2027高考数学一轮复习通关讲义(原卷版)

2027高考一轮复习通关讲义

第1讲集合结论16

结论一、集合的互异性16

结论二、集合相等16

结论三、集合子集个数16

结论四、子集与交集17

结论五、子集与并集17

结论六、子集与空集17

结论七、交集与空集17

结论八、并集与空集18

结论九、反演律(德摩根定律)18

结论十、容斥原理18

第2讲复数的概念和性质19

通关一、复数的定义19

通关二、虚数单位i的周期性19

通关三、复数核心运算19

结论一、复数的分类19

结论二、复数相等20

结论三、共轭复数20

结论四、复数的加法与减法及意义20

结论五、复数的乘法21

结论六、复数的除法21

结论七、复数的模21

第3讲函数三要素23

通关一、函数符号y=f(x)的理解23

通关二、函数的值域23

结论一、具体函数定义域的求解24

结论二、抽象函数定义域的求解24

结论三、同一个函数的判定方法24

结论四、函数表达式24

结论五、换元法求函数的值域25

第4讲函数的单调性26

通关一、函数单调性的定义及几何意义26

通关二、函数的最值27

结论一、定义法证明函数单调性27

结论二、函数单调性的正向与逆向理解27

结论三、单调性结论27

结论四、单调性性质28

结论五、单调性求最值28

第5讲函数的奇偶性29

通关一、函数奇偶性的定义和性质29

·1·

通关二、函数奇偶性的运算29

通关三、一些重要类型的奇偶函数30

结论一、定义域优先30

结论二、函数的构造30

结论三、奇函数特性30

结论四、偶函数特性31

结论五、奇偶性与单调性关系31

第6讲函数的对称性32

通关一、轴对称32

通关二、中心对称32

通关三、常见对称性结论32

结论一、f(a+x)=f(a-x)型33

结论二、f(a+x)=f(b-x)型34

结论三、y=f(x+a)为偶函数型34

结论四、f(a+x)=-f(a-x)型34

结论五、f(a+x)=-f(b-x)型34

结论六、f(a+x)+f(b-x)=c型35

结论七、y=f(x+a)为奇函数型35

ax+b

结论八、f(x)=型35

cx+d

结论九、含绝对值的函数对称性35

结论十、两个函数的对称性36

结论十一、对称轴斜率为1或-136

结论十二、对称性与单调性结论37

第7讲函数的周期性38

通关一、周期概念理解38

通关二、常见周期性结论38

结论一、f(x±a)=f(x)(a≠0)型39

结论二、f(x+a)=-f(x)型39

结论三、f(x+a)=f(x±b)型39

结论四、f(a+x)=-f(x-b)型39

结论五、f(x)+f(x+a)=k型40

1

结论六、f(x+a)=型40

f(x)

1

结论七、f(x+a)=-型40

f(x)

结论八、f(x)·f(x+a)=k型41

1-f(x)

结论九、f(x+a)=型41

1+f(x)

1+f(x)

结论十、f(x+a)=型41

1-f(x)

