人教版高中数学必修2考点训练：频率与概率（解析版）

10.3频率与概率

【考点梳理】

>考点一：频率与概率的关系

>考点二、计算频率

>考点三：用频数计算概率问题

>考点四：用随机模拟估计概率

>考点五：生活中概率的解析

>考点六：概率思想的实际应用

【知识梳理】

知识点01：频率的稳定性

在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件力发生的频率具有随叽性.一般地，随着试验次数〃的增大，频率偏

离概率的幅度会统小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P（A）,我们称频率的这个性质为

频率的稳定性.因此，我们可以用频率f（率估计概率

知识点02：随机模拟

用频率估计概率，需做大量的重复试蛤，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快

速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.

【题型归纳】

题型一：频率与概率的关系

I.（23-24高一下•广西河池•期末）下列说法中正确的是（）

A.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

B.在〃次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性

C.随着试验次数〃的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率

D.在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1

【答案】C

【分析】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可判断.

【详解】频率与概率不是同一个概念，故A错误；

在〃次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，故B错误；

随着试验次数〃的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故C正确:

在同一•次试验中，每个试验结果出现R勺频率之和一定等于1,故D错误.

故选：C.

2.（22-23高一下•新疆喀什•期末）下列说法正确的是（）

①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；

②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；

③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1：

④概率就是频率.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根据频数、频率、概率的定义逐项判断即可.

【详解】对于①：频数是指事件发生的次数，频率是指本次试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，二者都可

以反映频繁程度，故①正确；

对于②：试验的总次数即为各个试验结果出现的频数和，故②正确；

对于③：各个试验结果的频率之和一定等于1，故③错误：

对于④：概率是大量重复试验后频率的稳定值，故④错误；

故选：C.

3.（22-23高一下•新疆喀什・期末）给出下列四个命题：

①设有一批产品，其次品率为0.05,则从中任取200件，必有10件是次品；

②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝.上的概率是言；

③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；

④抛掷毁子100次，得点数是I的结果有18次，则出现1点的频率是热.

其中正确命题有（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】D

【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断.

【详解】对于①，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是一个确定的值，

一批产品次品率为0.05,则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，①错误：

对于②，100次并不是无穷多次，只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为言，故②错误；

对于③，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，③错误；

对于④，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值，

抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是18孤=京9，④正确.

故选：D.

题型二、计算频率

4.（22.23高一•全国）已知一个容量为20的样本，其数据具体如下：

1（）86101381012117

8911912910111211

那么频率为0.4的范围是（）

A.5.5-7.5B.7.5〜9.5C.9.5-11.5D.11.5-13.5

【答案】C

【分析】通过计算各组频率来求得正确答案.

2

【详解】5.5〜7.5的频率为5=0.1,

7.5〜9.5的频率为义=（）.3,

Q

9.5~11.5的频率为茄=0.4,

4

11.5-13.5的频率为一=0.2,

20

所以C选项正确.

故选：C

5.（22.23高一下•湖南湘西•期末）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络

上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠''的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有15

人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有—人.

【答案】6720

【分析】先求得样本持反对态度的频率，进而可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人数.

【详解】在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1-1*5=看7，

7

则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有96（）0x^=6720（人）.

故答案为:6720

6.（23-24高一上•全国•课后作业）投掷硬币的结果如下表：

投掷硬币的次数200500c

T面向上的次数102b404

上面向上的频率a0.482().505

贝I",b=

据此可估计若掷硬币一次，正面向上n勺概率为.

【答案】（）.51/-^2418000.5/；

【分析】由频数、试验次数与频率的关系求再由频率的稳定性估计概率.

102

【详解】。=——=0.51,/>=500x0.482=241,

200

三组试验正面向上的频率都在0.5附近，

由频率的稳定性，估计若掷硬币一次，正面向上的概率应为0.5.

故答案为：0.51；241；800；0.5.

