立体几何初步解答题的十大重难题型（期末复习讲义）（原卷版）-2025-2026学年高一数学下学期期末（人教A版）

直击立体几何初步解答题【十大重难题型】

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明•期末考清把握命题趋势,明确备考路径

记•必备知识梳理核心脉络,扫除知识盲区

破•重难题型题型分类突破,方法技巧精讲

题型01共点、共线、共面的证明题型02表面积或体积问题

题型03垂直关系与平行关系的综合题型04平行关系与空间角的综合

题型05垂直关系与空间角的综合题型06位置关系与空间距离的综合

题型07位置关系与体积（表面积）的综合题型07定义法求二面角（或两平面的夹角）

题型08存在性问题题型09折叠问题

题型10新定义题型（跨章节）

过•分层验收阶梯实战演练，验收复习成效

明•期末考情.

核心考点复习目标考情规律

共点、共线、共共点、共线、共面的证明，掌握基本解答题中极少单独考查，多作为证明

面的证明公理及推论，能用同一法、辅助平平行、垂直的辅助步骤，考查对基础

面法证明点线面位置关系，规范逻公理的理解与应用.

辑表达.

空间几何体的空间几何体的体积或表面积，掌握常作为解答题第一问考查，以棱锥、

体积或表面积柱锥台球公式，能用割补法、等体棱柱体积为主，需结合线面垂直确定

积法解决不规则几何体计算，规范高，考查公式应用与转化思想.

书写过程.

平行或垂直的平行或垂直的证明，熟练掌握线线、是解答题的核心基础考点，常作为第

1/32

证明线面、面面平行与垂直的判定及性一问，需通过中位线、勾股定理等构

质定理，能规范完成几何法证明.造条件，考查空间想象与逻辑推理.

空间角空间角，理解异面直线角、线面角、解答题高频考点，常作为第二问，重

二面角定义，能通过几何法找角、点考查线面角、二面角，需结合垂直

构造直角三角形求解.关系作辅助线，用解三角形完成计

算.

空间距离空间距离,掌握点面距、线面距定义，能解答题中极少单独考查，常隐含在体积计

通过转化为点面距，用垂线段或等体积算中，多通过等体积法间接求解，考查转

法求解.化与化归思想.

■卜记•必备知识.

及知识点01几何体的表面积与体积公式

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

，—:

侧面展开图

翳

侧面积公式s册州=2兀”S3科信=兀”s假台侧=兀3+/2）/

2.柱体、锥体、台体和球的表面积和体积

名称

表面积体积

几何体

柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S的+2S底V=Sh

1

锥体（棱锥和圆锥）S表面用=Sfti+S底V=-Sh

3

台体（棱台和圆台）s表而机=s忸+S上+S下上+S下+Js上S下）力

4

球S=4nR2P-FR3

3

3.多面体的内切球与外接球常用的结论（非常有用）

。）设正方体的棱长为。，则它的内切球半径外接球半径争.

⑵设长方体的长、宽、高分别为“一，C，则它的外接球半径R二^尹

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(3)设正四面体的棱长为小则它的高为“=¥处内切球半径,•=；〃=洛，外接球半径R=£7=?.

强知识点02异面直线所成的角

1.定义：已知处方是两条异面直线，经过空间任意一点。作直线"〃”，bf//b,把J与"所成的角叫做异

面直线a目b所成的角(或夹角).

2.范围:

限知识点03平行关系

1.直线与平面平行

⑴直线与平面平行的定义

直线I与平面。没有公共点，则称直线/与平面a平行.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果平面外一条直线与此a____

判定定理平面内的一条直线平行，aGa,bua,a//b=>a//a

那么该直线与此平面平行

一条直线和一个平面平

行，如果过该直线的平面a//a,auB,aAB=

性质定理

与此平面相交，那么该直b=a"b

线与交线平行

2.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)刊定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一个平面内的两

auB,buB,aCb=

条相交直线与另一个

判定定理

P,a//afb//a=>a//

平面平行，那么这两

B

个平面平行

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两个平面平行，则其

性质中一个平面内的直线a//P，aua=a〃8

平行于另一个平面A__/

两个平面平行，如果

另一个平面与这两个

a//p,aCly=af夕Gy

性质定理

平面相交，那么两条=b=>a//b

交线平行

知识点04垂直关系

1.直线与平面垂直

直知识点02(1)直线和平面垂直的定义

如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面«互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一条直线与一个平

//_La

面内的两条相交直线垂I_Lh

判定定理殛7anh=o=/J_a

直，那么该直线与此平aua

bua

面垂直J

b

垂宜于同一个平面的两

a_L〃).

