人教版高中数学必修2考点训练 专项强化08：统计题型讲练（解析版）

专题强化08：统计题型精讲精练

【题型归纳】

>题型一：简单随机抽样

>题型二：分层抽样

>题型三：条形统计图

>题型四：折线统计图

>题型五：扇形统计图

>题型六：频率分布直方图问题

>题型七：百分数问题

>题型八：众数、平均数、中位数与方差

>题型九：加减数据对平均数、方差的影响

>题型十：统计的综合问题

【题型探究】

题型一：简单随机抽样

1.（23-24高一下•天津河东•期末）为确保食品安全，某市质检部门检查1000袋方便面的质量，抽查总量的2%.在

这个问题中，下列说法正确的是（）

A.总体是指这1000袋方便面B.个体是1袋方便面

C.样本是按2%抽取的20袋方便面D.样本容量为20

【答案】D

【分析】根据总体，个体，样本，样本的定义逐一判断即可得解.

【详解】对于A,总体是指这1000袋方便面的质量，故A错误；

对于B,个体是指1袋方便面的质量，故B错误；

对于C,样本是指按照2%抽取的20袋方便面的质量，故C错误；

对于D，样本容量为1000x2%=20,故D正确.

故选：D.

2.（23-24高一下•四川•期末）某企业利用随机数表对生产的60个太阳能面板进行抽样测试，先将60个太阳能面板

进行编号，01,02,……,59,60.从中抽取12个样本，下图提供随机数表的第6行至第8行，若从表中第7行第9列开

始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）

12234356773221183429786454073252420644383578905642

25300732862345588907231896080484421253313457860736

34899483753256780843678953557722535578324577892345

A.07B.18C.23D.08

【答案】D

【分析】利用随机数表法来选取样本编号即可.

【详解】从第7行第9列开始向右读取数据，开始为86,不符合要求，第一个数是23,第二个数是45,第三个数

是58,下一个数是89,不符合要求，第四个数是07,下一个数是23,重复，第五个数是18,下一个数是96,不

符合要求，第六个数是08：

故选:D.

3.（23-24高一下•江苏•期末）以下获取的数据不是通过查询获取的是（）

A.某领导想了解力市的大气环境质量，向当地有关部门咨询该市的PA/2J的浓度

B.张三利用互联网了解到某市居民平均寿命达到82.2岁

C.某中学为了了解学生对课堂禁用手机的认同度，进行了问卷调查

D.从某公司员工年度报告中获知某种信息

【答案】C

【分析】根据已知条件，结合收集收集方法的特征，即可求解.

【详解】A,B,D都是通过查询获取的数据，C是通过调查获取的数据.

故选：C.

题型二：分层抽样

4.（2324高一下•江苏常州•期末）某高中三个年级共有学生2000人，其中高一200人，高二600人，高三600人,

该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分

层，则高一年级应抽取的人数是（）

A.24B.26C.30D.32

【答案】D

【分析】按照分层抽样计数规则计算可得.

【详解】依题意高一年级应抽取的人数为察＞80=32人.

故选：D.

5.（23-24高一下•贵州贵阳•期末）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为300,450,250,500件,

为检验注品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从丙种型号的产品中

抽取件数为（）

A.15B.18C.27D.30

【答案】A

【分析】利用分层抽样的方法计算即可.

_______250_______

【详解】由题意可知丙产量占全部的比重为

300+450+250+5006

所以抽取90件有丙产品90x，=15件.

6

故选：A

6.（23-24高一下•甘肃庆阳•期末）某校选修羽毛球课程的学生中，一年级有50人，二年级有40人，三年级有30

人.现用分层抽样的方法在这120名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了15人，则这个样本中共

有（）

A.24人B.36人C.48人D.60人

【答案】B

【分析】根据抽样比例可得答案.

【详解】设这个样本中共有〃人,

则黑="，解得〃=36.

120n

故选：B.

题型三：条形统计图

7.（23-24高一下•贵州黔东南•期末）小波一星期的总开支（单位：元）分布如图1所示，一星期的食品开支（单位:

元）分布如图2所示，则小波一星期的肉类开支占总开支的百分比为（）

其他5%

A.33%B.11%C.10%D.1%

【答案】C

【分析】首先根据频数分布直方图可知食品开支为300元,其中肉类开支为100元，运用百分比公式计算出肉类占

食品开支的百分比；然后根据扇形统计图得出食品在所有开支中所占的百分比，两者相乘，即可求得一星期的肉

类开支占总开支的百分比.