题型三：用频数计算概率问题

7.（23-24高吓・山东枣庄•期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200

名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调

查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个

被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学

生如实回答笫二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小

石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（）

A.2%B.3%C.6%D.8%

【答案】C

【分析】由概率得出这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”，结合题设条件，估计第二个问题

有6人回答了“是“，从而得出所占比例.

【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，

随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为g，

因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，

而一年12个月中，奇数的占一半，

所以对第一个问题回答“是”的概率为5

所以这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”，

从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有56-50=6人叵答了“是”，

所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为6%.

故选：C

8.（2024高一下•全国•专题练习）众所周知，长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约40%的人近视，

而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2h,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过2h的学生中任

意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（）

3八5〃3>4

A.—B.--C.-D.-

141477

【答案】B

【分析】先设该校有。名同学，根据题目条件计算得出每天玩手机不超过2h的学生中近视人数；再用频率估计概

率即可求解.

【详解】设该校有。名同学，

则由题意可得：约有04/的学生近视，约有0.3"的学生每天玩手机超过2h,约有（）.7。的学生每天玩手机不超过2

h.

因为该校大约有30%的学生每天玩手机超过2h,这些人的近视率约为50%

所以每天玩手机超过2h的学生中近视的学生人数为0.3"0.5=0.15",

则每天玩手机不超过2h的学生中有0.4。-0.154=0.25。的学生近视，

所以从每天玩手机不超过2h的学生中任意调查一名学生，该名学生近视的概率为~=等=堤.

0.7a14

故选：B.

9.（2122高一下•湖南岳阳•期末）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方

法估计这三天中恰有两天下雨的概率.用1,2,3,4,5,6表示下雨，用计算机产生了1（）组随机数18（）,792,454,

417,165,809,798,386,196,206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）

AaB-C-D—

A.§B.$C.2D.1（）

【答案】B

【分析】利用频率和概率的关系得到答案.

【详解】10组数据中，恰有两天下雨的有417,386,196,206,共4个，

42

故此估计这三天中恰有两天卜雨的概率近似为历=不

故选：B

题型四：用随机模拟估计概率

10.（23-24®-卜•广东潮州•期末）匚知某种设备在一年内需要维修的概率为02用计算器产生1〜5之间的随机数，

当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2,由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台

设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如卜.：

412451312533224344151254424142

435414335132123233314232353442

据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（）

A.0.4B,0.45C.0.55D.0.6

【答案】C

【分析】找出代表事件”•年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果.

【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：

533224344254424435335233232353442共11组，

因此，所求概率为0=4=0.55.

故选：C.

11.（21-22高一•全国•课后作业）手机支付已经成为人们常用的付费方式.某大型超市为调查顾客讨款方式的情况,

随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：

顾客年妗（岁）20岁以下[2030)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)70岁及以上

手机支付人数3121491320

其他支付方式人数0021131121

从该超市顾客中随机抽取I人，估计该顾客年龄在［40,60）且未使用手机支付的概率为（）

212—2321

A.—B.-C.—-D.—

5（）55（）25

【答案】A

【分析】算出100名顾客中，顾客年龄在［40,60）且未使用手机支付的人数，进而可以得到未使用手机支付的概率.

【详解】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在［40,60）且未使用手机支付的共有11+31=42人，所以从该超市随

机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在［40,60）且未使用手机支付的概率为P=（奈=亮.

故选：A.

12.（23-24高二上•广东佛山•阶段练习）规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀.根据

4

以往经验某选手投掷一次命中8环以上的概率为m.现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计

算机产生0到9之间的随机整数，用0、1表示该次投掷未有8环以上，用2、3、4、5、6、7、3、9表示该次投

掷在8环以上，经随机模拟试验产生了如下20组随机数：

907966191925271932812458569683

031257393527556488730313537989

据此估计，该选手投掷1轮，可以拿到优秀的概率为（）

94、73

A.—B.-C.—D.-

105105

【答案】A

【分析】找出20组随机数中代表“3次中至少两次投中8环以上”的数组的组数，结合古典概型的概率公式可求得所

求事件的概率.

