2027高考数学九大专题专项突破第6章 立体几何

§6.1空间几何体的结构特征、表面积与体积1

考点1:空间几何体的结构特征4

考点2:空间几何体的表面积6

考点3:空间几何体的体积9

考点4:直观图12

考点5:展开图15

考点6:最短路径问题18

§6.2空间点、直线、平面之间的位置关系21

考点1:证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”23

考点2:截面问题26

考点3:异面直线的判定30

考点4:异面直线所成的角33

考点5:平面的基本性质35

考点6:等角定理37

§6.3直线、平面平行的判定与性质39

考点1:平行的判定41

考点2:线面平行构造之三角形中位线法43

考点3:线面平行构造之平行四边形法47

考点4:线面平行转化为面面平行50

考点5:利用线面平行的性质证明线线平行53

考点6:面面平行的证明56

考点7:面面平行的性质58

考点8:平行关系的综合应用61

§6.4直线、平面垂直的判定与性质64

考点1:垂直性质的简单判定67

考点2:证明线线垂直69

考点3:证明线面垂直72

考点4:证明面面垂直76

考点5:垂直关系的综合应用79

§6.5外接球、内切球、棱切球83

考点1:外接球之正方体、长方体模型88

考点2:外接球之正四面体模型89

考点3:外接球之对棱相等的三棱锥模型90

考点4:外接球之直棱柱模型91

考点5:外接球之直棱锥模型93

考点6:外接球之正棱锥、正棱台模型95

考点7:外接球之侧棱相等的棱锥模型98

考点8:外接球之圆锥、圆柱、圆台模型100

考点9:外接球之垂面模型102

13

博观而约取厚积而薄发

考点10:外接球之二面角模型105

考点11:外接球之侧棱为球的直径模型108

考点12:外接球之共斜边拼接模型110

考点13:外接球之坐标法模型112

考点14:外接球之空间多面体115

考点15:与球有关的最值问题117

考点16:内切球之正方体、正棱柱模型120

考点17:内切球之正四面体模型122

考点18:内切球之棱锥模型123

考点19:内切球之圆锥、圆台模型125

考点20:棱切球之正方体、正棱柱模型127

考点21:棱切球之正四面体模型129

考点22:棱切球之正棱锥模型131

考点23:多球相切问题133

§6.6立体几何中的截面问题136

考点1:截面作图137

考点2:截面图形的形状、面积及周长问题140

考点3:截面切割几何体的体积问题144

考点4:球与截面问题147

考点5:截面图形的个数问题149

考点6:平面截圆锥问题150

考点7:截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题155

考点8:截面有关的空间角问题158

§6.7立体几何中的轨迹问题160

考点1:由动点保持平行求轨迹161

考点2:由动点保持垂直求轨迹165

考点3:由动点保持等距(或定长)求轨迹169

考点4:由动点保持等角(或定角)求轨迹172

考点5:投影求轨迹175

考点6:翻折与动点求轨迹178

§6.8传统方法求角度与距离182

考点1:异面直线所成角184

考点2:线面角187

考点3:二面角192

考点4:距离问题198

§6.9空间向量及其应用202

考点1:空间向量的加法、减法、数乘运算207

考点2:空间共线向量定理的应用210

考点3:空间向量的数量积运算212

考点4:证明三点共线216

考点5:证明多点共面的方法217

考点6:证明直线和直线平行222

考点7:证明直线和平面平行224

考点8:证明平面与平面平行227

23

考点9:证明直线与直线垂直229

考点10:证明直线与平面垂直232

考点11:证明平面和平面垂直234

考点12:求两异面直线所成角238

考点13:求直线与平面所成角241

考点14:求平面与平面所成角244

考点15:求点面距、线面距、面面距247

考点16:点到直线距离、异面直线的距离253

§6.10立体几何中的压轴小题258

考点1:球与截面面积问题259

考点2:体积、面积、周长、角度、距离定值问题261

考点3:体积、面积、周长、距离最值与范围问题266

考点4:立体几何中的交线问题272

考点5:空间线段以及线段之和最值问题275

考点6:空间角问题278

考点7:立体几何装液体问题282

§6.11立体几何解答题286

考点1:非常规空间几何体为载体287

考点2:立体几何存在性问题291

考点3:立体几何折叠问题296

考点4:立体几何作图问题301

考点5:立体几何建系繁琐问题305

考点6:两角相等(构造全等)的立体几何问题311

考点7:利用传统方法找几何关系建系314

考点8:空间中的点不好求320

考点9:创新定义323

33

§6.1空间几何体的结构特征、表面积与体积

知识点一：构成空间几何体的基本元素-点、线、面

(1)空间中，点动成线，线动成面，面动成体．

(2)空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空

间图形或几何体(空间四边形、四面体或三棱锥)．

知识点二：简单凸多面体-棱柱、棱锥、棱台

1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由

这些面所围成的多面体叫做棱柱．

(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；

(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；

(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

(4)平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；

(5)直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；

(6)长方体：底面是矩形的直平行六面体；

(7)正方体：棱长都相等的长方体．

2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫

做棱锥．

(1)正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；

(2)正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．

