流体动力学-三大方程

流体动力学-三大方程主讲人：任好玲华侨大学机电及自动化学院2026年8月10日第三章流体力学基础2内容提要流量连续性方程伯努利方程动量方程123流量连续性方程简称连续方程，是描述流体运动学的方程，是质量守恒定律在流体力学中的一种具体表现形式。Vρmqm1qm2根据质量守恒定律,则压力变化引起密度变化，表征液体受压缩而增加的质量控制体体积V的变化而增加的质量一、液体流动的连续性方程一、液体流动的连续性方程图3-8管道中的液流根据质量守恒定律，管内液体的质量不会增多也不会减少，所以在单位时间内流过每一截面的液体质量必然相等。如图所示，管道的两个通流面积分别为A1、A2，液体流速分别为v1、v2，液体的密度为ρ，则即或上式称为连续性方程当液体在管道内作稳定流动时连续性方程说明：①在同一管路中无论通流面积怎么变化，只要没有泄漏，液体通过任意截面的流量是相等的；②同时还说明了在同一管路中通流面积大的地方液体流速小，通流面积小的地方则液体流速大；③此外，当通流面积一定时，通过的液体流量越大，其流速也越大。对于图示的分支油路，显然流进的流量应等于流出的流量，故有：Q=Q1+Q2。图3-9分支油路流量关系熟悉吗？？一、液体流动的连续性方程Q1=Q2

1/

2=A2/A1

1*A1=

2*A2一、液体流动的连续性方程EÖL=(1,4-2,0)x10³MPab)如果液体体积不可以改变EFL

Kompressionsmodul(体积）弹性模量FallsΔV/V=1%,dannΔp=14MPaa)如果液体体积可以改变当液体在管道内作非稳定流动时(进≠出）p,V+ΔV

p+Δp,V一、液体流动的连续性方程能量方程又称为伯努利方程，是能量守恒定律在流体力学中的一种具体表现形式。为了研究方便，先讨论理想液体的伯努利方程，然后再对它进行修正，最后给出实际液体的伯努利方程。(实验)(1)理想液体的运动微分方程在液流的微小流束上取出一段通流截面积为dA、长度为ds的微元体，如图示。在一维流动情况下，理想液体在微元体上作用有两种外力：（a）压力在两端截面上所产生的作用力

式中：——沿流线方向的压力梯度。二、伯努利方程（b）作用在微元体上的重力

在恒定流动下这一微元体的惯性力为：式中：u——微元体沿流线的运动速度，。根据牛顿第二定律有：由于，代入上式，整理后可得：这就是理想液体沿流线作恒定流动时的运动微分方程。它表示了单位质量液体的力平衡方程。二、伯努利方程欧拉方程(2)理想液体的能量方程将运动微分方程沿流线s从截面1积分到截面2（见图2.7），便可得到微元体流动时的能量关系式，即：上式两边同除以g，移项后整理得：（2.10）

由于截面1、2是任意取的，所以上式也可写成：

（2.11）

≈0二、伯努利方程上述两式就是理想液体微小流束作恒定流动时的伯努利方程或能量方程。(2)理想液体的能量方程液体静压力基本方程：u2/2g，单位重力液体的动能，称为速度头。伯努利方程：理想液体伯努利方程的物理意义是：理想液体作恒定流动时具有压力能、位能和动能三种能量形式，在任一截面上这三种能量形式之间可以相互转换，但三者之和为一定值，即能量守恒。二、伯努利方程静压力基本方程则是伯努利方程（在速度为零时）的特例理想流体伯努利方程几何意义和能量意义伯努利方程的每一项的量纲都是长度单位，称为压力水头，z称为位置水头，称为速度水头。图3-11伯努利方程能量意义示意图位置水头（比位能）压力水头（比压能）速度水头（比速能）二、伯努利方程(3)实际液体的能量方程实际液体在流动时，由于液体存在粘性，会产生内摩擦力，消耗能量；同时，管道局部形状和尺寸的骤然变化，使液体产生扰动，也消耗能量。因此图中微元体从截面1流到截面2因粘性而损耗的能量为，则实际液体微小流束作恒定流动时的伯努利方程为：二、伯努利方程(3)实际液体的能量方程

为了得出实际液体的伯努利方程，图给出了一段流管中的液流。在流管中，两端的通流截面积分别为A1和A2。在此液流中取出一微小流束，两端的通流截面积各为dA1和dA2。其相应的压力、流速和高度分别为p1、u1、z1和p2、u2、z2。这一微小流束的伯努利方程将上式两端乘以相应的微小流量dq，然后各自对液流的通流截面积A1和A2进行积分，得：二、伯努利方程(3)实际液体的能量方程

上式左端及右端的前两项积分分别表示单位时间内流过A1和A2的流量所具有的总能量，而右端最后一项则表示流管内的液体从A1流到A2损耗的能量。为使公式便于实用，首先将图中截面A1和A2处的流动限于平行流动（或缓变流动），这样，通流截面A1和A2可视为平面，在通流截面上除重力外无其它质量力，因而通流截面上各点处的压力具有与液体静压力相同的分布规律。其次，用平均流速