【详解】由题意可知，随机模拟试验产生了如下20组随机数中，

代表”3次中至少两次投中8环以上”的数组共18组，

189

因此，该选手投掷1轮，可以拿到优秀的概率为初=历.

故选：A.

题型五：生活中概率的解析

13.（22・23高一下•新疆喀什•期末）下列说法正确的是（）

A.随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率

B.某种福利彩票的中奖概率为高，买1000张这种彩票一定能中奖

C.连续1（）0次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为4急9

D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%

认为明天不会降水

【答案】A

【分析】根据频率与概率的定义以及两者之间的关系，即可结合选项逐一求解.

【详解】刈于A,随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概率是频率的

稳定值，故A正确，

对于民某种福利彩票的中奖概率为焉，买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误，

1（）0（）

对于C,连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则在100比抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面的频率为

击49，而掷一枚硬币出现反面的概率为去1，故C错误，

对于D,某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”.指的明天会降水的可能性为70%.故D错误，

故选：A

14.（23-24高一下•青海海南•期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖

的概率为15%,则下列说法正确的是（）

A.某人抽奖100次，一定能中奖15次B.某人抽奖200次，至少能中奖3次

C.某人抽奖1次，一定不能中奖D.某人抽奖20次，可能1次也没中奖

【答案】D

【分析】中奖的概率为15%,只能说有15%中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可.

【详解】中奖的概率为15%,与抽的次数无关，只是有15%中奖的可能性，

故选：D.

15.（20・21高一•全国）气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（）

A.本地区有90%的地方下雨B.本地区有90%的时间下雨

C.明天出行不带雨具，一定被雨淋D.明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋

【答案】D

【分析】根据概率的实际意义即可判断.

【详解】明天本地区降雨的概率为90%意味着有90%的可能会下雨，结合选项可知只有D正确，

故选：D.

题型六：概率思想的实际应用

16.（23-24高一下•福建厦门•期末）甲每次投篮投进的概率是0.7,连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件

A为“甲至少投进两球

⑴用菁（Z=1,2,3）表示甲第,•次的投篮结果，则（西,占,士）表示试验的弹本点.用1表示“投进”，。表示“未投进”，写出

该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由；

（2）用计算机产生0~9之间的整数随机数，当出现随机数0〜6时，表示“投进”，出现7,8,9时表示“未投进”，以

每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生2()组随机数：

06204922893310273475()7X3076276

910349114494995396521016065140

利用该模拟试验，估计事件力的概率，并判断事件4的概率的精确直与估计值是否存在差异，并说明理由

【答案】(1)样本空间见解析，不是占典概型，理由见解析

(2)事件力的概率的估计值为().9,存在差异，理由见解析

【分析】(1)直接写出样本空间即可，根据样本点(1J1)和(0。0)的概率即可结合古典概型定义进行判断.

1Q

(2)20组随机数中事件总发生了18次，则事件4的频率为%-09,所以事件力的概率的估计值为0.9,再求山

事件力的概率的精确值结合试验的特点以及频率与概率的特征和关系即可比较判断和说明.

【详解】(1)该试验的样本空间为

Q={(1.1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1.1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)},

共有8个样本点，

样本点(1,1,1)的概率为0.73,样本点(0,0,0)的概率为0.3工这两个样本点的概率不相等，所以这个试验不是古典概

型.

(2)产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件/发生了18次，

1Q

则事件力的频率为芫=0.9,所以事件力的概率的估计值为09

设事件,="甲第i次投进”,z=1,2,3,则4=4百瓦+4瓦房+及区区+4层员

因为P出)=P⑻)=P(J)=07PW)=P缸)=P区>03.