3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截

得的棱台叫做正棱台．

简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．

知识点三：简单旋转体-圆柱、圆锥、圆台、球

1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．

2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何

体叫做圆锥．

LaoFan1

3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．

4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球(球

面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度)．

知识点四：组合体

由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．

知识点五：表面积与体积计算公式

表面积公式

S直棱柱=ch+2S底

柱S斜棱柱=cl+2S底(c为直截面周

体长)

2

S圆锥=2πr+2πrl=2πr(r+l)

1

锥S=nah+S

正棱锥2底

体2

S圆锥=πr+πrl=πr(r+l)

表

面

积

1

台S=n(a+a)h+S+S

正棱台2上下

体22

S圆台=π(r+r+rl+rl)

球S=4πR2

体积公式

柱体V柱=Sh

体

积

1

锥体V=Sh

锥3

1

台体V=(S+SS+S)h

台3

2LaoFan

4

球V=πR3

3

知识点六：空间几何体的直观图

1、斜二测画法

斜二测画法的主要步骤如下：

(1)建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系．

(2)画出斜坐标系．在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形．在已知图形平行于x轴的线段，

在直观图中画成平行于Ox，Oy，使∠xOy=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平平面．

(3)画出对应图形．在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x轴的线段，且长度

保持不变；在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度变为原来的一般．可

简化为“横不变，纵减半”．

(4)擦去辅助线．图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线)．被挡住的棱画虚

线．

注：直观图和平面图形的面积比为2：4．

2、平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．

LaoFan3

考点1:空间几何体的结构特征

1(2024·安徽·高三校联考阶段练习)已知几何体，“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是

“几何体为棱柱”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2(2024·全国·高三对口高考)设有三个命题；甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：

底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是平行六面体．以上命题中真命题的个数为

()

A.0个B.1个C.2个D.3个

3(2024·全国·高三专题练习)下列命题：

①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；

②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；

③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；

④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．

其中正确命题的个数为()

A.0B.1C.2D.3

4(2024·新疆·统考模拟预测)下列命题中正确的是()

A.有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．

B.各个面都是三角形的几何体是三棱锥．

C.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体．

D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线．

4LaoFan

5(2024·全国·高三专题练习)下列说法正确的是()

A.三角形的直观图是三角形

B.直四棱柱是长方体

C.平行六面体不是棱柱

D.两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台

6(2024·全国·高三专题练习)给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

7(2024·全国·高三专题练习)如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()

A.是棱台B.是圆台

C.不是棱柱D.是棱锥

【解题方法总结】

空间几何体结构特征的判断技巧

(1)紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线

面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．

(2)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．

LaoFan5

考点2:空间几何体的表面积

8(2024·湖北武汉·统考模拟预测)已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径，则球与

圆锥的表面积之比为()

1631

A.8B.C.D.