性质定理

条直线平行b±af

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直

于平面，则它们所成的角是90。；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0。.

(2)范围:

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①②。4ua,OBuB；③O4JJ,OBAJ,则二面角a-1-fi的平面角是/月08.

(3)二面角的平面角a的范围：0°<a<180°.

4.平面与平面垂直

4/32

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一个平面过另一个平面

/1a\iq

判定定理的垂线，那么这两个平面垂£

直h

两个平面垂直，如果一个平

aB

面内有一直线垂直于这两个工、

性质定理

1±a)

平面的交线，那么这条直线幻,LJ5\

与另一个平面垂直

.破•重难题型.

团题型一共点、共线、共面的证明

;解।题।技i巧:

;共面、共线、共点问题的证明:

上.共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.1

.共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.:

.共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.j

................................................................................................................................................................I

【典例1](25-26高一下•宁夏银川•期中)如图，已知E,F,G,"分别是正方体力BC。-/£CQ的棱

AB,BC,CC,,的中点，且Q与AC?相交于点。.

5/32

⑴求异面直线Eb与力用所成角的大小;

⑵求证：点。在直线QC上；

(3)求证：E、尸、4、G四点共面.

【变式1】(25-26高一下•山东泰安・期中)在正方体48co-4KGA中，E,尸分别为D£,B©的中点,

ACC\BD=P,4CQEF=Q,如图.

(1)求证：。,仇民尸四点共面;

⑵作出直线4c与平面BDEF的交点R的位置.并给出理由.

6/32

3题型二表面积或体积问题

：解।题।技।巧

：1.求空间几何体表面积的常用方法：

；（1）多面体的表面积是各个面的面积之和.

12）旋转体的表面积是将其侧面展开后，展开图的面积与底面面积之和.

：（3）组合体的表面积求解时应注意对衔接部分的处理.

j2.求空间几何体的体积的常用方法

;公式法规则几何体的体枳，直接利用公式

［割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体

「等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积

【典例2］（25-26高一下•吉林四平•期中）如图，在边长为4的正三角形/AC中，E,尸分别是边/A,,4。

上的中点，EF//BC,AD1BC,EH1BC,FG1BC,垂足分别是。，H,G,将△48C绕力。所在直线旋转

180。.

⑴求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积匕

⑵求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S.

7/32

【变式2-1*25-26高一下•黑龙江鸡西•期中）如图，在四棱锥尸一月蛇。中，月68为正方形，尸片平面45c。；

PA=AB=AD=1,

⑴求四棱锥尸-力8。。的表面积;

（2）求四棱锥。-44C。的体积.

【变式2-2］（25-26高一下•新强阶段检测）如图，正四棱锥—品'力的底面积为3,。为正方形4BCD

的中心.

8/32

⑴若正四楂锥。-4的高为求它的表面积.

⑵若正四棱锥尸-48C。的外接球的体枳为半兀，求正四棱锥的体积.

包题型三垂直关系与平行关系的综合

解|题|技|巧

垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直性质及判定的综合应用.

【先例3](25-26高一下•贵州毕节•期中)如图，在正方体中，S是的中点，E,F,

G分别是EC,CD,S9的中点，求证：

⑴平面即G||平面BDD.B.；

(2)45_1平面初心.

9/32

【变式3-1］（25-26高一下•北京•期中）已知四棱锥P-488,底面48co为矩形，E、F、G分别是

PC、PD、8c的中点.设平面尸/。与平面尸8c的交线为/,平面尸力。L平面48co.

⑴证明：平面〃平面产力8；

⑵求证：BC//1；

（3）求证：DC上PA.

【变式3-2］（25-26高一下•黑龙江牡丹江•期中）如图所示，四棱锥中，AB上AD,CDA.AD,PAL

底面/ACO,P4=4O=CQ=248=2,M为PC的中点.

10/32

⑴求证：RW//平面尸力。：

（2）在侧面内找一点M使MN_L平面「8。.