又因为每次投篮结果互不影响，所以即层与瓦相互独立，稣瓦与&相互独立，瓦与与质相互独立，九与与名

相互独立且8也瓦,4瓦仄,B}8回两两互斥，

所以产⑷=P(BR瓦+什瓦层+瓦层员+与用层)

=尸(耳层瓦)+P(肥/J+H■初闯+"

=Pg)P(BjP啊卜P®)PW)P%>P瓦丫%?包”8P%)名)

=0.7x0.7x0.3+0.7x0.3x0.7+0.3x0.7x0.7+0.7x0.7x0.7=0.784

所以事件力的概率的估计值和P(Q有差异.原因如下：

①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异；

②重复试验次数为20,样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大.

17.(23-24高一下•云南楚雄•期末)某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以

每公斤2元的价格出售.如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工

(1)若该商超一天购进80()公斤青菜，求当天出售青菜的利润)，(单位：元)关于当天青菜需求量x(单位：公斤)

的函数解析式

(2)该商超记录了100天青菜的日需求最(单位：公斤)，整理得到下表.

日需求量

770780790800820830

X

频数51020352010

(i)假设该大型商超在这10()天内每天购进900公斤青菜，求这1C0天出出青菜的口利润(单位：元)的平均数;

(ii)若该大型商超一天购进800公斤青菜，以10()天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的

利润不少于780元的概率.

2x-800,xw(0,800),

【答案】(i)y=，

800,xe[800,+a>).

(2)(i)789元;(ii)0.85

【分析】(1)由题意可知需耍对工进行分类讨论，很容易得到函数解析式；

(2)(i)根据分层计算出不同Fl需求量的利润即可求解.；(ii)以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的

概率即求解.

【详解】(1)当X之800时，y=800x(2-1)=800；

当0<x<800时，^=2.r-lx800=2x-800.

,2x-800,xe(0,800),

故y关于X的函数解析式为\

800,[8()0,+巧.

(2)(i)这100天有5天的日利润为2x770—800=740元，

10天的日利润为2x780-800=760元,

20天的日利润为2x790—800=780元，

65天的日利润为800元,

所以这100天出售青菜的日利润的平均数为六x740+黑x760+探x780+^x800=789元.

1()01()01301()0

(ii)若当天的利润不少于780元，则当日需求量不少于790公斤

故当天的利润不少于78()元的概率为0.2+0.35+0.2+0.1=0.85.

18.(2023・全国•模拟预测)鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智尢玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，

它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键.某

玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市

场调研分析，得到相关数据如下(单件成本利涧率=利涧子成本K100%)：

甲款鲁班锁玩具

一等品二等品三等品

单件成本利润率10%8%4%

频数106030

乙款鲁班锁玩具

一等品二等品三等品

单件成本利润率7.5%5.5%3%

频数503020

（1）用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件、求该产品是一等品的概率：

（2）若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，旦每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具

所获得的利润.

【答案】（*

（2）甲鲁班锁玩具所获得的利润1400元；乙鲁班锁玩具所获得的利润1200元

【分析】（1）用频率估计概率，利用频率公式即可求；

（2）分别求出甲、乙两种鲁班锁一等品、二等品、三等品的利润，进而得到两款鲁班锁玩具所获得的利润.

【详解】（1）用频率估计概率，从这20（）件产品中随机抽取一件，该产品是一等品的概率为肯”二得

（2）甲款鲁班锁玩具一等品的利润为T需xl0%xl0=200（元）,

二等品的利润为毛8%x60=960（元）,

三等品的利润为片黑x4%x30=240（元）,

故100件甲款鲁班锁玩具的利润为20。+960+240=1400（元）.

70000

乙款鲁班锁玩具一等品的利润为号等X7.5%X50=750（元）,

二等品的利润为耳鹊x5.5%x3O=33O（元）.

三等品的利润为2号00券00x3%x20=120（元）,

故100件乙款鲁班锁玩具的利润为750+330+120=1200（元）.