3168

9(2024·河南郑州·统考模拟预测)在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所

示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm，高为4cm，内孔半径为1cm，则此几何体的表面积

是()cm2．

27

A.72+3+6πB.72+273+8πC.72+273+6πD.60+273+6π

2

10(2024·安徽安庆·安庆一中校考三模)陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发

现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径AB=12cm，圆

柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=4cm，则这个陀螺的表面积(单位：cm2)是()

A.144+1213πB.144+2413πC.108+1213πD.108+2413π

11(2024·西藏拉萨·统考一模)位于徐州园博园中心位置的国际馆(一云落雨)，使用现代科技雾

化“造云”，打造温室客厅，如图，这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种经典几何形式，

6LaoFan

表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一．其中最大的是3号展馆，其顶部所对应的正四棱锥底

面边长为19.2m，高为9m，则该正四棱锥的侧面面积与底面面积之比约为()(参考数据：173.16≈

13.16)

A.2B.1.71C.1.37D.1

12(2024·湖南长沙·高三校联考阶段练习)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某

学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正

六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2:3，则正六棱锥

与正六棱柱的侧面积的比值为()

74311

A.B.C.D.

824927

13(2024·河北·统考模拟预测)《九章算术》是我国古代的数学名著．其“商功”中记载：“正四面

形棱台(即正四棱台)建筑物为方亭．”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体

部分抽象成ABCD-A1B1C1D1的正四棱台(如图所示)，其中上底面与下底面的面积之比为1:16，

方亭的高为棱台上底面边长的3倍．已知方亭的体积为567m3，则该方亭的表面积约为()(5≈

2.2，3≈1.7，2≈1.4)

LaoFan7

A.380m2B.400m2C.450m2D.480m2

14(2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)仿钧玫瑰紫釉盘是收藏于北京故宫博物院

的一件明代宣德年间产的瓷器．该盘盘口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齐．通体施玫瑰紫釉，釉

面棕眼密集，美不胜收．仿钧玫瑰紫釉盘的形状可近似看成是圆台和圆柱的组合体，其口径为

15.5cm，足径为9.2cm，顶部到底部的高为4.1cm，底部圆柱高为0.7cm，则该仿钧玫瑰紫釉盘圆台部

分的侧面积约为()(参考数据：π的值取3，21.4825≈4.6)

A.143.1cm2B.151.53cm2C.155.42cm2D.170.43cm2

方法2(估算法)：若按底面直径为15.5cm，高为3.4cm的圆柱估算圆台部分的侧面积得S≈3×15.5

×3.4=158.1cm2，易知圆台的侧面积应大于所估算的圆柱的侧面积，故此仿钧玫瑰紫釉盘圆台部

分的侧面积大于158.1cm2，对照各选项可知只有D符合．

故选：D

【解题方法总结】

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．

(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．

(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．

8LaoFan

考点3:空间几何体的体积

15(2024·广东梅州·统考三模)在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听

悲笳．”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱

的组合体，圆锥的高为4，侧面积为15π，圆柱的侧面积为18π，则该毡帐的体积为()

A.39πB.18πC.38πD.45π

16(2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的

3

半圆面，其内接正四棱柱的高为，则此正四棱柱的体积是()

3

96938386

A.B.C.D.

882727

17(2024·山东青岛·高三统考期中)已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为36π，

则该正四棱锥的体积最大值为()

6481

A.18B.C.D.27

34

18(2024·湖北武汉·高三统考开学考试)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为

最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于

亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱

锥．已知正四棱锥的底面边长为32米，侧棱长为5米，则其体积为()立方米．

LaoFan9

A.242B.24C.722D.72

19(2024·广东河源·高三校联考开学考试)最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数

书九章》(1247年)．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测

雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收

集雪量(平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积)，已知数据如图(注意：单位cm)，则平

地降雪厚度的近似值为()

91319597

A.cmB.cmC.cmD.cm

1241212

20(2024·浙江·校联考模拟预测)如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下

底面边长分别为20cm和10cm，侧棱长为56cm．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平

升”．则该“升”的“平升”约可装1000cm3=1L()

A.1.5LB.1.7LC.2.3LD.2.7L

10LaoFan

【解题方法总结】

求空间几何体的体积的常用方法

公式法规则几何体的体积，直接利用公式

把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何

割补法

体

等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积

LaoFan11

考点4:直观图

21(2024·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测)已知用斜二测画法画梯形OABC的

2

直观图OABC如图所示，OA=3CB，CE⊥OA，S=8，CD⎳y轴，CE=，D

OABC2

为OA的三等分点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为．

22(2024·全国·高三对口高考)若正△ABC用斜二测画法画出的水平放置图形的直观图为

△ABC，当△ABC的面积为3时，△ABC的面积为．

23(2024·四川成都·高三统考阶段练习)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，

边AB与CD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为1cm2，则原平面图形的面积为

cm2．

24(2024·全国·高三专题练习)如图，△AOB是用斜二测画法得到的△AOB的直观图，其中

OA=2，OB=3，则AB的长度为．

12LaoFan

25(2024·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平

面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)．∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块