【详解】由图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中肉类开支为100元，占食品开支的;，

而食品开支占总开支的30%,所以小波一星期的肉类开支占总开支的百分比为10%,

故选：C.

8.（23.24高一下•四川内江・期末）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的

分布饼状图、90后从事4联网行业者的岗位分布条形图，则卜列结论中不一定止确的是（）

90后从事互联网行业岗位分布图

技术I139.6%

运营|----117%

市场I-113.2%

设计I-112.3%

职能I19.8%

产品I----16.5%

其他口1.6%

A.互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多

B.90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的20%

C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多

D.互联网行业从业人员中90后占一半以上

【答案】A

【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假.

【详解】选项A：设整个互联网行业总人数为小

互联网行业中从事技术岗位的90后人数为56%QX39.6%=22.176%G，小于80后的人数38%〃，

但80后中从事技术岗位的人数比例未知，故A错误.

选项B：设整个互联网行业总人数为“，90后从事技术岗位人数为56%x39.6%〃，

而90后总人数的20%为56%x39.6%0,故B正确；

选项C：设整个互联网行业总人数为a,

互联网行业中从事运营岗位的90后人数为56%axl7%=9.52%a,

超过80前的人数6%小且80前中从事运营岗位的人数比例未知，放C正确；

选项D：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%,故D正确.

故选：A.

9.（2024・四川遂宁•三模）某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状

图（图1）、"90后〃从事快递行业岗位分布条形图（图2）,则卜列结论中错误的是（）

快递行业从业人员年龄分布饼状图“90后”从事快递行业岗位分布条形图

百分比

技术

“80前”4%39.6%

运营

117%

市场

设计113.2%

职能112.3%

产品-----191%

其他=6.5%

11.6%

岗位类别

图I图2

A.快递行业从业人员中，"90后"占一半以上

B.快递行业从业人员中，从事技术岗位的"90后”的人数超过总人数的20%

C.快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后〃的人数比“80前〃的多

D.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比"80后”的多

【答案】D

【分析】根据两个图，结合选项，即可判断.

【详解】由题图可知，快递行业从业人员中，“90后”占总人数的56%,超过一半，A正确；

快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为56%x39.6%=22.176%,超过20%,

所以快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90”后的人数超过总人数的20%；B正确；

快递行业从业人员中，从事运营岗位的"90后〃的人数占总人数的百分比为56%xl7%=9.52%,超过“80前〃的人数

占总人数的百分比，C正确；

快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后〃的人数占总人数的百分比为22.176%,小于〃80后"的人数占总人数的

百分比，但“80后”从事技术岗位的人数占“80后”人数的比未知，D不一定正确.

故选：D

题型四：折线统计图

10.（24-25高一上•广西南宁•期中）汽车的“燃油效率〃是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙

三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）

，燃油效率（km/L）

15-广、八

10-/'、、「'、、•甲车

---------1------1--------►

。4080速度（km/h）

A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D.某段道路机动车最高限速40千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【答案】D

【分析】根据汽车的“燃油效率"的定义结合图象依次判断各个选项即可；

【详解】对于A,由图象可知当速度大于4（Ww/h时,乙车的燃油效率大于5痴/L,

当速度大于40筋?外时、消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5%,故A错误;

对于B,由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，

即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，

・•.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误：

对于C,当速度为80A〃"h时，甲车的燃油效率为lObw/h,即甲车行驶速加时,耗油1升，

故甲车行驶1小时，路程为80切?，耗油为8升，故C错误；

对于D,当速度小于40切〃h时•，内车燃油效率大于乙车的燃油效率，

.•.用丙车比用乙车更省油，故D正确.

故选：D

11.（23-24高一下•北京朝阳•期末）近年来，我国国民经济运行总体稳定，延续回升向好态势.下图是我国2023年

4月到2023年12月规模以上工业增加值同比增长速度（以下简称增速）统计图.

注：规模以上工业指年主营业务收入2000万元及以上的工业企业.

个增速（%）

86.66.X

6.5.6

4.44.5_/

4

23.53.7

O456789101112月份

下列说法正确的是（）

A.4月，5月，6月这三个月增速的方差比4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差大

R.4月,S月，6月这三个月增速的平均数比4月,S月，6月，7月这四个月增速的平均数小

C.连续三个月增速的方差最大的是9月，10月，11月这三个月

D.连续三个月增速的平均数最大的是9月，10月，11月这三八月

【答案】A

【分析】根据给定的折线图，计算平均数、方差逐项判断即得.