【双基达标】

一、单选题

1（24-25高一上•四川成都）下列说法一定正确的是（）

A.1名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况

B.随机事件发生的概率与试验次数无关

C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元

D.一个骰子掷一次得到2的概率是!，则掷6次一定会出现一次2

6

【答案】B

【分析】根据频率与概率的关系得到ACD错误，B正确.

【详解】A选项，一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，也可能出现三投都不中的情况，A错误；

B选项，随机事件发生的概率是一个固定的值，与试验次数无关，B正确；

C选项，若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票不一定会中奖一元，C错误；

D选项，一个骰子掷一次得到2的概率是，，掷6次出现2的次数不确定，可能是1次，也可能是2次或者其他次

6

数,D错误.

故选：B

2.（2324高一下•山西长治•期末）下列说法正确的是（）

3

A.甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为日，则比赛4场，甲一定胜3场

4

B.概率是随机的，在试验前不能确定

C.事件A,8满足则尸（R<P（8）

D.天气预报中，预报明天降水概率为90%,是指降水的可能性是90%

【答案】D

【分析】根据概率的定义及性质判断即可.

【详解】对于A,甲、乙二人比赛，甲胜的概率为。，是指每场比赛，甲胜的可能性为：，

44

则比赛4场，甲可能胜4场、3场、2场、1场、。场，故A错误；

对于B,随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故B错误；

对于C：事件A,8满足力口3,则广（4）4P（8）,故C错误；

对于D，天气预报中，预报明天降水概率为90%,是指降水的可能性是90%,故D正确.

故选：D

3.（23-24高一下•浙江温州•期末）气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%,郊区的降雨概率为7（）%.”基

于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（）

A.整个城市明天的平均降雨概率为50%

B.明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨

C.只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨

D.如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多

【答案】B

【分析】由概率的定义即可逐一判断各个选项.

【详解】对于A,中心城区面积和郊区面积不一定相同，故整个城巾明天的平均降雨概率不一定为50%,故A错误:

对于B.明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大，故B正确；

对于C：不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故C错误；

对于D,降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以及有效覆盖面积（即下雨的区域在该所参考区域的面积）

会影响降雨量，故D错误.

故选：B.

4.（23-24高一下•河南许昌•期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（）

A.抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜

B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜

C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜

D.小明、小华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜

【答案】B

【分析】分别计算各选项中小明、小强获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此得到选项.

【详解】对于A,抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为方，向上的点数为倡数的概率为

所以游戏公平；

对于B.同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

恰有一枚正面向上的概率为:，两枚都正面向上的概率为:，所以游戏不公平；

24

对于C,从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为扑克牌是黑色的概率为衣，所以游戏公平;

对于D,小明、小华两人各写一个数字6或8,共（6,6）,（6,8）,（8,6）,（8,8）四种情况,

两人写的数字相同的概率为两人写的数字不同的概率为:，所以游戏公平.

故选：B.

5.（2024・四川绵阳•模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成

作业的时间，并绘制了如图所不的频率分布直方图（每个区间均为左闭右升），根据此直方图得出了卜列结论，其

中正确的是（）

；白；少久屋去；完点作业时间/小时

A.估计该学生每口完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天

B.估计该学生每口完成作业时间超过3小时的概率为0.3

C.估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时

D.估计该学生每日完成作业时间的众数为23小时

【答案】C

【分析】利用频率分别直方图、频数、频率、中位数、众数直接求解.

【详解】对于A,该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的天数为：0.5x0.5x100=25天，故A错误；

对于B,估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为（0.3+0.2+U.l+0.1）x0.5=0.35,故B错误;

对于C[1,2.5）的频率为（0.1+0.3+0.5户0.5=0.45,[1,3）的频率为0.45+04x0.5=（）.65,

则该学生每日完成作业时间的中位数为2.5+叫05-0茨45x0.5=2.625,故C正确；

对■于D,估计该学生每日完成作业时间的众数为2+气2上5=2.25,故D错误；

故选：C

6.（23.24高二上•湖北荆州,期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6.我们通过设计模拟

实验的方法求概率，利用计算机产生1〜5之间的随机数：

425123423344144435525332152342

534443512541135432334151312354

若用1,3,5表示下雨，用2,4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（）

9八1C11r13

A.――B.-C.-~D.—

2022020

【答案】D

【分析】由样本数据，利用频率近似估计概率.

