《线性代数及其应用》课件 第2章 行列式

2.1行列式的定义第2章行列式1.二阶行列式的引入类似地，也可以得到：

我们首先回顾用Gauss消元法求解二元线性方程组的解法：两式相减，得到：1.二阶行列式的引入(续)当时，解的表达式的分母由方程组的四个未知数的系数确定.二元线性方程组记号数表

的解为我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即2.二阶行列式的定义定义2.1由四个数排成二行二列(横排称为行、竖排称为列)的数表表示代数式，称这个数表为一个二阶行列式，并记作其中，称为行列式的元素，

i为行标，表明元素位于第i行；

j为列标，表明元素位于第j

列.3.二阶行列式的计算对角线法则：例如：主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积.

二元线性方程组若令(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为4.二阶行列式的一个应用5.例1例1

求解二元一次线性方程组

解：因为所以6.三阶行列式的定义设有9个数排成三行三列的数表称为由以上3行3列数表所确定的一个三阶行列式.6.三阶行列式的定义(续)(1)沙路法

(2)对角线法则红线上三元素的乘积冠以正号蓝线上三元素的乘积冠以负号6.三阶行列式的定义(续)注：(1)对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．(2)三阶行列式包括3!项，每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负.6.三阶行列式的定义(续)7.例2

例2

计算三阶行列式

解：

例3求解方程

解：方程左端为由此解得

8.例39.三阶行列式的一个应用再设假设三元一次线性方程组的系数行列式9.三阶行列式的一个应用(续)的解为则用消元方法可得三元线性方程组10.引例共有种放法，可以组成6个没有重复数字的三位数．

引例：用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？123123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法

解：11.全排列定义2.2把n个不同的元素排成一排，称为一个n元排列(或简称排列).同理：问题：

n个不同的元素排成一排，共有几种不同的排法？

n个不同的元素的所有排列的总数，通常用表示.由引例可知：所有6种不同的排法中，只有一种排法(123)中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前.因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”.

3个不同的元素一共有3!=6种不同的排法123，132，213，231，312，32111.全排列规定：

各元素之间有一个标准顺序，n个不同的自然数，规定由小到大为标准顺序．12.逆序数按照这个规定，排列123······n称为一个标准排列(或自然排列)．例如：排列32514中，32514逆序逆序逆序定义2.3当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序.3251412.逆序数(续)定义2.3(续)一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.通常用故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.

例如：排列32514中，31

定义2.3(续)逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列.0

来表示排列的逆序数.0113.计算排列逆序数的方法方法：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码的个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这些元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.14.例4

例4

求排列32514的逆序数.

解：在排列32514中：3排在首位，逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3，故逆序数为1;5的前面没有比5大的数，其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个，故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个，故逆序数为1.32514于是排列32514的逆序数为

这个排列是奇排列.0103115.例5

例5

计算下列排列的的逆序数，并讨论它们的奇偶性：(1)217986354

解：此排列是偶排列.15.例5(续)

解：当时，此排列是偶排列.当时，此排列是奇排列.(2)15.例5(续)

解：当为偶数时，此排列是偶排列.当为奇数时，此排列是奇排列.(3)n

阶行列式问题1:由哪些项组成？问题2:总项数为多少？问题3:每项符号如何确定？16.n阶行列式的引入16.n阶行列式的引入(续)考察三阶行列式总结：(1)三阶行列式共有

项，即6项．(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．(3)每一项可以写成（正负号除外），其中是1、2、3的某个排列.(4)当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.

例如：的列标排列的逆序数：偶排列，符号：+的列标排列的逆序数：奇排列，符号：-所以有16.n阶行列式的引入(续)17.n阶行列式的定义

定义2.4由个数排成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和记作也简记为，数称为行列式的元素.其中，为自然数的一个排列，为这个排列的逆序数.

也就是说，17.n阶行列式的定义(续)注：

(1)n阶行列式是

项的代数和.

(2)n阶行列式的每一项都是位于不同行,不同列的n个元素的乘积.

(3)前面的符号为.