菜地的面积为

26(2024·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试)我们知道一条线段在“斜二测”画法中它

的长度可能会发生变化的，现直角坐标系平面上一条长为4cm线段AB按“斜二测”画法在水平放

置的平面上画出为AB，则AB最短长度为cm(结果用精确值表示)

27(2024·陕西延安·校考一模)如图，梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中

∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则原图形的面积为．

LaoFan13

28(2024·全国·高三专题练习)如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个

正方形，则原来图形的面积是．

【解题方法总结】

2

斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：S=S．

直4原

14LaoFan

考点5:展开图

29(2024·山东青岛·统考三模)已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为半圆，则该圆锥内半径

最大的球的表面积为．

30(2024·全国·高三专题练习)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图中，B，C是线段

AD的三等分点，且AD=33．若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则AA1=．

31(2024·上海普陀·高三统考期中)2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆

场预定区域成果着陆．如图，在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200平方米，若主降落

伞完全展开后可以近似看着一个半球，则完全展开后伞口的直径约为米(精确到整数)

32(2024·山东淄博·统考一模)已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥

的体积为．

LaoFan15

33(2024·安徽·蚌埠二中校联考模拟预测)如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，CD∥

465

AB，AB⊥AC，AB=2AC=2，CD=13，cos∠BCF=，则三棱锥P-ABC外接球表面

65

积为．

34(2024·全国·高三专题练习)已知三棱锥P-ABC的底面ABC为等边三角形．如图，在三棱

513

锥P-ABC的平面展开图中，P，F，E三点共线，B，C，E三点共线，cos∠PCF=，PC=

26

13，则PB=．

35(2024·安徽黄山·统考一模)如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，正方形ABCD的边

长为4，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，HDC=FAB=90°，则该四棱锥外接球被平

面PBC所截的圆面的面积为．

16LaoFan

36(2024·山西大同·高三统考阶段练习)如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，AC=1，

AB=AD=3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为

．

【解题方法总结】

多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关

系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．

LaoFan17

考点6:最短路径问题

37(2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末)如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的

母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬

行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为()．

153235π1282π83

A.B.C.D.

327813

38(2024·陕西宝鸡·高一统考期末)盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长

为2cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则

包装盒的棱长最短为()

A.6cmB.26cmC.46cmD.6cm

39(2024·全国·高一专题练习)如图，已知正四棱椎S-ABCD的侧棱长为23，侧面等腰三角

形的顶角为30°，则从A点出发环绕侧面一周后回到A点的最短路程为()

A.26B.23C.6D.6

40(2024·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习)我们知道立体图形上的最短路径问题通常是

把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线．请根据此方法求

18LaoFan

函数fx,y=x2-3x+1+y2-3y+1+x2-3xy+y2(x>0,y>0)的最小值()

A.2B.3C.6D.23

41(2024·全国·高三专题练习)盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为

4cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包

装盒的棱长最短为()

A.6cmB.26cmC.46cmD.6cm

42(2024·山东济宁·高一校考阶段练习)如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为4的边旋转二

周后所得如图的一开口容器(下表面密封)，P是BC中点，现有一只妈蚁位于外壁A处，内壁P处

有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米粒，则它所需经过的最短路程为

()

A.π2+36B.π2+16C.4π2+36D.4π2+1

43(2024·全国·高一专题练习)如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=2，由顶

点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短

路线长为()

LaoFan19

A.22B.25C.4D.45

44(2024·河北·高三专题练习)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点E为AA1的中

点，在对角面BB1D1D上取一点M，使AM+ME最小，其最小值为

【解题方法总结】

此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题

20LaoFan

§6.2空间点、直线、平面之间的位置关系

知识点一．四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

注意：(1)此公理是判定直线在平面内的依据；(2)此公理是判定点在面内的方法

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

注意：(1)此公理是确定一个平面的依据；(2)此公理是判定若干点共面的依据

推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；

注意：(1)此推论是判定若干条直线共面的依据

(2)此推论是判定若干平面重合的依据

(3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据

推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

注意：(1)此公理是判定两个平面相交的依据

(2)此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据(比如证明三点共线、三线共点)