结论十一、两线型42

结论十二、一点一线型42

结论十三、两点型42

·2·

第8讲二次函数44

通关一、二次函数的解析式44

通关二、二次函数的图像和性质44

结论一、y=ax2+bx+c(a≠0)的性质与a,b,c的关系45

结论二、二次函数的对称性46

结论三、二次函数的单调性46

结论四、给定区间上的值域47

结论五、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系47

结论六、一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)根的分布48

第9讲指数运算及指数函数50

通关一、根式的概念和性质50

通关二、指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像与性质50

结论一、指数基本运算51

结论二、指数比较大小51

结论三、指数函数过定点52

结论四、底数a对指数函数图像的影响52

结论五、指数数数单调53

第10讲对数运算及对数函数54

通关一、对数恒等式与对数的杜质54

通关二、常用对数与自然对数54

通关三、对数函数的图像和性质54

结论一、对数基本运算55

结论三、换底公式55

结论三、对数比大小56

结论四、对数函数过定点56

结论五、底数a对对数函数图像的影响56

结论六、对数函数单调性57

第11讲幂的运算及幂函数59

通关一、五种常见幂函数的图像与性质59

通关二、幂函数的性质59

结论一、幂函数的图像特征59

结论二、幂函数比较大小60

结论三、幂函数单调性61

第12讲分段函数62

通关一、分段函数的含义62

通关二、分段函数求值与不等式62

结论一、分段函数求值62

结论二、分段函数求根63

结论三、解分段函数不等式63

结论四、分段函数的单调性63

结论五、分段函数的奇偶性64

第13讲复合函数65

通关一、复合函数定义65

·3·

通关二、复合函数的单调性(同增异减)65

结论一、复合函数的求值与求参65

结论二、与指数函数有关的复合函数的单调性65

结论三、与对数函数有关的复合函数的单调性66

结论四、复合函数的奇偶性(内偶则偶，内奇同外)66

结论五、复合函数的零点66

第14讲抽象函数68

通关一、抽象函数模型68

通关二、抽象函数的单调性68

通关三、抽象函数的奇偶性68

通关四、抽象函数的注意事项68

结论一、f(x+y)=f(x)+f(y)型68

结论二、f(xy)=f(x)+f(y)型69

结论三、f(x+y)=f(x)⋅f(y)型69

结论四、f(xy)=f(x)⋅f(y)型69

第15讲导数的定义和运算70

通关一、导数的概念70

通关二、基本初等函数的导数70

通关三、和、差、积、商的导数71

通关四、复合函数的导数71

结论一、平均变化率和瞬时变化率72

结论二、导数的定义72

结论三、复合函数求导72

结论四、导数的运算73

结论五、fa实际是一个数73

结论六、多用乘法求导运算73

结论七、特殊函数的导函数74

第16讲导数的几何意义75

通关一、导数的几何意义75

通关二、曲线在点P处的切线75

通关三、曲线经过点P处的切线75

结论一、求曲线y=f(x)在x=x0处切线的步骤76

结论二、求曲线f(x)经过点P(x0，y0)切线方程的步骤76

第17讲导数的应用77

通关一、导数的符号与丞数的单调性77

通关二、函数的极值77

通关三函数的最值78

结论一、求函数单调区间的一般步骤和方法78

结论二、求函数极值的一般步骤和方法79

结论三、求函数在[a，b]上最值的一般步骤和方法79

第18讲角的定义与分类81

通关一、象限角与轴线角的表示81

通关二、弧度制81

·4·

通关三、三角函数线82

结论一、求角所在象限82

结论二、终边相同的角82

结论三、扇形的弧长与面积83

第19讲同角三角函数关系85

通关一、三角函数定义85

通关二、三角函数在各象限的符号85

通关三、特殊角的三角函数值86

结论一、任意角的三角函数86

结论二、三角函数值在各象限的符号86

结论三、已知一个三角函数值,求其余两个三角函数值87

结论四、同角三角函数的基本关系87

结论五、已知tanα值的求值问题(齐次式)87

结论六、三角函数“三剑客”88

第20讲诱导公式89

通关一、各角与角α终边的关系89

通关二、诱导公式(k∈Z)89

通关三、诱导公式化简原则90

通关四、常见角度关系转化90

结论一、诱导公式一90

结论二、诱导公式二90

结论三、诱导公式三91

结论四、诱导公式四91

结论五、诱导公式五91

结论六、诱导公式六91

结论七、常见的一些关于参数k的结论92

第21讲两角和与差公式93

通关一、两角和与差的余弦公式93

通关二、两角和与差的正弦公式94