包题型四平行关系与空间角的综合

解|题|花|巧

先证平行：借助中位线、平行四边形、面面平行判定完成线线、线面、面面平行推导.

再求空间角：异面直线角平移构相交角；线面角找射影定夹角；二面角作棱的垂线/垂面找平面角.

最后结合解三角形、几何性质完成计算.

【典例4］（25-26高一下•浙江•期中）如图，在平行四边形48co中，AB=2AD=4,A=^点E为48的

中点，将沿直线。石翻折成△4。？（点4不在面8COE内），点/为4。的中点.在△力。上翻折过程

中，

11/32

4

(1)正明：直线所〃平面4OE；

(2)若4C=J历，求二面角4一。E-C的大小.

【变式4-1](25-26高一下•江苏镇江•期中)如图，一块校长为2正方体形木料力BCD-44GA的上底面

内有一点M，产是8。的中点.

⑴过点M作出一条直线/，使得〃〃尸，并写出作图过程;

⑵求直线AF与4c所成角的余弦值;

⑶若点E是CG的中点，证明：直线力RAJOC三条直线交于一点.

12/32

【变式4-2]（25-26高一下•浙江•期中）已知四棱锥P-/18C。，PC_L平面AB//CD,BCLAB,

PC=BC=CD=；AB=1,点E为P4中点、.

⑴求证：DE〃平面PBC；

⑵求二面角E-8c-4的平面角的正切值；

⑶作出过丛C,E三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长.

包题型五垂直关系与空间角的综合

回题|技|巧

:先证垂直：用线线、线面、面面垂直判定与性质，结合等腰三角形、勾股定理推证.

;再求空间角：异面直线角平移相交取锐角；线面角找射影；二面角作棱的垂线确定平面角.

:依托直角三角形、正余弦定理完成计算.

j

【典例5]（25-26高一下•湖南益阳・期中）如图，在四棱锥尸-48CO中，底面488是正方形，P/1_L平面

ABCD,垂足为力，PA=AB=4,4C交BD于点0,点、M是PD的中点、.

13/32

M

(1)求证：OM//平面

(2)求证：尸。_L平面WHW.

⑶求直线8C与平面/18W所成角的大小.

【变式5-1](25-26高一下•四川成都・期中)如图，已知正四面体尸-48C的棱长为2百，。为底面

的外心，D为AB中点.

⑴连接尸。，证明：尸。，平面48C.

⑵设。。的中点为E，求DE与平面PBC夹角的正弦值.

14/32

【变式5-2](25-26高一下•陕西西安•期中)如图，四棱锥P-45CO的底面是矩形，底面力〃。。，

M，N分别为CO,P。的中点，AC与BM交手同E,AB=64i,AD=6,K为04上一点，PK=；PA.

⑴证明：KE//MN；

(2)求证：平面夕力。I平面BMNK：

9

(3)若求8K与平面HC所成角的正弦值.

包题型六位置关系与空间距离的综合

遍|题|花i巧

先利用平行、垂直的判定与性质完成位置关系证明.求距离优先转化：点面距、线面距可等体积法求解;

结合垂线、射影构造直角三角形，运用勾股定理、解三角形完成计算.

【典例6】(25-26高一下•黑龙江哈尔滨•期中)如图，已知正三棱柱48C-44G中，4B=A4=2,点、P

为BC的中点.

15/32

(1)证明：48〃平面4PG；

⑵求点〃到平面/PG的距离.

【变式6-1](25-26高一下•天津滨海新区•期中)如图，在四棱隹尸-44C。中，底面力8CQ为正方形，PAL

底面力4CO,PA=4B=2,E为线段尸〃的中点.

⑴若厂为线段8。上的动点，证明：4E_L平面P8C；

(2)若E为PB的中点,"是8c上靠近“的四等分点，

(i)求E歹和平面N4C。夹角的正弦值；

(ii)求点P到平面力小的距离.

16/32

【变式6-2]（2026•山东泰安•三模）如图，在四棱锥A48CQ中，PA=PD=45,O,M分别是4。，AP

中点，底面处?。为菱形，平面P/Q_L平面力ACT）,OBLPD,OB=6

（1）证明：PA1OB；

⑵求D到平面MOB的距离.

等题型七位置关系与体积（表面积）的综合

港i题i垢巧

先利用平行、垂直的判定及性质证位置关系，确定几何体的高与底面.求体积优先用公式，不规则几何

体可分割、补形转化为规则几何体.借助垂直找垂线确定高，结合解三角形求底面积，也可使用等体积法换

底计算.