【详解】设事件/="三天中至少有两天下雨”，20个随机数中，

至少有两天下雨有123,435,525,332,152,534,512,541,135,334,151,312.354,

即事件A发生了13次，用频率估计事件A的概率近似为著.

故选：D.

7.（23-24高二上•黑龙江哈尔滨•期末）进入8月份后，我市持续高温，气象局••般会提前发布高温橙色预警信号（高

温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上

的概率是1.用计算机生成了20组随机数，结果如下：

116785812730134452125689024169

334217109361908284044147318027

若用0,1,2,3,4,5表示高温橙色预警，用6,7,8,9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高

温橙色预警信号的概率估计是（）

【答案】B

【分析】查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概

率公式，即可求得答案.

【详解】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有：

116812730217109361284147318027共10个，

故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是/=

故选：B

8.（22-23高一下•福建・期末）某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调克,

调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装

置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，

其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子,

回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否*而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查

者可以亳无顾虑地给出符合实际情况（I勺答案.己知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估

计本小区对物业满意服务的百分比大约为（）

A.10%B.20%C.35%D.70%

【答案】D

【分析】根据问卷调查的设计原则，及两个问题被抽到、手机尾号奇数、偶数的概率分别相同，结合已知估计回答

笫二个问题的人数及回答“是”的人数，即可得结果.

【详解】由两个问题被问的概率相等，故约有40人回答了第一个问题，

由手机尾号为奇数和偶数的概率相等，故40人中约有20人回答“是”，

根据有48名业主回答了“是“，则约有28人在第二个问题中回答“是、'，

又第二个问题被问到的人数同样约为40人，

故本小区对物业满意服务的百分比大约为3=70%.

40

故选：D

9.（22.23高一下•广东东莞•期末）对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问

题.为调查学生是否有在校使用手机的情况时，某校设计如下调查方案：调查者在没有旁人的情况下，独自从一个

箱子中随机抽〜只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A：抽到红球，则回答问题8,且箱子中只有

白球和红球.

问题A：你的生日的月份是否为偶数？（假设生日的月份为偶数的概率为：）

问题8:你是否有在校使用手机?

已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1000张有效答卷，其中有270张

回答“是"，如果以频率估计概率，估计该校学生有在校使用手机的概率是（精确到0.01）（）

A.0.09B.0.12C.0.20D.0.27

【答案】B

【分析】计算出回答问题8的学生人数，以及回答问题8回答“是”的学生人数，进而可求得该校学生有在校使用手

机的概率.

2I

【详解】由题意可知，回答问题A的学生人数为1000x（=400,其中回答问题A回答“是”的人数为400乂5=200,

回答问题8的学生人数为1000x1=600,其中回答问题B回答“是”的人数为270-200=70,

因此，估计该校学生有在校使用手机的概率是2=27=00.12.

60（）

故选:B.

10.（2023・甘肃定西•模拟预测）某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级共有600名同

学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社

团的同学有75名，参加脱口秀社团的有125名，则该年级（）

A.参加社团的回学的总人数为600

B.参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的15%

C.参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多120人

D.从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35

【答案】D

【分析】A选项，根据参加合唱社团的同学有75名求出参加社团总人数；B选项，先计算出参加脱口秀社团的人

数占比，进间得到舞蹈社团的人数占比；C选项，计算出参加两个社团的人数，作差求出答案；D选项，利用

25%+1（）%=35%,求出答案.