通关三、两角和与差的正切公式94

结论一、两角和与差的余弦94

结论二、两角和与差的正弦95

结论三、两角和与差的正切95

结论四、正切定值95

结论五、给值求角问题96

结论六、常见角的变换96

第22讲倍角与半角公式97

通关一、二倍角公式97

通关二、半角公式97

通关三、三倍角公式97

通关四、三角函数化简的“三看”原则97

结论一、二倍角正弦98

结论二、二倍角余弦98

·5·

结论三、二倍角正切99

结论四、万能公式99

结论五、半角公式99

结论六、辅助角公式100

第23讲三角函数性质100

通关一、y=sinx，y=cosx，y=tanx的图像与性质100

通关二、y=Asin(ωx+φ)与y=Acosωx+φ(A>0,ω>0)的图像与性质101

结论一、求三角函数解析式102

结论二、三角函数单调性103

结论三、三角函数奇偶性的结论104

结论四、三角函数对称性结论104

结论五、三角函数周期性结论105

第24讲三角函数图像变换及最值106

通关一、三角函数图像变换106

通关二、三角函数最值题型归类106

结论一、五点法作y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像107

结论二、y=asin2x+bsinx+c型函数的最值107

结论三、y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型函数的最值107

结论四、y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c型函数的最值108

asinx+b

结论五、y=型函数的最值108

ccosx+d

第25讲解三角形109

通关一、正弦定理109

通关二、正弦定理的推广及其变形109

通关三、余弦定理109

通关四、余弦定理的推广及其变形109

通关五、三角形面积110

结论一、三角形内角和110

结论二、射影定理111

结论三、正弦定理的应用111

结论四、余弦定理的应用111

结论五、边角不等关系等价条件112

结论六、三角形形状判定112

结论七、三角形面积112

第26讲向量的概念和性质114

通关一、向量的线性运算114

通关二、几种特殊向量114

结论一、三角形法则与平行四边形法则115

结论二、单位向量116

结论三、共线向量(平行向量)116

结论四、共线求参117

结论五、平面向量基本定理117

结论六、中线定理118

结论七、向量共线模型118

·6·

第27讲向量的数量积运算120

通关一、平面向量数量积的定义120

通关二、数量积的性质和运算律120

结论一、数量积公式121

结论二、数量积几何意义121

结论三、向量垂直121

结论四、向量求模运算121

结论五、向量的夹角122

结论六、向量夹角的判定122

结论七、a+b与a-b的几何意义122

第28讲向量的坐标运算124

通关一、向量坐标化124

通关二、向量的坐标运算124

通关三、向量位置关系的判定124

结论一、向量坐标的加减法运算124

结论二、向量平行的判定及应用125

结论三、向量垂直的判定及应用125

结论四、向量求模125

结论五、两向量夹角125

结论六、常见的可建系图形126

第29讲三角形四心与向量127

通关一、四心的概念127

通关二、三角形四“心”向量形式127

通关三、重心性质127

结论一、重心127

结论二、垂心128

结论三、内心129

结论四、外心129

结论五、重心与面积130

第30讲数列的概念和性质131

通关一、数列的概念131

通关二、数列的分类131

通关三、数列的通项公式132

通关四、数列an的前n项和132

结论一、数列通项公式132

结论二、数列的周期性133

结论三、已知Sn求an的一般步骤133

结论四、an与Sn混合在一起的处理方法134

结论五、数列单调性的判断方法134

第31讲等差数列通项公式及性质136

通关一、等差数列的定义136

通关二、等差中项136

通关三、等差数列的通项公式136

·7·

通关四、等差数列中的函数关系137

结论一、通项公式理解138

结论二、通项公式变形138

结论三、公差的几何意义138

结论四、下标和相等,项之和相等139

结论五、等差数列线性组合仍为等差数列139

结论六、下标成等差,项也成等差139

结论七、对称项设法139

结论八、等差数列的判定与证明140

第32讲等差数列的前n项和141

通关一、等差数列的前n项和公式141

通关二、前n项和与函数关系141

通关三、Sn=na中(n为奇数)141

结论一、等差数列前n项和公式及其变形142

结论二、前n项和构造等差数列142

结论三、相同项数的和构造等差数列142