(4)行列式是一种特定的算式，它首先是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次线性方程组的需要而定义的，但其用途大大拓广了.17.n阶行列式的定义(续)18.例6例6写出四阶行列式中含有因子

的项.解：和

答：符号

可以有两种理解：若理解成绝对值，则

；若理解成一阶行列式，则

.思考：

成立吗？注：当n=1时，一阶行列式|a|=a，注意不要与绝对值的记号相混淆.例如：一阶行列式

.19.知识点对比行数不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式20.方阵的行列式若则称矩阵A为非奇异矩阵,否则称为奇异矩阵.定义2.5由

n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵

A的行列式，记作|A|或detA.例如：21.例7

例7

计算上三角矩阵A=的行列式.

解：展开式中项的一般形式是因此，只需考虑所以，可能不为零的项只有.21.例7(续)于是有例如：上三角行列式同理可得下三角行列式特别地，对角行列式21.例7(续)22.例8例8

计算副对角行列式.

解：展开式中项的一般形式是若，则，从而这个项为零，所以只用考虑的项.同理可知，只用考虑的项.也就是说，行列式展开式中可能不为零只有.22.例8(续)于是有23.例9例9

证明

.

证明：若记，则有于是有例如：23.例9(续)24.四个结论(1)对角行列式(2)副对角行列式

(3)上三角行列式（主对角线下侧元素都为0）(4)下三角行列式（主对角线上侧元素都为0）24.四个结论(续)

(1)二阶和三阶行列式是由解二元和三元一次线性方程组引入的.

(2)二阶与三阶行列式的计算——对角线法则.(4)计算排列逆序数.(5)排列具有奇偶性.(3)n个不同的元素的所有排列总数为.(6)行列式是一种特定的代数式.(7)n阶行列式共有项的代数和，每项都是位于不同行、不同列的n个元素的乘积，其正负号由下标排列的逆序数决定.(8)四种特殊的行列式.25.本节小结26.思考题1已知，求中的系数.解：中含的项有两项：故中的系数为.试判断和是否都是六阶行列式中的项.解：下标的逆序数为所以，是六阶行列式中的项.而下标的逆序数如下计算所以，不是六阶行列式中的项.27.思考题2在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.解:(1)列表排列431265的逆序数为所以，前边应带正号.

(2)28.思考题3列表排列452316的逆序数为所以，前边应带正号.28.思考题3(续)计算

.解：因为所以，.29.思考题42.2行列式的性质与计算第2章行列式1.转置行列式及其性质为行列式D的转置行列式.记n阶行列式则称若记,则.

性质2.1行列式与它的转置行列式相等.注：以上性质说明：行列式中行与列具有同等的地位，因此，行列式的性质凡是对行成立的，对列也同样成立！2.行列式中两行(列)互换的性质

性质2.2互换行列式的两行(列)，行列式变号.例如:第i行与第j行互换，记作.

第i列与第j列互换，记作.

注：2.行列式中两行(列)互换的性质(续)于是.

推论2.1若行列式有两行(列)元素完全相同，则此行列式为零.

证明：互换相同的两行，有3.行列式的数乘性质性质2.3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数，等于用这个数乘此行列式.即某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.

证明：3.行列式的数乘性质(续)注：第i行乘k，记作.

第i列乘k，记作.

第i行提出公因子k，记作.

第i列提出公因子k，记作.

注：

数乘矩阵与数乘行列式是有区别的：4.行列式中两行(列)元素的比例性质推论2.3行列式中若有两行(列)元素成比例，则此行列式为零.

证明：5.行列式的拆分性质性质2.4若行列式的某一行(列)元素都是两数之和，则它等于两个行列式之和.

5.行列式的拆分性质(续)证明：6.两个行列式/矩阵相加的区别知识点比较

7.行列式中行(列)相加的性质性质2.5把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．7.行列式中行(列)相加的性质(续)

证明：7.行列式中行(列)相加的性质(续)注：第i行乘k加到第j行上，记作.

第i列乘k加到第j列上，记作.