代替液流截面A1和A2上各点处不等的流速u，且令单位时间内截面A处液流的实际动能和按平均流速计算出的动能之比为动能修正系数

，即：

此外，对液体在流管中流动时产生的能量损耗，也用平均能量损耗的概念来处理，即令：二、伯努利方程(3)实际液体的能量方程整理后可得：式中，

1、

2分别为截面A1、A2上的动能修正系数。就是仅受重力作用的实际液体在流管中作平行（或缓变）流动时的伯努利方程。它的物理意义是单位重力液体的能量守恒。其中hw为单位重力液体从截面A1流到截面A2过程中的能量损耗。伯努利方程揭示了液体流动过程中的能量变化规律。它指出，对于流动的液体来说，如果没有能量的输入和输出，液体内的总能量是不变的。它是流体力学中一个重要的基本方程。它不仅是进行液压传动系统分析的基础，而且还可以对多种液压问题进行分析和计算。二、伯努利方程为什么静止时同高的测压管，在液体流动后会出现高低变化？流量增大时，测压管的高度如何变化，为什么？1、2、3点的压力大小如何排序？3、4点的压力为什么不同？那个更高？液体为什么会从低压流到高压处？二、伯努利方程二、伯努利方程速度高

压力低压力能转化为动能完全可能导致负压二、伯努利方程计算泵的出口压力如图所示，泵驱动液压缸克服负载而运动。设液压缸中心距泵出口处的高度为h，则可根据伯努利方程来确定泵的出口压力。选取I-I，II-II截面列伯努利方程以截面I-I为基准面。则有二、伯努利方程因此泵的出口压力为:在液压传动中，油管中油液的流速一般不超过6m/s，而液压缸中油液的流速更要低得多。因此计算出速度水头产生的压力和γh的值比缸的工作压力低得多，故在管道中，这两项可忽略不计。这时上式可简化为:二、伯努利方程通过上面的例子分析，可将应用伯努利方程解决实际问题的一般方法归纳如下：1.选取适当的基准水平面,确定高度h；2.选取两个计算截面，一个设在已知参数的断面上，另一个设在所求参数的断面上；3.按照液体流动方向列出伯努利方程；4.若未知数的数量多于方程数，则必须列出其他辅助方程，联立求解——连续性方程5.不熟悉的情况下，列写完整的形式二、伯努利方程【例1】水管里的水在压强p=4x105Pa的作用下流入房间，水管的内径2cm，管内水的流速4m/s。引入到高5m的二楼浴室水管，内直径1cm。试求浴室水管内水的流速和压强？水的密度是103kg/m3v=16m/sP2=2.31x105Pa二、伯努利方程【例2】已知h1和h2，问：1）截面均匀的下端D被塞住时，ABC三处的压强各是多少？2）D端开启时，ABC三处的压强又是多少？这时水流出D处的流速是多少？1）D被塞住时，液体不动，处于静止状态：pA=pB=papC=pa-ρgh1pD=pC+ρgh2=pa+ρg(h2-h1)二、伯努利方程D端开启，液体流动——动力学——伯努利方程A点：B点：???D点：选择AD两点列写伯努利方程：二、伯努利方程D端开启，液体流动——动力学——伯努利方程BCD属于同一管路，粗细相同：BD两点：CD两点：二、伯努利方程【例3】空吸现象水平管路，只考虑压力能和动能当发生空吸现象喷雾器水流抽气机二、伯努利方程【例4】测流速皮托管内管——动压力外管——静压力二、伯努利方程【例5】测流量截面A处，面积S1，流速v1，压力p1截面B处，面积S2，流速v2，压力p2文丘里流量计p1p2测出U形管的高度差，即可知道管道的速度和流量二、伯努利方程动量方程是动量定理在流体力学中的具体应用。用动量方程来计算液体作用于壁面上的力很方便。动量定理：作用在物体上的合外力的大小等于物体在力作用方向上的动量变化率

将动量定律应用于流体时，必须在任意时刻t时从流管中取出一个由通流截面A1和A2围起来的液体控制体积，如图所示。这里，截面A1和A2是控制表面。在此控制体积内取一微小流束，其在A1、A2上的通流截面为dA1、dA2，流速为u1、u2。假定控制体积经过dt后流到新的位置，则在dt时间内控制体积中液体质量的动量变化为：三、液体稳定流动时的动量方程体积VII

中液体在t+dt时的动量为：

式中：ρ

——液体的密度。同样可推得体积VI中液体在t时的动量为：当时，体积，应用动量定律，得：若用流管内液体的平均流速

代替截面上的实际流速u，其误差用动量修正系数

予以修正，且不考虑液体的可压缩性，即，而，则上式经整理后可得：为流体力学中的动量定律。等式左边为作用于控制体积内液体上外力的矢量和；而等式右边第一项是使控制体积内的液体加速（或减速）所需的力，称为瞬态液动力，等式右边第二项是由于液体在不同控制表面上具有不同速度所引起的力，称为稳态液动力。瞬态稳态上式表明作用在液体控制体积上的外力总和等于单位时间内流出与流入控制表面的液体动量之差对于作恒定流动的液体，右边第一项等于零，于是有：三、液体稳定流动时的动量方程作用在阀芯上的轴向液动力有稳态轴向液动力和瞬态轴向液动力两种。1)稳态轴向液动力稳态液动力是阀芯移动完毕开口固定以后，液流流过阀口时，因动量变化而作用在阀芯上的力。在这种情况下，阀腔内液体的流动是定常流动。

2)瞬态液动力当滑阀阀芯移动使阀口开度变化时，将引起流量q变化，控制体中液体产生加速度，而使其动量发生变化，于是液体质点系受到一附加瞬态力的作用。其反作用力就是作用在阀芯上的瞬态液动力。三、液体稳定