(3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

知识点二．直线与直线的位置关系

位置关系相交(共面)平行(共面)异面

图形

符号a∩b=Pa∥ba∩α=A，b⊂α，A∉

b

公共点个100

数

特征两条相交直线确定一个平两条平行直线确定一个两条异面直线不同在

面平面如何一个平面内

知识点三．直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情

况．

位置关系包含(面内线)相交(面外线)平行(面外线)

图形

LaoFan21

符号l⊂αl∩α=Pl∥α

公共点个数无数个10

知识点四．平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况．

位平行相交(但不垂直)垂直

置关系

图

形

符α∥βα∩β=lα⊥β，α∩β=l

号

公0无数个公共点且都在无数个公共点且都在唯

共点个唯一的一条直线上一的一条直线上

数

知识点五．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

22LaoFan

考点1:证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”

45(2024·山西大同·高一校考期中)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD

的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2，求证：

(1)E，F，G，H四点共面；

(2)EG与HF的交点在直线AC上．

46(2024·陕西西安·高一校考期中)(1)已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有

且只有一个平面；

(2)如图，在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的

CFAE1

点，且==．求证：直线EH，BD，FG相交于一点．

FBEB3

47(2024·河南信阳·高一校联考期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，

AA1上的点，且A1F=2FA，BE=2AE．

LaoFan23

(1)证明：E，C，D1，F四点共面；

(2)设D1F∩CE=O，证明：A，O，D三点共线．

48(2024·全国·高一专题练习)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中

点，G，H分别在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2．求证：

(1)E、F、G、H四点共面；

(2)EG与HF的交点在直线AC上．

49(2024·云南楚雄·高一统考期中)如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别

为棱A1B1，B1C1，AB，BC的中点．

(1)证明E，F，G，H四点共面；

(2)证明GE，FH，BB1相交于一点．

24LaoFan

50(2024·全国·高三专题练习)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，

AA1的中点．

(1)求证：CE，D1F，DA三线交于点P；

(2)在(1)的结论中，G是D1E上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．

【解题方法总结】

共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．

(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．

(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

LaoFan25

考点2:截面问题

51(2024·全国·高三对口高考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为23，动点P在对角线

BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为y，设BP=

x，则当x∈1,5时，函数y=fx的值域为()

A.36,66B.6,26C.0,6D.0,36

52(2024·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的

棱长为1，E，F，G分别为线段BC，CC1，BB1上的动点(不含端点)，

π

①异面直线DD与AF所成角可以为

14

②当G为中点时，存在点E，F使直线A1G与平面AEF平行

9

③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为

8

④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等

则上述结论正确的是()

A.①③B.②④C.②③D.①④

53(2024·河南·模拟预测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，过

M，N，B1三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面形状为()

26LaoFan

A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形

54(2024·河南·模拟预测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，则

下列结论正确的个数为()

22

①MN⎳平面AACC；②MN⊥BC；③直线MN与AC所成角的余弦值为

11113

④过M，N，B1三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为梯形

A.1B.2C.3D.4

55(2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习)在棱长为2的正方体ABCD-

A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，对于如下命题：①异面直线DD1与B1F所成角的余弦

532

值为；②点P为正方形ABCD内一点，当DP⎳平面BEF时，DP的最小值为；③过

5111112

点D1，E，F的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面周长为213+2；④当三棱锥B1-

BEF的所有顶点都在球O的表面上时，球O的体积为6π．则正确的命题个数为()

A.1B.2C.3D.4

56(2024·河南新乡·统考三模)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的

中点，过A，D1，E三点的截面把正方体ABCD-A1B1C1D1分成两部分，则这两部分中大的体积与

小的体积的比值为()

LaoFan27

171377

A.B.C.D.

7734

57(2024·新疆·校联考二模)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为BB1，A1C1的中

点，AA1=2，AB=2，BC=32，AC=4，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱

ABC-A1B1C1的截面，则所得截面的面积为()

A.10B.15C.25D.30

58(2024·新疆阿克苏·校考一模)已知M，N，P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1，

CC1的中点，则平面MNP