2027高考数学九大专题专项突破第8章 圆锥曲线

§8.1椭圆及其性质1

考点1:椭圆的定义与标准方程4

考点2:椭圆方程的充要条件7

考点3:椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题9

考点4:椭圆上两点距离的最值问题14

考点5:椭圆上两线段的和差最值问题16

考点6:离心率的值及取值范围19

考点7:椭圆的简单几何性质问题33

考点8:利用第一定义求解轨迹36

§8.2双曲线及其性质39

考点1:双曲线的定义与标准方程42

考点2:双曲线方程的充要条件44

考点3:双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题46

考点4:双曲线上两点距离的最值问题49

考点5:双曲线上两线段的和差最值问题51

考点6:离心率的值及取值范围54

考点7:双曲线的简单几何性质问题69

考点8:利用第一定义求解轨迹71

考点9:双曲线的渐近线74

考点10:共焦点的椭圆与双曲线76

§8.3抛物线及其性质78

考点1:抛物线的定义与方程81

考点2:抛物线的轨迹方程83

考点3:与抛物线有关的距离和最值问题85

考点4:抛物线中三角形，四边形的面积问题88

考点5:焦半径问题90

考点6:抛物线的性质95

§8.4圆锥曲线离心率题型全归纳98

考点1:建立关于a和c的一次或二次方程与不等式99

考点2:圆锥曲线第一定义102

考点3:圆锥曲线第二定义105

考点4:圆锥曲线第三定义(斜率之积)106

考点5:利用数形结合求解108

考点6:利用正弦定理110

考点7:利用余弦定理112

考点8:内切圆问题115

考点9:椭圆与双曲线共焦点117

考点10:利用最大顶角θ120

考点11:基本不等式121

考点12:已知PF1⋅PF2范围122

考点13:PF1=λPF2123

考点14:中点弦124

14

博观而约取厚积而薄发

考点15:已知焦点三角形两底角125

考点16:利用渐近线的斜率126

考点17:坐标法129

考点18:利用焦半径的取值范围132

考点19:四心问题134

§8.5曲线的轨迹方程136

考点1:直接法137

考点2:定义法139

考点3:相关点法142

考点4:交轨法144

考点5:参数法148

考点6:点差法149

考点7:立体几何与圆锥曲线的轨迹151

考点8:复数与圆锥曲线的轨迹153

考点9:向量与圆锥曲线的轨迹155

考点10:利用韦达定理求轨迹方程157

§8.6直线与圆锥曲线的位置关系160

考点1:直线与圆锥曲线的位置关系162

考点2:中点弦问题164

考点3:弦长问题170

考点4:面积问题173

§8.7弦长问题179

考点1:弦长问题180

考点2:长度和问题182

考点3:长度差问题184

考点4:长度商问题185

考点5:长度积问题189

考点6:长度的范围与最值问题191

考点7:长度的定值问题197

§8.8面积问题204

1

考点1:三角形的面积问题之S=⋅底·高205

△2

考点2:三角形的面积问题之分割法207

考点3:三角形、四边形的面积问题之面积坐标化208

考点4:三角形的面积比问题之共角、等角模型211

考点5:三角形的面积比问题之对顶角模型213

考点6:四边形的面积问题之对角线垂直模型216

考点7:四边形的面积问题之一般四边形217

§8.9垂直弦问题222

考点1:椭圆内接直角三角形的斜边必过定点223

考点2:双曲线内接直角三角形的斜边必过定点226

考点3:抛物线内接直角三角形的斜边必过定点227

考点4:椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点230

考点5:双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点232

考点6:抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点234

考点7:内接直角三角形范围与最值问题237

考点8:两条互相垂直的弦中点范围与最值问题239

考点9:斜率题型全归纳240

24

考点10:斜率和问题241

考点11:斜率差问题246

考点12:斜率积问题249

考点13:斜率商问题254

§8.10存在性问题的探究258

考点1:存在点使向量数量积为定值259

考点2:存在点使斜率之和或之积为定值261

考点3:存在点使两角度相等263

考点4:存在点使等式恒成立265

考点5:存在点使线段关系式为定值267

§8.11切点与切点弦270

考点1:切线问题271

考点2:切点弦过定点问题273

考点3:利用切点弦结论解决定值问题276

考点4:利用切点弦结论解决最值问题280

考点5:利用切点弦结论解决范围问题284

§8.12双切线问题286

考点1:定值问题287

考点2:斜率问题289

考点3:交点弦过定点问题292

考点4:交点弦定值问题295

考点5:交点弦最值问题297

考点6:交点弦范围问题299

§8.13定点、定值问题301

考点1:面积定值302

考点2:向量数量积定值305

考点3:斜率和定值307

考点4:斜率积定值309

考点5:斜率比定值310

考点6:线段定值311

考点7:直线过定点314

考点8:动点在定直线上317

考点9:圆过定点320

考点10:角度定值322