5.6+3.5+44,

【详解】对于AB,4月，5月，6月这三个月增速的平均数为-----------=4.5,

3

5.6+3.54-4.4+3.7

4月，5月,6月，7月这四个月增速的平均数为=4.3,B错误;

4

4月，5月,6月这三个月增速的方差为=0.74,

3

4月，5月,6月，7月这四个月增速的方差为亘土会立"士皿=0.615,A正确:

4

4.5+4.6+6.6157

对于CD,9月，10月，11月这三个月增速的平均数为

33()

4.6+6.6+6.8

10月，11月，12月这三个月增速的皿均数为=6,D错误;

3

9月，10月，11月这三个月增速的方差为31痣0?>+（.1Q2+武41力=岩4?I,

3303030450

io月，11月，12月这三个月增速的方差为iT+o.+o*=竺土,c错误.

3450

故选：A

12.（23-24高一下•山西太原•期末）现有甲、乙两台机床同时生产直径为40mm的零件，从两台机床生产的零件中

各抽取10件进行测量，其结果如图严示，则下列结论不正碘的是（）

八直径/mm

40.4.

40.3

40.2穴

40.1

40.0

39.9

39.8

39.7甲

39.6

-1-I------->

O12345678910产品编号

A.甲机床数据的极差大于乙机床数据的极差B.乙机床数据比甲机床数据更稳定

C.甲机床数据的平均数小于乙机床数据的平均数D.甲机床数据的中位数等于乙机床数据的中位数

【答案】C

【分析】结合图形，由极差、方差、平均数、众数的概念即可判断.

【详解】对于A：甲机床数据的极差为40.2-39.8=0.4,乙机床数据的极差为40.1-39.9=0.2,

所以甲机床数据的极差大于乙机床数据的极差，故A正确；

对于B：乙机床数据比甲机床数据更第中，所以乙机床数据比甲机床数据更稳定，故B正确；

对于C：甲机床数据的平均数为、(40+39.8+40.1+40.2+39.9+40+40.2+39.8+40.2+39.8)=40,

乙机床数据的平均数为'(40+40+39.9+40+39.9+40.1+40.1+40.1+40+39.9)=40,

故甲机床数据的平均数等于乙机床数据的平均数，故C错误；

对于D：甲机床数据从小到大排列为：39.8,39.8,39.8,39.9,40,40,

4()+4()

40.1,40.2,40.2,40.2,故中位数为------=40,

2

乙机床数据从小到大排列为：39.9,39.9,39.9,40,40,40,

4()+40

40,40.1,40.1,40.1,故中位数为一--=40,故D正确.

故选：C

题型五：扇形统计图

13.(23-24高一下•福建泉州•期中)某学校组建了合唱、朗诵、脱「I秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名

同学，每名同学依据自己的兴越爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的扇形图如图所示，其中参加朗诵

社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则()

A.这五个社团的总人数为100

B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%

C.这五个社团总人数占该校学生人数的8%

D.脱口秀社团在扇形统计图中所占圆心角的度数为90°

【答案】B

【分析】根据扇形图及有关数据得各个社团比例，计算人数判断各选项即可.

QQA

【详解】这五个社团的总人数为念=80,赢=4%，故A错误，C错误.

因为太极拳社团人数的占比为17=xl0%=15%,

O

所以脱口秀社团人数的占比为1-10%-15%-30%-25%=20%,

所以脱口秀团在扇形统计图中所占圆心角的度数为0.2x360,=72°，

故B正确，D错误.

故选：B

14.（2024・全国•模拟预测）某地为了鼓励村民在家乡创业，进行了一系列改革，一年以后当地村民的经济收入增加

了一倍，已知改革前后当地村民经济收入构成比例如图所示，则下列说法正确的是（）

茂革前经济收改革后处济收

入的构成比例人的构成比例

A.改革后，其他收入减少

B.改革后，外出打工收入是改革前的;

C.改革后，养殖收入增加了一倍

D.改革后，种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大

【答案】D

【分析】假设改革前当地村民经济收入为〃?，则改革后当地村民经济收入为2〃?，作出表格，结合表格依次判断选

项即可.