【典例7]（25-26高一下•四川宜宾•期中）如图，在四棱锥P-.48C。中，底面4为正方形，点尸到平

面/灰:。的距离为2,AD=2,£、尸分别是和的中点.

17/32

p

(1)证明：EF”平面P4D；

⑵求三棱锥C-P8。的体积.

【变式7-1](2024高二下•福建•学业考试)如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长

方体)，侧棱长为1，底面边长为2,£是棱8C的中点.

⑴求三棱锥。-。8c的体枳

(2)求证：8Ali平面CQE：

18/32

［变式7-2］（25-26高一下•黑龙江哈尔滨•期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，NB4D=60。,

AB=PB=4,PA=PD=2&，〃为力。的中点.

⑴求证：8C_L平面P8W；

⑵求四棱锥P-48CQ的体积.

包题型八存在性问题

解|题|技|巧

1.点的存在性；结合平行、垂直性质，利用中位线、比例线段定位，假设存在再推导线面关系验证.

2.线的存在性：依据平行、垂直判定，作平行线、垂线，结合面面位置关系确定直线位置.

3面的存在性：依托面面平行、垂直定理，过定点作平面，利用交线、垂线完成论证.

通用思路：先假设存在，结合几何性质推理，得出符合条件的位置或推出矛盾.

【典例8］（25-26高一下•福建莆田•期中）如图，在四棱锥中，底面力8c。为梯形，其中,

AD//BC,且力。=28C,点石为棱尸。的中点.

19/32

(1)求证:CE//平面P4B;

(2)若M为CE上的动点，则线段.4。上是否存在点N,使得MV///平面若存在，请确定点N的位置,

若不存在，请说明理由：

⑶若尸/l=P4=PC=/0=5,8=6,请在图中作出四棱锥尸-48CQ过点8,石及棱力。中点的截面，并求

出截面周长.

【变式8-1](25-26高一下•北京•期中)已知正方体力8CO-44CQ棱长为4,/是5c的中点，点E是2G

上一点，，是44上一点，且平面EF"//平面。

⑴求证：点E是。1G的中点.

(2)求证：EF1DB.

⑶棱CO上是否存在点G使得平面ER7J,平面若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说

明理由.

20/32

【变式8-2］（25-26高一下•广东深圳•期中）如图，P为圆锥顶点，。为底面圆心，A,B,。均在底面圆

周上，且△/4C为等边三角形.

—___

C

⑴求证：平面PW_L平面尸4C；

⑵若圆锥的底面半径为，・=2,高为6=2拒，求点力到平面尸8。的距离.

⑶在（2）的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由.

当题型九折叠性问题

葡国语「15

1.位置关系：分清折叠前后不变量（线段长、角度、垂直、平行）与变化量（空间位置、二面角），用

原有几何性质证平行、垂直.

2.空间角与距离：在折叠棱处作垂线，找出平面角、射影，构造直角三角形求解.

3.体积计算：依托折叠产生的垂百关系确定高，结合底面积，套用体积公式或等体积法计算.

【典例9］（25-26高一下•浙江温州•期中）如图：等边三角形43。和直角三角形4。。，ZJDC=90°,

ZCAD=60,力。=1448。绕力。翻折，使点8到达点P.

D

21/32

⑴求三棱锥尸-/1CQ的体积最大值；

(2)当ADJ.PC时，求直线AP与平面/OC所成角的正弦值；

⑶求三棱锥尸-4CZ)表面积最大时，二面角P-AC-D的余弦值.

【变式9](25-26高一吓•浙江•期中)现有两个含3()。角的全等直角三角板，较短直角边长均为l()cm,如图,

△P44与△PCO为这两个三角板，其中尸彳二尸C=10cm,/尸加二N?。。=30。.初始时，两三角板的直角顶

点重合于点P,斜边初，C。共线.现将两三角板绕点P平行展开，得到四棱锥产T8CQ.

(1)求证:平面24CJL平面K8CD；

⑵设平面48c平面PCD=L

(i)求证：〃/平面/4CO；

(ii)当二面角彳-/-C的大小为多少时，四棱锥尸-44C。的体积取得最大值？求出该最大值.