§8.14参数范围与最值325

考点1:弦长最值问题326

考点2:三角形面积最值问题328

考点3:四边形面积最值问题330

考点4:弦长的取值范围问题332

考点5:三角形面积的取值范围问题335

考点6:四边形面积的取值范围问题337

考点7:向量数量积的取值范围问题339

考点8:参数的取值范围341

§8.15圆锥曲线中的圆问题344

考点1:蒙日圆问题345

考点2:内圆与外圆问题348

考点3:直径为圆问题352

34

博观而约取厚积而薄发

考点4:四点共圆问题355

§8.16阿基米德三角形358

考点1:定点问题359

考点2:交点的轨迹问题361

考点3:切线垂直问题364

考点4:面积问题366

考点5:外接圆问题369

考点6:最值问题370

考点7:角度相等问题372

考点8:圆锥曲线拓展题型一375

考点9:定比点差法376

考点10:齐次化378

考点11:极点极线问题379

考点12:蝴蝶问题382

考点13:圆锥曲线题型拓展(二)387

考点14:仿射变换问题391

考点15:非对称韦达问题394

考点16:椭圆的光学性质397

考点17:双曲线的光学性质402

考点18:抛物线的光学性质407

考点19:三点共线问题412

44

§8.1椭圆及其性质

知识点一：椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点

叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，定义用集合语言表示为：

P||PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|=2c>0)

注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段；

当2a<2c时，点的轨迹不存在．

知识点二：椭圆的方程、图形与性质

椭圆的方程、图形与性质所示．

焦点的位

焦点在x轴上焦点在y轴上

置

图形

x2y2y2x2

标准方程+=1a>b>0+=1a>b>0

a2b2a2b2

统一方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)

x=acosθx=acosθ

参数方程，θ为参数(θ∈[0,2π])，θ为参数(θ∈[0,2π])

y=bsinθy=bsinθ

第一定义到两定点F1、⬝F2的距离之和等于常数2a，即|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)

范围-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a

Α1-a,0、Α2a,0Α10,-a、Α20,a

顶点

Β10,-b、Β20,bΒ1-b,0、Β2b,0

轴长长轴长=2a，短轴长=2b长轴长=2a，短轴长=2b

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c

LaoFan1

222

焦距F1F2=2c(c=a-b)

c2222

离心率e==c=a-b=1-b(0<e<1)

aa2a2a2

a2

准线方程x=±

c

点和椭圆>1外>1外

x2y2y2x2

0+0=1⇔点(x，y)在椭圆上0+0=1⇔点(x，y)在椭圆上

a2b200a2b200

的关系<1内<1内

xxyyyyxx

0+0=1((x，y)为切点)0+0=1((x，y)为切点)

a2b200a2b200

切线方程22

对于过椭圆上一点(x0，y0)的切线方程，只需将椭圆方程中x换为x0x，y换为y0y

可得

切点弦所

xxyyyyxx

在的直线0+0=1(点(x，y)在椭圆外)0+0=1(点(x，y)在椭圆外)

a2b200a2b200

方程

2b2

①cosθ=-1，θmax=∠F1BF2，(B为短轴的端点)

r1r2

c|y|,焦点在x轴上

②12θ0

SΔPF1F2=r1r2sinθ=btan=(θ=∠F1PF2)

22c|x0|,焦点在y轴上

焦点三角

形面积

2

当P点在长轴端点时,(r1r2)min=b

③2

当P点在短轴端点时,(r1r2)max=a

焦点三角形中一般要用到的关系是

|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c)

S=1|PF||PF|sin∠FPF

ΔPF1F221212

222

|F1F2|=|PF1|+|PF2|-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2

左焦半径：MF1=a+ex0上焦半径：MF1=a-ey0

焦半径又焦半径：MF1=a-ex0下焦半径：MF1=a+ey0

焦半径最大值a+c，最小值a-c

b2

通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2(最短的过焦点的弦)

a

设直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，kAB=k，

弦长公式

222

则弦长AB=1+kx1-x2=1+k(x1-x2)-4x1x2

2LaoFan

2Δ

=1+1(y-y)-4yy=1+k2

k21212|a|

(其中a是消y后关于x的一元二次方程的x2的系数，Δ是判别式)