【详解】假设改革前当地村民经济收入为〃?，则改革后当地村民经济收入为2〃?，且

其他收入养殖收入外出打工收入种植有机蔬菜收入

改革前0.18m0.15m0.45〃】0.22加

改革后03〃0.5/M03〃0.9/n

选项A：根据表格可知改革后其他收入增加，故A错误.

选项氏悬=|,故B错误.

0.5〃?一0.15/〃7,

选项C：------------=->1故C错误.

选项D：由题图可知，改革后种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大，故D正确.

故选：D

15.（2024•江西鹰潭•一模）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale）设

计的，型中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小.某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单

位：亿人次），并绘制成南丁格尔攻珠图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（）

A.201S年至202?年，知识付裁用户数最先增加后减少

B.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多

C.2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增

D.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍

【答案】D

【分析】利用题中所给的南丁格尔玫瑰图逐一考查所给选项，即可得解.

【详解】对于A,由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A借诙；

对于BC,知识付费用户数量的逐年增加量分别为：

2016年，0.96-0.48=0.48：2017年，1.88-0.96=0.92：

2018年，2.95-1.88=1.07；2019年，3.56-2.95=0.61；

2020年，4.15-3.56=0.59；2021年，4.77-4.15=0.62；

2022年，5.27-4.77=0.5；

则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，

知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故BC错误：

对于D,由5.27>10x0.48,

则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D正确.

故选：D.

题型六：频率分布直方图问题

16.（23-24高一下•天津滨海新•期末）某校组织"交通安全"知识测试，随机调杳1000名学牛，将他们的测试成绩（满

分100分）按照[50,60）,[60,70）,…,[90,100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）

B.估计样本数据的第80百分位数为93分

C.若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这1000名学生成绩的平均数为80.5分

D.测试成绩低于80分的人数为450人

【答案】D

【分析】根据频率分布直方图的性质，百分位数的概念，平均数概念，逐个计算判断即可.

【详解】V（X+0.015+0.020+0.030+0.025）x10-1,/.x=0.010,A选项错误；

•••［90,100］的频率为0.25,•••第80百分位数在［90,100］中,

二估计降本数据的第80百分位数为100-儒=92（分），B选项错误；

•.•55x0.1+65x0.15+75x0.2+85x0.3+95x0.25=79.5（分）,C选项错误;

,二测试成绩低于80分的频率为0.1+0.15+0.2=0.45,

••・测试成绩低于80分的人数为1000x0.45=450,D选项正确.

故选：D.

17.（23-24高一下•天津和平•期末）某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一

个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图,

则以下四个说法正确的个数为（）

①估计居民月均用水量低于1.5的概率为0.25：

②估计居民月均用水量的中位数约为Z.ln?

③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3m3的人数为6万；

④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在

用水量区间［152）中应抽取3人

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由频率分布直方图求频率判断①，结合直方图中位数的求法计算中位数，即可判断②；川频率估计总体

即可判断③，结合分层抽样的概念即可判断④.

【详解】由频率分布直方图可知，

居民月均用水量低于的概率P=（0.2+0.3）X0.5=0.25,故①正确，

三组的频率之和为（0.2+0.3+0.4）x0.5=0.45<0.5,

而前四组频率之和为（0.2+0.3+0.4+0.5）X0.5=0.7>0.5,

故中位数位于［2,2.5）,由2+0.5x詈熬=2.1,②正确

0.7—0.45

估计万居民中月均用水量不低于3m3的人数为400000x0.1x3x0.5=60000,③正确

根据用水量对这100位居民进行分层，用分层抽样的方法抽取20人,则用水量在052）中应抽取20x（0.4x0.5）=4

人，④错误，

故选：C

18.（23-24高二下•陕西西安・期末）某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加逐梦深蓝，

山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，

则下列说法正确的是（）

，、频率诩距

7a...............—

6。.............

