

3=163=25

..16T25

••ab=TypWc—.

16

故答案为：■或

2516

【点评】本题考查新定义，二次根式，解方程（组），理解和应用新定义是解木题的关键.

26.（6分）已知，直线4B〃CO,点E为直线AB上一定点，直线EK交CZ）于点凡FG平分NDFK,Z

AEF=a.

（1）如图1,当a=70°时，ZGFK=55°；

（2）点。为射线正上一点，点M为直线A4上的一动点，连接PM,过点。作PN_LPM交直线C。

于点N.

①如图2,点尸在线段七尸上，若点M在点E左侧，求NBM尸与NPNC的数量关系；

②点P在线段比的延长线上，当点M在直线46上运动时，NMPN的一边恰好与射线/G平行，直接

写出此时NPN/的度数（用含a的式子表示）.

备用图

【分析】（1）由平行线的性质得/KFC=N/EA=a,由平角的定义得N4/K=110°再由角平分线的定

义求解即可；

（2）①过点P作PQ〃A8,则PQ//AB//CD,根据平行线的性质和等量代换即可求解:

②分当PN//FG时和当PM〃FG时两种情况讨论即可.

【解答】解：,:AB//CD、

：.ZKFC=ZFEA=a,

Va=70°,

:.NKFCnO。,

.•.ZDFK=180°-70°=110°，

•・・