8.利用行列式性质计算行列式的的思路利用行列式的性质，特别是以下运算将行列式化为上(下)三角形行列式，从而算出行列式的值．9.例1例1

计算

解：9.例1(续)9.例1(续)9.例1(续)10.例2例2

计算n阶行列式

解：将第2、3、…、n列都加到第1列得10.例2(续)例3(练习)计算4阶行列式(1)(2)

(3)11.例312.例4例4

设，且设证明：.12.例4(续)

证明：对作运算，将其化为下三角形行列式，设为对作运算，将其化为下三角形行列式，设为12.例4(续)对的前k行作运算，再对后n列作运算，将化为下三角行列式故13.例5

例5计算行列式13.例5(续)

解：将第2n行依次与第2n-1行、第2n-2行、···、第2行作对换，可得再将第2n列依次与第2n-1列、第2n-2列、···、第2列作对换，可得13.例5(续)于是，由例4的结论有13.例5(续)以此作递推，可得14.关于行列式的运算顺序

例如：特别值得注意的是：上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法，要注意各个运算次序一般不能颠倒，因为后一次运算是作用在前一次运算的结果上.15.方阵行列式的运算性质(1)(2)(3)(4)注：虽然但16.例6例6

设A是三阶方阵，且，求和.

解：17.行列式展开的引入考虑三阶行列式：一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算！问题：一个n

阶行列式是否可以转化为若干个n-1阶行列式来计算？18.余子式与代数余子式定义2.6在一个n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作.

称为元素的代数余子式．例如：18.余子式与代数余子式(续)注：

行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式．19.引理引理一个n阶行列式D，如果其中第i行所有元素除外都为零，那末这个行列式等于与它的代数余子式的乘积，即例如：19.引理(续)

证明：当位于第一行第一列时,由上一节的例题，有又因为，从而19.引理(续)将D的第i行依此与第i-1行、第i-2行、···、第1行作对换，可得再证一般情形，此时19.引理(续)再将以上行列式第j列依次与第j-1列、第j-2列、···、第1列作对换，可得19.引理(续)19.引理(续)因此有，我们以4阶行列式为例.思考：能否以代替两次行变换？

被调换到第1行，第1列.19.引理(续)20.行列式按任一行(列)展开定理2.1行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

证明：只对行的情形证明，列的情形类似可证．20.行列式按任一行(列)展开(续)注：定理2.1称为行列式按行（列）展开定理．21.例7例7

计算行列式

解：21.例7(续)22.利用展开法则计算行列式的思路(1)利用行列式的性质，将行列式的某一行（列）尽量多地化出0；(2)利用展开法则将行列式展成低阶行列式；(3)依此下去；(4)直至展成二阶行列式或者可直接计算的行列式．23.例8例8

计算行列式

解：23.例8(续)24.例9

例9

证明：范德蒙德（Vandermonde）行列式24.例9(续)

证明：用数学归纳法证明.因为所以，当n=2时，Vandermonde行列式成立.假设Vandermonde行列式对于n-1阶成立，下面考虑n阶的情形.从第n行开始,后一行加上前一行的倍,可得24.例9(续)按第1列展开，并将每列的公因子提出，得到

n-1阶Vandermonde行列式24.例9(续)因此有24.例9(续)25.一个推论推论2.4行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即25.一个推论(续)

证明：将行列式按第j行展开，有上式中，将换成，可得25.一个推论(续)所以有相同类似可证26.代数余子式的重要性质

将定理2.1和推论2.4结合，我们将得到以下重要性质：对于n阶行列式D，它的元素的代数余子式满足：27.例10例10设，求和.

解：27.例10(续)28.本节小结

3.计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值；(3)利用行列式按行（列）展开法则，把高阶行列式的计算化为低阶行列式的计算.1.行列式的5个性质及其推论(行列式中行与列具有同等的地位,凡是对行成立的性质对列也同样成立).2.方阵行列式的运算性质.4.29.思考题1计算解：29.思考题1(续)30.思考题2解：设，计算和.30.思考题2(续)31.思考题3求以下行列式的第一行各元素的代数余子式之和：解：第一行各元素的代数余子式之和可以表示成：31.思考题3(续)箭形行列式目标：把第一列化为从而得到三角形行列式32.思考题4计算.解：32.思考题4(续)谢谢各位同学！2.3行列式的应用第2章行列式1.伴随矩阵定义2.7行列式|A|的各个元素的代数余子式

Aij所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵.注：元素aij的代数余子式Aij位于第

j行第i

列.2.例1

例1求矩阵的伴随矩阵.