3a-------

2a-I--------------

0厂50彳0$0$0荷血绩/分

①频率分布直方图中a的值为0.005

②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80

③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78

（4）估计总体中成绩落在［60,70）内的学生人数为150

A.①②③B.①②④C.①③④D.②④

【答案】B

【分析】根据题意，由频率分布直方图的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】由频率分布直方图可得：

10x（2a+3a+7〃+6a+2a）=l,解得“=0.005,故①正确：

前三个矩形的面积为（2。+3a+7。）x10=0.6,

即第60百分位数为80,故②正确：

估计这200名学生竞赛成绩的众数为囚尸-75,故③错误；

总体中成绩落在［60,70）内的学生人数为3axlOxlOOO=15O,故④正确；

故选：3

题型七：百分数问题

19.（23-24高一下•贵州黔西•期末）兴义市峰林布依景区在春节期间，迎来众多游客，其中某天接受了一个小型的

旅行团，他们的年龄（单位：岁）如下：6,6,7,8,10,37,39,45,46,52,53,61,则这组数据的第75百

分位数是（）

A.34.5B.46C.49D.52

【答案】C

【分析】根据题意结合百分位数的定义运算求解.

【详解】因为12x75%=9,所以这组数据的第75百分位数是第9位数和第10位数的中位数竺卢=49.

故选：C.

20.（23-24高一下•广西河池•期末）国家队射击运动员小王在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6,5,

9,6,4,8,9,8,7,5,则这组数据的第60百分位数为（）

A.6.5B.7C.7.5D.8

【答案】C

【分析1先将10次射击成绩按照从小到大的顺序排列，再根据百分位数概念即可进行求解•.

【详解】将10次射击成绩按照从小到大的顺序排列为:4,5,5,6,6,7,8,8,9,9,

又因为10x60%=6,

7+&

所以这组数据第60百分位数为：—=7.5.

故选：C.

21.（23-24高一下•江苏苏州•期末）某科研单位对Os/GPr的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用

户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图

所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的笫75百分位数为（）

【答案】B

【分析】根据百分位数计算规则计算可得.

【详解】因为(0.01+0.025+0.035)x10=0.7<0.75,

(0.01+0.025+0.035+0.02)x10=0.9>0.75,

所以第75百分位数位于［80,90),设为x,

则(0.01+0.025+0.035)x10+0.02(x-80)=0.75,解得x=82.5.

故选：B

题型八：众数、平均数、中位数与方差

22.(23-24高一下•江苏无锡•期末)已知一组数据*/2，花，工4，毛满足为〈占,则下列说法正确的是()

A.这组数据的40%分位数是占

B.x2,x39x4的平均数小于内,再,七，七，七的平均数

C.X2,X3,X4的方差大于内,,％工3，.0,看的方差

D.9户3，9的极差小于百，七,占，9，后的极差

【答案】D

【分析】根据百分位数、极差、平均数、方差的概念及含义计算分析可得.

【详解】对于A,5x40%=2,所以这组数据的40%分位数是三3，故A错误；

2

对于B,不妨取这组数据为1,2,3,4,5,

此时法0%的平均数为3,$,9,04七的平均数均为3,故B错误；

对于C,由$<彳2<工3<七</可知，数据%/2，05"％比数据/，七户4更分散，

所以马,与，七的方差小于%32，%3，%4，%5的方差，故C错误;

对于D,因为X<X2<X3VX4<X5，所以不一占>々—与，故D正确:

故选：D.

23.(23-24高一下•贵州贵阳・期末)若某校高一年级10个班参加合唱比赛的得分分别为89,91,90,92,87,93,

96,94,96,95,则这组数据的众数是:中位数是.

【答案】96,92.5

【分析】把数据从小到大排列，再根据相关定义求众数和中位数.

【详解】这组数据从小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,95,96,96,

96出现的次数最多，则这组数据的众数是96；

中位数是92空十9尸3=92.5.

故答案为：96；92.5.

24.(2022•全国•模拟预测)某次数学考试中20个人的成绩如下：101,103,107,110,112,113,116,123,124,

125,125,125,126,128,134,135,137,139,144,148,若这组数据的众数为。，中位数为b,极差为c,则

a+b+c=.

【答案】297

【分析】根据众数、中位数和极差的定义逐个求解再求和即可

【详解】由题意，4=125,8=125,c=148-101=47,故a+8+c=125+125+47=297

故答案为：297

题型九：加减数据对平均数、方差的影响

25.(23-24高一下•福建福州•期末)若数据公、々、…、Z的平均数是4,方差是4,数据3为+1、3々+1、…、35+1

的平均数是小，标准差是一则下列结论正确的是()

A.加=12,5=36B./«=12,s=6

C./w=13,5=36D.w?=13,5=6

【答案】D

【分析】由数据当、x2、…、%的平均数是4,方差是4,数据3石+1、3%+1、…、3乙+1的平均数是

〃7T3(—f)+〃],方差『=：[&-4)2+(”4)2+...+(七-4)[,代入计算可得平均数%方差的值,

开方求出标准差可得答案.