国题型十新定义题型(跨章节)

葡最谅TE

先读懂新定义，提炼核心条件与几何特征.结合平行、垂直、空间角、距离等常规立体几何知识，将新

问题转化为熟悉模型.依托图形性质、定理推理论证，构造三角形求解边长、角度、面积或体积.紧扣定义验

22/32

证结论，避免偏离规则.

【典例10】（2026•陕西榆根模拟预测）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体M的一个顶

点，定义多面体M在点P处的离散曲率为勺=1-+/。产©+…++/以PQJ,其中

2兀

20=1,2,…以2N3）为多面体M的所有与点尸相邻的顶点,且平面0P02,平面已尸。3,…，平面

和平面以P0为多面体M的所有以尸为公共点的面.例如：正四面体力-8。。在顶点4处的离散曲率为

储》白血,+〃。+/。皿=「y3x?!如图，在三棱锥I叱中.

⑴求三棱锥尸-/4C在各个顶点处的禽散曲率之和：

⑵若P4_L平面/AC,ACtBC"C=BC=2,三棱锥P-月8C在顶点C处的离散曲率为］,求点力到平面

O

PBC的距离.

【变式10】（25-26高一下♦湖南长沙•期中）已知正四面体4-8C。的棱长为2n.

B

23/32

⑴证明：ADJ.BC；

(2)某几何体是由正四面体力-BC。按如下规则得到：在每个三角形面上，以各边中点为顶点的小三角形为

底面，向外补一个小正四面体记为第1次操作：继续以新生的小正四面体各边中点为顶点的小三角形为底

面，向外补一个小正四面体记为第2次操作；以此类推，如图所示.

L

第1次操作第2次操作第3次操作

(i)求第3次操作后几何体的体枳;

(ii)现有〃(〃23)次操作后生成的几何体石材，求打磨出的最大球的体积.

.过•分层验收.

期末基础通关练(测试时间：20分钟)

1.(25-26高一下•吉林长春•期中)如图，圆锥尸。的底面半径为1,高为4,过户O的中点0'作平行于底面

的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.

24/32

(1)求剩下几何体的体积；

⑵求剩下几何体的表面积.

2.(2026高三•全国•专题练习)如图，空间四边形中，E,尸分别是4。的中点，G,〃分别

在BC,CD上,且8G:GC=O〃：〃C=1:2.

(1)求证：E,F,G,〃四点共存；

(2)设EG与"/交于点P,求证：P,A,。三点共线.

25/32

3.（25・26高一下•福建南平•期中）如图，在五面体力中，四边形力灰?。是正方形，平面4?。。/平

面BCF,

⑴求证：CD//EF,

⑵求证：EF15|ziEBCF；

4.（25-26高一下•广西玉林•期中）如图，在五面体力6C0E中，口1平面45C,CD//AE,AC1BC,

AE=AC=BC=2CD=4,点、M为BE中点、.

B

⑴求证：平面BOE_L平面"E：

⑵求直线E。与平面ABE所成角的余弦值;

⑶求三棱锥M-ABD的体积.

26/32

期末重难突破练（测试时间：25分钟）

1.（25-26高一下•天津南开•期中）如图所示，四棱锥底面"CO为正方形，AD=2,4PAD

为正三角形，PB=PC=3,点、E在PB上.

⑴若E为中点，求证：PQ//平面4EC；

（2）若力C/140=0,求证力O_L。。；

⑶求异面直线P8与4C所成角的余弦值.

2.（25-26高一下•黑龙江鸡西•期口）如图，在四棱锥P-48CZ）中，底面48c。为平行四边形,

ZADC=45°,AD=AC=\t。为4c中点，POl^ABCD,尸0=2,M为PD中点.

（1）证明：尸8//平面4GM；

⑵证明：平面尸力。1平面P4C；

27/32

⑶求直线4W与平面力4。0所成角的正弦值.

3.（25-26高一下•湖南衡阳・期中）如图，四校锥尸-力58的底面是等腰梯形，CD=4,AB=6f

AD=BC=2,侧面PC。是等边三角形，”为月B的中点,且PH=3.

⑴求证：尸〃_1平面48。。；

（2）求二面角4-8C-P的余弦值；

⑶求直线AB与平面PBC所成角的止弦值.

4.（25-26高一下•河北邢台・期中）如图，正方体48。。-/1£。