结论四、等差数列前n项和与通项关系143

结论五、前n项和比值与通项比值关系143

结论六、等差数列奇数项与偶数项的性质143

结论七、等差数列前n项和最大、最小值问题144

结论八、数列{|an|}的前n项和的求解144

第33讲等比数列通项公式及性质146

通关一、等比数列的定义146

通关二、等比中项146

通关三、等比数列的通项公式146

通关四、等比数列中的函数关系147

结论一、通项公式及其变形148

结论二、公比q的表示148

结论三、下标和相等，项之积相等148

结论四、等差数列与等比数列相互转化148

结论五、等比数列的构造149

结论六、对称项设法149

结论七、等比数列的单调性149

结论八、等比数列的判定与证明方法150

第34讲等比数列的前n项和151

结论一、等比数列前n项和(当q≠1时)变形公式151

结论二、项数相同的和构造等比数列152

结论三、等比数列前n项和关系特征152

第35讲数列通项公式题型全归纳154

通关一、“叠加法”求通项154

通关二、“叠乘法”求通项154

通关三、“倒数法”求通项154

通关四、“待定系数法”求通项155

·8·

结论一、an+1=an+f(n)155

结论二、an+1=f(n)an155

结论三、an+1=pan+q(其中p,q均为常数，pq(p-1)≠0)156

n

结论四、an+1=pan+q(其中p,q均为常数，pq(p-1)≠0)156

结论五、an+1=pan+an+b(p≠1,p≠0,a≠0)156

r

结论六、an+1=pan(p>0,an>0)156

pan

结论七、an+1=(p,q,r≠0且an≠0,qan+r≠0)157

qan+r

结论八、an+1+an=f(n)157

结论九、an+1∙an=f(n)157

第36讲数列求和158

知识通关158

结论一、公式法158

结论二、分组求和159

结论三、倒序相加159

结论四、裂项求和160

结论五、错位相减160

结论六、数列最值161

结论七、数列缩放161

第37讲不等式的性质与解法163

通关一、文字语言与数学符号之间的转换163

通关二、不等式的基本性质163

结论一、不等式的性质163

结论二、比较大小164

结论三、一元二次不等式165

结论四、分式不等式165

结论五、绝对值不等式166

第38讲含参不等式解法167

结论一、利用二次函数的性质167

结论二、分离变量168

结论三、变换主元168

结论五、能成立问题168

结论六、恰成立问题169

结论七、“任意=存在”型169

结论八、“存在=存在”型169

第39讲基本不等式170

通关一、均值不等式的使用条件170

22a+ba+b22

通关二、已知a,b∈R,则a+b≥≥≥ab≥170

+2

221+1

ab

结论一、常见基本不等式170

结论二、和定积最大，积定和最小171

DE

结论三、已知Ax+By=1,求+的范围(A,B,D,E>0)171

xy

·9·

DE

结论四、己知+=1,求Ax+By的范图(A,B,D,E>0)172

xy

结论五、柯西不等式172

结论六、权方和不等式172

第40讲表面积与体积173

通关一、多面体的表面积和体积公式173

通关二、旋转体的表面积和体积公式173

结论一、公式法173

结论二、等体积法(颠倒法)174

结论三、割补法175

结论四、正方体与球的组合176

结论五、正四面体与球的组合176

结论六、表面积和体积最值问题177

第41讲共线、共面与截面179

通关一、公理1179

通关二、公理2179

通关三、公理3180

结论一、共点、共线问题180

结论二、共面问题181

结论三、截面问题182

第42讲空间平行关系184

通关一、直线与平面平行的判定定理184

通关三、平面与平面平行的判定定理185

通关四、平面与平面平行的性质定理185

通关四、平面与平面垂直的性质定理186

结论一、线线平行186

结论二、线面平行187

结论三、面面平行188

第43讲空间垂直关系190

通关一、直线与平面垂直的判定定理190

通关二、直线与平面垂直的性质定理190

通关三、平面与平面垂直的判定定理191

通关四、平面与平面垂直的性质定理191

结论一、线线垂直192

结论二、线面垂直193

第44讲空间角度关系196

通关一、异面直线所成的角θ∈(0°,90°]196

通关二、直线与平面成的角θ∈[0°，90°]196

通关三、二面角196

结论一、线线角196

结论二、线面角197

结论三、二面角198

第45讲空间向量与立体几何199

·10·

通关一、空间坐标系199

通关二、平面法向量的求法199

通关三、用向量法求空间角199

结论一、空间向量的基本定理200

结论二、空间向量的坐标运算200