解：按定义，因为2.例1(续)所以3.伴随矩阵的重要性质定理2.2设A*为n阶方阵A的伴随矩阵，则必有

证明：同理可得：于是注：

这个结论对任意方阵成立！它在矩阵的理论分析中有重要作用.4.方阵可逆的充分必要条件定理2.3

n阶方阵A可逆的充分必要条件是

，且当A可逆时，由定义1.13可知，A是可逆的，且证明：由定理2.2，若，有5.奇异矩阵与非奇异矩阵由上述讨论可知：

可逆矩阵非奇异矩阵奇异矩阵非奇异矩阵

不可逆矩阵奇异矩阵6.例2例2

求的逆矩阵(假定A的行列式不为零).

解：易知所以，当时，7.例3

例3

求3阶方阵的逆矩阵.

解：因为则8.例4

例4已知，求.

解：因为，所以A可逆.且8.例4(续)一般地，若，则8.例4(续)9.逆矩阵的重要定理定理2.4设A，B是同阶方阵，且满足AB=E，则A，B都可逆，且证明：由条件，两边取行列式可得故，因此有存在，于是注：

以上推论说明，判断B是否为A的逆矩阵，只需验证AB=E和BA=E中的一个即可．例5设方阵A满足方程，证明A和都可逆，并求它们的逆矩阵.

证明：由条件可得所以A可逆，且10.例5分析：矩阵等式，要证A可逆，应设法从已知关系式分解出因子A，并把已知矩阵等式改写为AB=E的形式，则A可逆，且A-1

=B.

10.例5(续)所以可逆，且再由条件可得(4)若A可逆，则11.逆矩阵的性质(1)若A可逆，则也可逆，且.(2)若A可逆，，则也可逆，且(3)若A可逆，则(5)若A可逆，则可逆，且

(6)若A，B为同阶可逆方阵，则AB也可逆，且

推广：12.例6例6

设A为3阶矩阵，，求

解：因为，所以二元线性方程组若令(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为13.克拉默法则的引入含有n个未知数n个方程的线性方程组Ax=b的形式是其中，称为这个线性方程组的系数行列式.14.

n个未知数n个方程的线性方程组15.克拉默法则定理2.5(克拉默法则)线性方程组Ax=b的系数行列式时，线性方程组Ax=b有唯一解，其解为其中，是将D中的第j列换成方程组右端的常数项得到的行列式.15.克拉默法则(续)16.克拉默法则的等价命题定理2.6如果线性方程组Ax=b的系数行列式不等于零,即，则方程组一定有解，且解是唯一的.

定理2.7如果线性方程组Ax=b无解或者有无穷多解，则它的系数行列式必为零，即.

17.例7

例7

求解方程组

解：由和Cramer法则可知，方程组有唯一解：17.例7(续)18.关于Cramer法则的说明

(1)Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等且系数行列式不为零的情形．

(2)Cramer法则的理论意义是：给出了解与系数的解析表达式．

(3)用Cramer法则求解线性方程组计算量大，实际求解时并不可取，但它具有重要的理论意义．定理2.9如果齐次线性方程组Ax=0有非零解，则它的系数行列式必等于零，即.19.齐次线性方程组的相关结论定理2.8如果齐次线性方程组Ax=0的系数行列式不等于零，即，则齐次线性方程组只有零解，即.20.例8

例8

问取何值时，齐次方程组有非零解？

解：如果齐次方程组有非零解，则必有.所以时齐次方程组有非零解.21.本节小结4.用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1)方程个数等于未知量个数；(2)系数行列式不等于零.5.克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于理论推导．逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵存在.

逆矩阵的计算方法：方法一：利用公式方法二：利用公式.22.思考题1若为非零实矩阵，且，证明A为可逆矩阵.证明：设，由可知因此，A可逆.23.思考题2若A,B均为n阶可逆矩阵，证明(1);(2).证明:(1)由假设可知，AB也可逆.且由可知同理有于是23.思考题2(续)

(2)首先有于是又于是24.思考题3当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解是什么情况？答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.谢谢各位同学！第2章行列式2.4

矩阵的秩1.矩阵的k阶子式

定义2.8

在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m,k≤n)，位于这些行列交叉位置的个元素，保持相对位置不变构成的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.例如：有2阶子式：有3阶子式：一个m×n矩阵A，它的k阶子式共有个.概念辨析：k阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式1.矩阵的k阶子式(续)相应的代数余子式矩阵A