【解题方法总结】

2

(1)过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为2b．

a

①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．

②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．

距离的最大值为a+c，距离的最小值为a-c．

(2)椭圆的切线

22

xyx0xy0y

①椭圆+=1(a>b>0)上一点P(x，y)处的切线方程是+=1；

a2b200a2b2

22

xyx0xy0y

②过椭圆+=1(a>b>0)外一点P(x，y)，所引两条切线的切点弦方程是+=1；

a2b200a2b2

x2y2

③椭圆+=1(a>b>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=c2．

a2b2

LaoFan3

考点1:椭圆的定义与标准方程

2

1(2024·高二课时练习)已知椭圆C上任意一点Px,y都满足关系式x-1+y2+

2

x+1+y2=4，则椭圆C的标准方程为．

1

2(2024·山东青岛·统考三模)已知椭圆C的长轴长为4，它的一个焦点与抛物线y=x2的焦点

4

重合，则椭圆C的标准方程为．

x2y2

3(2024·全国·高二专题练习)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点为F(-1,0)，F

a2b212

3

(1,0)，且过点P1,，则椭圆标准方程为．

2

x2y2

4(2024·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测)已知椭圆E：+=1(a>b>0)，F是E的左

a2b2

焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B．若直线AB的斜率为-3，△ABF的面积为

3

，则E的标准方程为．

13

x2y2

5(2024·全国·高二专题练习)已知椭圆焦点在x轴，它与椭圆+=1有相同离心率且经过

43

点2,-3，则椭圆标准方程为．

4LaoFan

6(2024·北京·高二北大附中校考期末)与双曲线4y2-3x2=12有相同焦点，且长轴长为6的椭

圆标准方程为．

x2y2

7(2024·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末)已知椭圆E：+=1a>b>0的

a2b2

1

左、右焦点分别为F，F，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF⊥FQ，且S=a2，

1222△PF2Q2

PF2+F2Q=8，则E的标准方程为．

x2y2

8(2024·山东青岛·高二青岛二中校考期中)过点5,-3，且与椭圆+=1有相同的焦

259

点的椭圆标准方程是．

9(2024·浙江丽水·高三校考期中)我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫做“相

x2y2

似椭圆”．若椭圆E：+=1，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标准方程为

1612

．

x2y2

10(2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F，F，

a2b212

左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为43，且

LaoFan5

2

直线AM与AN的斜率之积为-，则椭圆C的标准方程为．

3

11(2024·高二课时练习)已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A(-3，-2)和B(-23，1)两

点，则椭圆C的标准方程为．

【解题方法总结】

(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列

出a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而求得标准方程．

注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)．

x2y2x2y2

②与椭圆+=1共焦点的椭圆可设为+=1(k>-m,k>-n,m≠n)．

mnm+kn+k

x2y2x2y2

③与椭圆+=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆，可设为+=k(k>0，焦点在x轴

a2b2a2b211

x2y2

上)或+=k(k>0，焦点在y轴上)．

a2b222

6LaoFan

考点2:椭圆方程的充要条件

12(2024·全国·高三对口高考)若θ是任意实数，方程x2sinθ+y2cosθ=5表示的曲线不可能是

()

A.圆B.抛物线C.椭圆D.双曲线

13(2024·上海徐汇·位育中学校考三模)已知m∈R，则方程2-mx2+m+1y2=1所表示的

曲线为C，则以下命题中正确的是()

1

A.当m∈,2时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆

2

B.当曲线C表示双曲线时，m的取值范围是2,+∞

C.当m=2时，曲线C表示一条直线

D.存在m∈R，使得曲线C为等轴双曲线

14(2024·全国·高三专题练习)已知方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0，其中A≥B≥C

≥D≥E≥F．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：

甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；

丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．

其中，真命题有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

15(2024·全国·高三专题练习)“0<a<1，0<b<1”是“方程ax2=1-by2表示的曲线为椭圆”的

()

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

LaoFan7

x2y2

16(2024·云南楚雄·高三统考期末)已知曲线C：+=1，则“a>0”是“曲线C是椭圆”

4a3a+2

的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

y2

17(2024·全国·高三专题练习)设a为实数，则曲线C：x2-=1不可能是()

1-a2

A.抛物线B.双曲线C.圆D.椭圆

x2y2

18(2024·广西钦州·高三校考阶段练习)“1<k<5”是方程“+=1表示椭圆”的

k-15-k

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条

【解题方法总结】

x2y2

+=1表示椭圆的充要条件为：m>0，n>0，m≠n；

mn

x2y2

+=1表示双曲线方程的充要条件为：mn<0；

mn

x2y2

+=1表示圆方程的充要条件为：m=n>0．

mn

8LaoFan

考点3:椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题

x2y2

19(2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习)已知点A，B是椭圆C：+=1上关于原点对称

94

的两点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若AF1=2，则BF1=()

A.1B.2C.4D.5

x2y2

20(2024·北京·高三强基计划)如图，过椭圆+=1的右焦点F作一条直线，交椭圆于A，

432

B两点，则△F1AB的内切圆面积可能是()

A.1B.2C.3D.4

x2

21(2024·江西·高三统考阶段练习)已知椭圆C：+y2=1(a>1)，F，F为两个焦点，P为椭

a212

圆C上一点，若△PF1F2的周长为4，则a=()

35

A.2B.3C.D.