【详解】因为数据当、X?、…、七的平均数是4,方差是4,

,2

即x=—(xi+JT,+♦­•+xn)=4,s-4『+(%-4)•…+(&_4)〔=4,

数据3*+1、3X2+\、…、3匕+1的平均数

m=—[(3x,+I)4-(3X,+!)+•••+(3X„+1)]=—[3(X)++---x„)+77]=3x4+1=13,

数据3%+1、3/+1、…、3x.+l的方差

222

/=1(3X,+1-13)+(3X2+1-13)+--+(3X2+1-I3)J

=-［(x-4)2+(A-4)2+--+(X,-4)2］=9X4=36,

所以标唯差是s=6.

故选：D.

26.(23-24高一下•重庆巫山・期末)已知一组样本数据外,当，…,乙的样本平均数为3,方差为2,由

然=2公+1(〃=1,2,…生成一组新的样本数据必，必，…，几，则新数据的平均数为;样本方差为.

【答案】7；8.

【分析】由期望、方差性质直接计算即可.

【详解】因为数据再,/，…，乙的样本平均数为3,方差为2,

所以数据乂,必,…,兄的样本平均数为2x3+1=7,方差为22x2=8.

故答案为：7；8

27.(23-24高一下•安徽阜阳•期中)若一组数据%,%，%的平均数为4,则数据四+2,2%+2,2%+2的平均

数为.

【答案】10

【分析】根据•组数据加上或乘以•个数之后的新数据的平均数的性质，即可求得答案.

【详解】若一组数据与，七，%的平均数为4,

则数据2%+2,2a2+2,2%+2的平均数为2x4+2=10.

故答案为：10

题型十：统计的综合问题

28.(24-25高一上•辽宁鞍山•期末)国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查

工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员，广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解

宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄(单位：岁)分组：第1组［15,25),

第2组［25,35),第3组［35,45),第4组［45,55),第5组［55,65］,得到的频率分布直方图如图所示.

⑴求。直，并求这组数据的40%分位数(精确到0.1)：

⑵现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人.抽取结果中来自第2组和第3组中的所有人的年龄的平均数和

方差分别为37和27.已知第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6,据此估计第3组所有人的年

龄的方差.

【答案】⑴0=0.010,39.3

⑵6

【分析】（1）根据频率之和为1列方程求得。，根据百分位数的求法求得这组数据的40%分位数.

（2）根据第2组和第3组的所有人的年龄的方差列方程，化简求得第3组所有人的年龄的方差.

【详解】（1）由表中数据可得10（。+（）.015+0.035+0.030+〃）=1,解得。=0.010,

设第40百分位数为〃?，

因为前2组频率0.01x10+0.015x10=0.25<0.40

前3组频率0.01x10+0.015x10+0.35xl0=0.6>0.40,所以加位于第三组：[35,45）内

即0.035x（〃？-35）+0.25=0.40,m«39.3.

（2）由题意得，第2组和第3组的频率分别为0』5。35,

故第2组和第3组所抽取的人数分别为0.15x20=3,0.35x20=7,

设第2组的宣传使者的年龄平均数分为T=30,方差为s：=6,第2组人数3人，

设第3组的宣传使者的年龄平均数为歹，方差为

第3组人数7人第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为亍，方差为/,

„._3x7v3x30+Ty一“八

则求得八4。，

即第3组所有宣传使者的年龄平均数为40,

『='{3x+（工一力2]+7x卜；+（歹一刃2]}

q{3x[6+（30-37）1+7x居+（40—37月}=27.解得s22=6,

即第3组所有宣传使者的年龄方差为6.

29.（24-25高二上•湖北,阶段练习）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防

溺水〃网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析・，得到如下图所示的频率

分布直方图所示的频率分布直方图.

频率

⑴根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数;

⑵成绩位列前10%的学生平台会生成"防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人〃的成绩至少为多少分;

⑶已知落在［60,70）内的平均成绩为67,方差是9,落在［60,80）内的平均成绩是73,方差是29,求落在［70,80）内

的平均成绩和方差.

（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：叫.记两组数据总体的样本平均数为正,

则总体样本方差/="一"+（,-可］+」一卜+国-可［）

【答案】⑴平均数为71,众数为75.

（2）88.