的一个2

阶子块矩阵A

的一个2

阶子式与元素

相对应的余子式1.矩阵的k阶子式(续)矩阵而它的所有4阶子式都等于0.有如下的一个三阶子式不等于零：1.矩阵的k阶子式(续)2.矩阵的秩的定义定义2.9设A为m×n矩阵，如果A中有一个r阶子式

不等于0，且它的所有r+1阶子式（如果存在的话）都等于0，那么，

称为矩阵A的最高阶非零子式，数r

称为矩阵A的秩，记作R(A).规定零矩阵的秩为0.注：

当R(A)=min(m,n),称矩阵A为满秩矩阵，否则称A为降秩矩阵.矩阵A的一个3阶子式矩阵A的2

阶子式

如果矩阵A中所有2阶子式都等于零，那么这个3

阶子式也等于零．2.矩阵的秩的定义(续)2.矩阵的秩的定义(续)注：

根据行列式按行(列)展开法则可知，矩阵A中任何一个r+2阶子式(如果存在的话)都可以用r+1阶子式来表示．如果矩阵A中所有r+1阶子式都等于零，那么所有

r+2阶子式也都等于零．事实上，所有高于r+1阶的子式(如果存在的话)也都等于零．

因此矩阵A

的秩就是A

中非零子式的最高阶数．A的最高阶非零子式不一定唯一，但它的阶数是唯一的.故.3.例1

解：在矩阵A中，显然有一个2阶子式

例1

求矩阵的秩.而A的三阶子式只有一个，就是|A|，但4.矩阵秩的性质

(3)

.

(2)若矩阵A的所有t阶子式都为零，则R(A)≤t.(6)n阶矩阵A可逆的充分必要条件是R(A)=n.

(5)

(1)若矩阵A中有一个r阶子式不为零，则R(A)≥r.

(4)

(7)

.矩阵A

的一个2

阶子式矩阵AT

的一个2

阶子式AT

的子式与A

的子式对应相等，从而R(AT)=R(A)．4.矩阵秩的性质(续)4.矩阵秩的性质(续)

(8)

.

证明：不妨设A，B为m×n矩阵，有初等列变换于是有

(9)若A为m×n矩阵，P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，则有R(PAQ)=R(A)

.即用可逆矩阵乘某矩阵，不改变该矩阵的秩.证明略.例2

求矩阵A

和B

的秩，其中

解：在A

中，2阶子式．A

的

3阶子式只有一个，即|A|，而且|A|=0，因此R(A)=2

．5.例2例2

求矩阵A

和B

的秩，其中解(续)：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此其4阶子式全为零．以非零行的第一个非零元为对角元的3阶子式,因此

R(B)=

3

．还存在其它3阶非零子式吗？5.例2(续)解（续）：B

还有其它

3

阶非零子式，例如结论2：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数．结论1：例2中3阶子式不唯一，但是其阶数是唯一的．例2

求矩阵A

和B

的秩，其中5.例2(续)6.矩阵秩的求法引例：求矩阵A

的秩，其中．分析：在

A中，2阶子式．A的3

阶子式共有(个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等？6.矩阵秩的求法(续)6.矩阵秩的求法(续)定理2.10若A~B，则R(A)=R(B).

应用：根据这一定理，求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩．7.例3例3求矩阵的秩，并写出这个矩阵的一个最高阶非零子式.

解：对A作初等行变换如下：7.例3(续)由于矩阵B是行阶梯形矩阵，且其第四行元素全为零，所以R(B)=3.由定理2.10可知R(A)=3．7.例3(续)下面求A的一个最高阶非零子式．由R(A)=3可知，A的最高阶非零子式是3阶的，而A的3阶子式有个，如何找呢？考察B的第1、2、4列，记为显然，．7.例3(续)对应地，记A的第1、2、4列为显然，是由进行初等行变换得到的，与等价，于是即中必有3阶非零子式．计算的前三行构成的子式7.例3(续)上述子式便是A

的一个最高阶非零子式.8.例4

例4设，已知，求.

解：因为，所以8.例4(续)即9.例5

例5

设，求