结论三、平行的判定和性质201

结论四、垂直的判定和性质202

结论五、点到面的距离203

结论六、线线角203

结论七、线面角204

第46讲直线的方程207

通关一、直线的倾斜角207

通关二、求斜率的常用方法207

通关三、直线方程的几种形式207

结论一、直线的倾斜角与斜率208

结论二、三点共线208

结论三、直线过定点模型209

第47讲直线的位置关系210

通关一、两条直线的位置关系210

通关二、两条直线的交点210

通关三、点线对称问题210

结论一、直线的平行211

结论二、直线的垂直211

结论三、直线系方程211

结论四、两点间的距离公式212

结论五、点到直线的距离公式212

结论六、两平行直线间的距离公式213

结论七、中心对称213

结论八、轴对称213

第48讲圆的方程214

通关一、圆的标准方程与一般方程214

通关二、几种特殊圆的标准方程(r>0)214

结论一、圆的一般方程214

结论二、求圆的方程的两种方法215

结论三、点与圆的位置关系215

结论四、与圆有半的对称问题216

结论五、确定圆心位置的方法216

结论六、圆的参数方程217

第49讲直线与圆的位置关系218

通关一、直线与圆的位置关系的判定218

通关二、圆与圆的位置关系218

通关三、圆的方程218

结论一、直线与圆的位置关系判定步骤219

·11·

结论二、切线方程的求解219

结论三、圆的弦长问题处理方法220

结论四、切线长问题220

结论五、圆与圆的位置关系判定步骤220

结论六、相交圆公共弦所在直线的方程221

结论七、与圆的几何性质有关的最值221

结论八、与圆的代数结构有关的最值221

第50讲椭圆的定义和性质223

通关一、椭圆的标准方程223

通关二、椭圆的标准方程a,b,c的几何意义223

通关三、椭圆的几何性质223

通关四、求椭圆的方程有两种方法224

结论一，椭圆定义的理解224

结论二、椭圆上点的性质225

结论三、焦点三角形的周长225

结论四、焦点三角形周长拓展226

结论五、椭圆的标准方程226

结论六、椭圆的标准方程的求法227

结论七、椭圆的通径227

结论八、椭圆的焦半径228

结论九、焦半径最值228

结论十、椭圆中的线段和差最值229

结论十一、焦点三角形面积229

结论十二、焦点三角形内切圆230

结论十三、与焦点有关的三角形面积230

结论十四、椭圆焦点弦弦长231

结论十五、椭圆离心率的几何意义231

结论十六、黄金椭圆231

结论十七、离心率的定义表示232

结论十八、离心率的正弦表示232

结论十九、离心率范围与焦点三角形顶角关系233

结论二十、离心率的焦半径比值表示233

结论二十一、椭圆焦半径比例模型233

结论二十二、椭圆焦半径乘积范围234

结论二十三、斜率乘积定值模型(一)234

结论二十四、斜率乘积定值模型(二)235

第51讲双曲线的定义和性质236

通关一、双曲线的标准方程236

通关二、双曲线的几何性质236

通关三、求双曲线的方程的两种方法237

结论一、双曲线定义的理解238

结论二、双曲线上点的性质238

结论三、焦点三角形周长拓展239

·12·

结论四、双曲线的标准方程239

结论五、求双曲线的渐近线240

结论六、双曲线方程的设法240

结论七、点到线距离定值241

结论八、比值为定值241

结论九、等轴双曲线241

结论十、离心率与渐近线斜率关系242

结论十一、过定点直线与双曲线相交问题242

结论十二、双曲线的通径243

结论十三、焦点三角形的面积243

结论十四、焦半径最值244

结论十五、双曲线中的线段和差最值244

结论十六、黄金双曲线244

结论十七、双曲线焦点弦弦长245

结论十八、离心率的定义表示245

结论十九、离心率求值的正弦表示245

结论二十、离心率的焦半径比值表示246

结论二十一、双曲线焦半径比例模型246

结论二十二、斜率乘积定值模型(一)247

结论二十三、斜率乘积定值模型(二)247

第52讲抛物线的定义和性质248

通关一、抛物线性质248

通关二、扡物线焦点弦性质248

结论一、标准方程250

结论二、抛物线焦半径250

结论三、抛物线定义251

结论四、p的几何意义251

结论五、抛物线的通径251

结论六、抛物线最值252

结论七、定点弦横纵坐标乘积为定值252

结论八、焦半径的倾斜角表示253

结论九、抛物线焦半径比例模型253

结论十、焦点弦长的倾斜角表示254

结论十一、焦点三角形面积254

结论十二、焦点弦与准线构造梯形面积254

结论十三、焦半径倒数之和为定值255

结论十四、抛物线的中点弦问题255

结论十五、垂直过定点问题255

第53讲直线与圆锥曲线257

通关一、直线与曲线联立257

通关二、中点问题与点差法258

结论一、直线与椭圆交点问题259