24

LaoFan9

x2y2

22(2024·河南·高三阶段练习)已知F，F分别为椭圆C：+=1(a>23)的两个焦点，且

12a212

1

C的离心率为，P为椭圆C上的一点，则△PFF的周长为()

212

A.6B.9C.12D.15

x2y2

23(2024·全国·校联考模拟预测)已知椭圆E：+=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为

a2b2

162

B，左、右焦点分别为F，F，延长BF交椭圆E于点P．若点A到直线BF的距离为，

12223

△PF1F2的周长为16，则椭圆E的标准方程为()

x2y2x2y2x2y2x2y2

A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1

25163632494810064

x2y2

24(2024·广东梅州·统考三模)已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F，F，过点F的直

95122

线l与椭圆C的一个交点为A，若AF2=4，则△AF1F2的面积为()

A.23B.13C.4D.15

x2y2

25(2024·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试)椭圆E：+=1(a>b>0)的两焦点

43

分别为F1，F2，A是椭圆E上一点，当△F1AF2的面积取得最大值时，∠F1AF2=()

πππ2π

A.B.C.D.

6233

x2y2

26(2024·河南开封·统考三模)已知点P是椭圆+=1上一点，椭圆的左、右焦点分别为

259

1

F、F，且cos∠FPF=，则△PFF的面积为()

1212312

10LaoFan

92

A.6B.12C.D.22

2

x2

27(2024·全国·高三专题练习)设F，F为椭圆C：+y2=1的两个焦点，点P在C上，若PF⋅

1251

PF2=0，则PF1⋅PF2=()

A.1B.2C.4D.5

x2y2

28(2024·全国·高三专题练习)设O为坐标原点，F，F为椭圆C：+=1的两个焦点，点

1296

3

P在C上，cos∠FPF=，则|OP|=()

125

13301435

A.B.C.D.

5252

x2y21

29(2024·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测)若椭圆C：+=1a>b>0的离心率为，

a2b22

两个焦点分别为F1-c,0，F2c,0c>0，M为椭圆C上异于顶点的任意一点，点P是△MF1F2的

PM

内心，连接MP并延长交F1F2于点Q，则=()

PQ

11

A.2B.C.4D.

24

x2y2

30(2024·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F，

2591

F2，直线y=kx与椭圆C交于A，B两点，若AB=F1F2，则△ABF1的面积等于()

A.18B.10C.9D.6

LaoFan11

x2y2

31(2024·贵州黔西·校考一模)设椭圆C：+=1a>b>0的左、右焦点分别为F，F，离

a2b212

2

心率为．P是C上一点，且FP⊥FP．若△PFF的面积为2，则a=()

21212

A.1B.2C.2D.4

x2y2

32(2024·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测)已知椭圆C：+=1(0<b<3)的左、

9b2

右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆

C上，则△F1PF2的面积为()

A.63B.33C.23D.3

33(2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上

的一点P与两个焦点F1，F2的距离的和等于4，且∠PF1F2=120°，则△PF1F2的面积为()

33233333

A.B.C.D.

7545

x2

34(2024·河北唐山·统考三模)已知椭圆C：+y2=1的两个焦点分别为F，F，点M为C上

212

MF2

异于长轴端点的任意一点，∠F1MF2的角平分线交线段F1F2于点N，则=()

F2N

1102

A.B.C.D.2

552

12LaoFan

【解题方法总结】

焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离

问题常用定义，即|PF1|+|PF2|=2a．

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考点4:椭圆上两点距离的最值问题

x2y2

35(2024·湖南·校联考二模)已知F，F分别为椭圆C：+=1的两个焦点，P为椭圆上一

1262

22

点，则PF1+PF2-2PF1PF2的最大值为()

A.64B.16C.8D.4

x2y2

36(2024·云南·高三校联考阶段练习)已知A(3,0)，B(-3,0)，P是椭圆+=1上的任意一

2516

点，则|PA|⋅|PB|的最大值为()

A.9B.16C.25D.50

x2y2

37(2024·河南·高三期末)已知P是椭圆C：+=1上的动点，且与C的四个顶点不重合，

1612

F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若点M在∠F1PF2的平分线上，且MF1⋅MP=0，则OM的取值

范围是()

A.0,2B.0,23C.0,4-23D.0,1

x2y2

38(2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知F，F是椭圆C：+=1的两个焦

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22

点，点P在C上，则PF1+PF2的取值范围