（3）平均数为76,方差为12.

【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点,

据此求解.

（2）依题意可知题目所求是第90%分位数，先判断第90%分位数落在哪个区间再求解即可:

（3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.

【详解】（1）一至六组的频率分别为0.电0/5,0.为,0.30,0.25,0.05,

平均数=45x0.10+55x0.15+65x0.15+75x0.30+85x0.25+95x0.05=71.

由图可知，众数为75.

以样本估计总体，该地区所有学生中肉识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.

（2）前4组的频率之和为0.10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.90,

前5组的频率之和为0.70+0.25=0.95>0.90,

第90%分位数落在第5组，设为x,贝i」D.70+（x-80）x0.025=0.90,解得x=88.

“防溺水达人”的成绩至少为88分.

（3）［60,70）的频率为0.15,［70,80）的频率为0.30,

所以网,70）的频率与［60,80）的频率之比为01器30=\

［70,80）的频率与［60,80）的频率之比为*=1

V/•1JI\Z•J\fJ

设［70,80）内的平均成绩和方差分别为,

I2——

依题意有73=4、67+工乂々，解得％=76,

JJ

29=；x［9+（67-73）2］+gxN+（76-73）］，解得$=12,

所以［70,80）内的平均成绩为76,方差为12.

30.（23-24高一下•江苏苏州・期末）2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，

志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随

机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组:第一组了5,55）,第二组［55,65）,第三组了5,75）,第四组了5,85）,

第五组［85,95］,绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3,第一组和第五组的频率相

⑴估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；

⑵在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试考内抽取10人,再从这10名面试者中随机抽取

两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率.

⑶现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成

绩的平均数和方差分别为62和40,第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70,据此估计这次第二

组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.

【答案】⑴平均数为69.5,第25百分位数为63

【分析】（1）首先算出。力，然后根据平均数、百分位数的计算公式计算即可;

（2）由列举法求解古典概型概率即可；

（3）由分层抽样方差公式计算即可.

10a+10A=0.3/”0.005

【详解】（1）由题意可知：10(0.045+0.020+4/)=0.7?解得'

6=0.025'

可知每组的频率依次为：0.05,O.2S,0/5,0.2,0.05,

所以平均数为50x0.05+60x0.25+70x0.45+80x0.2+90x0.05=69.5,

因为0.05+0.25=0.3>0.25,

设第25百分位数为x,则x<55,65),则0.05+(x-55)x0.025=0.25,解得x=63,故第25百分位数为63.

(2)10人中，第四组为8人.第五组为2人，记第四组的人的编号为1到8,第五组的人的编号为9和10,

则样本空间C={(1,2),(1,3),(1,4),…(1,10),(2,3),(2,4),…⑵⑼,(3,4卜(3,5),…⑶⑼,(4,5),

(4,6),…(4,10),(5,6)<..(5,10),(6,7),...(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8.10),(9,10)}共45个样本点，

记两名面试者成绩都在第五组为事件力，则事件力={(9,10)},故尸(4)=9：

(3)设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为即耳s；,

且两组频率之比为标=3，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数三=5弋4,80=,

70

第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差

『=翡：+(看向[#0<62T0)]4704(80，0丹号(.

故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是手.

【专题强化】

一、单选题

1.(23-24高一下•山东青岛•期末)如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是()

A.数据中可能存在极端大的值B.这组数据是不对称的

C.数据中众数一定不等于中位数D.数据的平均数大于中位数

【答案】C

【分析】根据频率分布直方图的性质结合样本的数字特征即可判断.

【详解】数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则其图单峰不对•称，故B正确：其大致图如下：

由图可知数据中可能存在极端大的值，故A正确；

由于“右拖尾〃时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，可能与众数相等，故C错误；

平均数靠近中点处，平均数容易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在"拖尾"那边，故D正确；

故选：C

2.(23-24高一下.福建福州.期末)四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰了出现的点数，根据四名同学的统计结

果，可以判断出一定没有出现点数6的是()

A.平均数为3,中位数为2B.平均数为3,方差为2

C.中位数为3,众数为2D.中位数为3,方差为L6

【答案】B

【分析】根据题意，利用特例法可判断A、C和D错误，结合平均数和方差的计算公式，可判定B正确，即可求解.

【详解】对于选项A,当投掷骰子出现的结果为1』,2,5,6时，满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6,所以

选项A错误；

对于选项B,若平均