结论二、切线问题259

·13·

结论三、弦长问题260

结论四、中点问题260

结论五、垂直问题260

第54讲排列组合262

通关一、分类与分步计数原理262

通关二、排列与排列数262

通关三、组合与组合数262

结论一、加法与乘法原理263

结论二、排列263

结论三、组合264

结论四、特殊元素、特殊位置优先法265

结论五、直接与间接法265

结论六、捆绑与插空法265

结论七、分组与分配266

第55讲二项式定理267

通关一、二项式(a+b)n(n∈N∗)展开式267

通关二、二项式系数与系数267

结论一、展开式特定项系数267

结论二、二项式系数性质268

结论三、(a+b)n与(a-b)n的联系268

结论四、赋值问题269

第56讲统计270

通过一、抽样方法270

通关二、频率分布直方图与茎叶图270

通关三、独立性检验271

通关四、回归分析272

结论一、抽样方法中的计算问题的求法272

结论二、频率分布直方图的理解273

结论三、茎叶图273

结论四、用样本的数字特征估计总体的数字特征274

结论五、独立性检验275

结论六、回归直线方程276

第57讲事件的概率与概型278

通关一、随机事件及其概率278

通关二、概率的几个基本性质278

结论一、独立事件的概率与性279

结论二、条件概率279

结论三、古典概型280

结论四、几何概型281

结论五、随机模拟281

第58讲随机变量分布列、期望与方差283

通关一、离散型随机变量分布列283

通关二、离散型随机变量的均值与方差283

·14·

通关三、正态分布曲缆及特点284

结论一、求解离散型随机变量X的分布到的步骤285

结论二、期望与方差的一般计算步骤285

结论三、二项分布286

结论四、超几何分布287

结论五、利用期望与方差进行决策287

·15·

第1讲集合结论

结论一、集合的互异性

交集A∩B⊆AA∩B⊆BA∩A=AA∩∅=∅A∩B=B∩A

并集A∪B⊇AA∪B⊇BA∪A=AA∪∅=AA∪B=B∪A

补集CU(CUA)=ACUU=∅CU∅=U(CUA)∩A=∅(CUA)∪A=U

对于一个给定的集合,它的任意两个元素是不能相同的.凡是出现含参数的集合,必须首

先考虑集合的互异性,即集合中元苏不相等,例如集合A=a,b,则有a≠b

1设集合A={1,2,3},B=4,5,M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数

为()

A.3B.4C.5D.6

2

1已知集合M={x(x-a)x-ax+a-1=0各元素之和等于3,则实数a=

()

结论二、集合相等

对于两个集合A与B,如果A⊆B,且B⊆A,那么集合A与B相等,记作A=B.

b

2设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=0,,b,则b-a=()

a

A.1B.-1C.2D.-2

2设a,b∈R,P={1,a},Q={-1,-b},若P=Q,则a+b=()

结论三、集合子集个数

nn

真子集有2-1个,非空真子集有2-2个.

3已知集合B=(x,y)|4x+3y-12<0,x∈N*,y∈N*,则B的子集个数为()

A.3B.4C.7D.8

3设集合A⊆{1,2,3,4∣,若A至少有3个元索,则这样的A一共有()

A.2个B.4个C.5个D.7个

·16·

结论四、子集与交集

若A⊆B,则A∩B=A;若A∩B=A,则A⊆B.

4已知集合A={0,1,2},B={1,m}.若A∩B=B,则实数m的值是()

A.0B.2C.0或2D.0或1或2

4已知集合M={x|3+2x-x2>0},N={x|x>a},若M∩N=M,则实数a的取值

范围是()

A.[3,+∞)B.(3,+∞)C.(-∞,1]D.(-∞,-1)

结论五、子集与并集

若A⊆B,则A∪B=B;若A∪B=B,则A⊆B.

2

5已知集合P=x|x≤1，M=a.若P∪M=P,则a的取值范围是()

A.(-∞,-1]B.[1,+∞)

C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

k1k1

5设全集U=R,若A=xx=+,k∈Z,B=xx=+,k∈Z,则下列正确

3663

的是()

A.CUB⊇CUAB.A∩B=AC.A∪B=AD.CUA⊆B

结论六、子集与空集

题目中若有条件B⊆A,则应分B=∅和B≠∅两种情况进行讨论.

2

6若集合M=x|x+x-6=0,N=x|ax-1=0,且N⊆M,则实数a=。

6已知A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},B⊆A,则m的取值范围是

结论七、交集与空集

由于A∩∅=∅,因此,A∩B=A中的A可以为∅.