【详解】A选项，75・15%=500,故参加社团的同学的总人数为50（）,A错误：

B选项，参加脱口秀社团的有125名，故参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的12黑5=25%,

所以参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的1-15%-15%-35%-25%=10%,B错误；

C选项，参加朗诵社团的人数为500X35%=175,参加太极拳社团的人数为500x15%=75,故参加朗诵社团的人数

比参加太极拳社团的多175-75=100人，C错误；

D选项，从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为25%+10%=35%,即0.35,D正确.

故选：D

11.（2023•天津•一模）某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图

（将频率视为概率），则下列说法止确的是（）

A.该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间（25,30］内的最少

B.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为（）.465

C.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16

D.估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15

【答案】B

【分析】根据直方图写出对应该滑冰馆的锻炼天数区间的频率，再结合各选项的描述及中位数、平均数的求法判断

正误.

【详解】由图知：［0,5）、［5,10）、［10,15）.［15,20）、［20,25）、［25,30）的频率分别为0.1、0.2、0.235、0.3、0.065、

0.1,

对于A：［20,25）内的天数最少，故A错误；

对于B：估计锻炼天数超过15天的概率为0.3+0.065+0.1=0.465,故B正确；

对于C：由@5）、［5,10）、口0,15）频率和为0.1+0.2+0.235=0.535>0.5,设中位数为x,

则0.3+0.047x（x-10）=0.5,可得》=10+变工16,故C错误；

47

对于D：平均天数为0.1x2.5+0.2x7.5+0.235xl2.5+0.3xl7.5+0.065x22.5+0.1x27.5=14.15天，故D错误：

故选：B.

12.（21-22高一下•吉林长春•期中）袋子中装有大小相同2个红球，4个蓝球，搅拌均匀后从中随机摸出3个球，

现在用数字0,1表示红球，数字2,3,4,5表示蓝球，通过计算器班机模拟10次该试验，得到如下数据：024234

213012034125035345134304三个数为一组，代表摸到三个球的结果，以此估计，摸到三个球都是蓝球的概率为

（）

A.0.2B.03C.0/D.0.5

【答案】A

【分析】求出频率，用频率估计摸到三个球都是蓝球的概率.

2

【详解】摸到三个球都是篮球的有234,345,估计摸到三个球都是蓝球的概率为历=0.2.

故选：A

二、多选题

13.（24-25高二上•山东）下述关于撅率与概率的说法中，错误的是（）

A.设有一大批产品，已知其次品率为0.1,则从中任取100件，必有10件是次品

B.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试脸的次数超过10000,所估计出的概率也不一定

很准确.

C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

D.做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是

【答案】ACD

【分析】根据频率与概率的关系，结今各选项的描述判断正误.

【详解】对于A：从中任取100件，可能有10件，A错误；

对于B：10000次的界定没有科学依据，”不一定很准确”的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，

但并非试验次数越多，频率就等于概率，B正确.

对于C：多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，。中描述不符合概率定义，C错误；

对于D：做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是不是概率为D错

误；

故选：ACD.

14.（23-24高一下•福建宁德•阶段练习）下列命题正确的是（）

A.随机事件/的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

B.抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是4

C.有一批产品，其次品率为0.05,若从中任取200件产品，则一定有190件正品，10件次品

D.抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51

【答案】AB

【分析】对于A,根据概率与频率的关系分析判断，对于B,根据频率的定义分析判断，对于CD,根据频率与概

率的关系分析判断.

【详解•】对于A：随机事件力的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故A正确：

对于B：抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是焉=卷，故B正确；

对于C：有一-批产品，其次品率为（）.05,若从中任取200件产品，则不一定抽取到19（）件正品和1（）件次品，故C

错误；

对于D：10（）次并不是无穷多次，抛掷•枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得抛掷•次该硬币出

现正面的频率是0.51,故D错误：

故答案选：AB.

15.（2024•全国•模拟预测）某校高三年级有（1）,（2）,（3）三个班，一次期末考试，统计得到每班学生的数学成

绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示：

班级（1）（2）（3）