7已知集合A=x∣x2-x-12≤0,B={x∣2m-1<x<m+1},且A∩B=B,则

实数m的取值范围为()

A.-1,2B.-1,3C.2,+∞D.-1,+∞

7设A=x|x2-8x+15=0,B={x|ax-1=0,若A∩B=B,实数a组成的集合的

子集有个.

·17·

结论八、并集与空集

由于A∪∅=A,因此,A∪B=B中的A可以为∅.

8已知集合A=|x|x2-2x-3=0,B={x∣mx+1=0},A∪B=A,则m的取值是

()

1111

A.1,-B.0,-1,C.-1,D.0,1,-

3333

2

8已知集合P=x|a+1≤x≤2a+1,Q=x|x-3x≤10,若P∪Q=Q,实数a的

取值范围为

结论九、反演律(德摩根定律)

CI(A∩B)=(CIA)∪(CIB)(交的补等于补的并)

CI(A∪B)=(CIA)∩(CIB)(并的补等于补的交)

9若U为全集,下面三个命题中是真命题的有()

(1)若A∩B=∅,则CUA∪CUB=U.

(2)若A∪B=U,则CUA∩CUB=∅.

(3)若A∪B=∅,则A=B=∅.

A.0个B.1个C.2个D.3个

9若全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于()

A.M∪NB.M∩N

C.(CUM)∪(CUN)D.(CUM)∩(CUN)

结论十、容斥原理

用card(A)表示集合A中的元素个数(有资料中用A或其他符号)，则通过维恩图可理

解其具备的二维运算性质card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).

10高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下:参加风情秀的人数占该班

全体人数的八分之三;参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人;两个节目都参加

的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人.则此班的人数为

10设A，B是有限集,定义d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),

其中card(A)表示有限集A中的元素个数,

命题(1):对任意有限集A,B,"A≠B"是“d(A,B)>0"的充分必要条件;

命题(2):对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).下列判断正确的是()

A.命题(1)和命题(2)都成立B.命题(1)和命题(2)都不成立

C.命题(1)成立,命题(2)不成立D.命题(1)不成立,命题(2)成立

·18·

第2讲复数的概念和性质

通关一、复数的定义

形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部，i为虚数

单位且规定i2=-1.

要点诠释：(1)因为实数a可写成a+0×i，所以实数一定是复数；

(2)复数构成的集合叫复数集，记为C

通关二、虚数单位i的周期性

计算得i0=1,i1=i,i2=-1,i3=-i,继续计算可知i具有周期性,且最小正周期为4,故有

如下性质：

4n4n+14n+24n+3*

(1)i=1,i=i,i=-1,i=-in∈N;

4n4n+14n+24n+3*

(2)i+i+i+i=0n∈ℕ.

通关三、复数核心运算

mnm+nmnmnmmm

1.运算律：(1)z⋅z=z;(2)(z)=z;(3)(z1⋅z2)=z1⋅z2(m,n∈N).

z1z1nn2

2.模的性质:(1)z1z2=z1z2;(2)=;(3)z=|z|;(4)z⋅z=|z|.

z2z2

3.重要结论：

222222

(1)z1-z2+z1+z1=2z1+z2;z⋅z=|z|=|z|

21-i1+i

(2)(1±i)=±2i;=-i;=i;

1+i1-i

3213

(3)ω=1⇔(ω-1)ω+ω+1=0⇔ω=1或ω=-±i.

22

结论一、复数的分类

实数(b=0)

z=a+bi纯虚数(a=0)

虚数(b≠0)

非纯虚数(a≠0)

11已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()

A.1B.-1C.2D.-2

·19·

b

11设a,b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的()

i

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

结论二、复数相等

a+bi=c+di,则a=c且b=d(a,b,c,d∈R).

12若复数(2x-1)+i=y+(y-2)i(x,y∈R),则x+y=()

12已知i是虚数单位,若(m+i)2=3-4i,则实数m的值为()

A.-2B.±2C.±2D.2

结论三、共轭复数

a+bi与c+di共轭，则a=c,b=-d(a,b,b,d∈R)

13若z(1+i)=1-i,则z=()

A.1-iB.1+iC.-iD.i

2

13若复数z=,其中i为虚数单位,则共若复数z=()

1-i

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

答案B

结论四、复数的加法与减法及意义

1.运算法则：

设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么

(1)z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(2)z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

2.几何意义:

(1)复数z1+z2是以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数;

(2)复数z1-z2是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终点的向量Z2