2026高中数学10大导数：专题10 含参函数的极值、最值讨论(学生版)

专题10含参函数的极值、最值讨论

考点一含参函数的极值

【例题选讲】

1

[例1]设a＞0，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．

2

(1)若曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线与直线y＝－x＋1垂直，求切线方程．

(2)求函数f(x)的极值．

[例2]已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．

1

(1)当a＝时，求f(x)的极值；

2

(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．

3

[例3]设f(x)＝xlnx－ax2＋(3a－1)x．

2

(1)若g(x)＝f′(x)在[1，2]上单调，求a的取值范围；

(2)已知f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．

[例4](2016·山东)设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R．

(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；

(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．

a

x－1－

[例5]已知函数f(x)＝6ex＋1，其中e＝2.718…为自然对数的底数，常数a>0．

(1)求函数f(x)在区间(0，＋∞)上的零点个数；

(2)函数F(x)的导数F′(x)＝(ex－a)f(x)，是否存在无数个a∈(1，4)，使得lna为函数F(x)的极大值点？

请说明理由．

【对点训练】

1

1．已知函数f(x)＝lnx－ax2＋x，a∈R.

2

(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；

(2)令g(x)＝f(x)－(ax－1)，求函数g(x)的极值．

2．设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex．

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；

(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．

a

3．已知函数f(x)＝x2－3x＋．

x

(1)若a＝4，讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有3个极值点，求实数a的取值范围．

4．已知函数f(x)＝ax－x2－lnx(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)存在极值，且这些极值的和大于5＋ln2，求实数a的取值范围．

5．(2018·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝(2＋x＋ax2)·ln(1＋x)－2x．

(1)若a＝0，证明：当－1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0．

(2)若x＝0是f(x)的极大值点，求a．

考点二含参函数的最值

【例题选讲】

[例1]已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a＞0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．

[例2]已知函数f(x)＝ax2＋(1－2a)x－lnx.

(1)当a>0时，求函数f(x)的单调递增区间；

1

，1

(2)当a<0时，求函数f(x)在2上的最小值．

lnx

[例3]已知函数f(x)＝－1．

x

(1)求函数f(x)的单调区间及极值；

(2)设m>0，求函数f(x)在区间[m，2m]上的最大值．

1a

mlnxf(x)－－

[例4]已知函数f(x)＝＋n，g(x)＝x2x2(m，n，a∈R)，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的

x

切线方程为y＝x－1.

(1)求实数m，n的值及函数f(x)的最大值；

1

－e，

(2)当a∈e时，记函数g(x)的最小值为b，求b的取值范围．

[例5](2019·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；

若不存在，说明理由．

【对点训练】

1．已知函数g(x)＝alnx＋x2－(a＋2)x(a∈R)．

(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；

(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．

2．已知函数f(x)＝(x－a)ex(a∈R)．

(1)当a＝2时，求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；

(2)求函数f(x)在区间[1，2]上的最小值．

3．已知函数f(x)＝ax－lnx，F(x)＝ex＋ax，其中x>0，a<0．

(1)若f(x)和F(x)在区间(0，ln3)上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；

1

－∞，－－

(2)若a∈e2，且函数g(x)＝xeax1－2ax＋f(x)的最小值为M，求M的最小值．

4．已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．

(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；

(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．

5．已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx，其中a∈R．

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围．

考点三含参函数的极值与最值的综合问题

【例题选讲】

ex1

[例1]已知函数f(x)＝，其中a为正实数，x＝是f(x)的一个极值点．

1＋ax22

(1)求a的值；

1

(2)当b>时，求函数f(x)在[b，＋∞)上的最小值．

2

[例2]已知函数f(x)＝aln(x＋b)－x．

(1)若a＝1，b＝0，求f(x)的最大值；

(2)当b>0时，讨论f(x)极值点的个数．

－

[例3]设函数f(x)＝ax＋ex(a＞1)．

(1)求证：f(x)有极值；

(2)若x＝x0时f(x)取得极值，且对任意正整数a都有x0∈(m，n)，其中m，n∈Z，求n－m的最小值．

1

[例4]已知函数f(x)＝alnx＋(a＞0)．

x

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明

理由．

x2

[例5]已知函数f(x)＝(ax－1)lnx＋．

2

(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l的方程；

(2)设函数g(x)＝f′(x)有两个极值点x1，x2，其中x1∈(0，e]，求g(x1)－g(x2)的最小值．

x2

[例6]已知函数g(x)＝＋x＋lnx．

2

(1)若函数g′(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；

(2)函数f(x)＝g(x)－mx，若f(x)存在单调递减区间，求实数m的取值范围；

7

(3)设x1，x2(x1＜x2)是函数f(x)的两个极值点，若m≥，求f(x1)－f(x2)的最小值．

2

【对点训练】

1．已知函数f(x)＝xlnx．

(1)求函数f(x)的极值点；

(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间(0，e]上的最小值(其中e为自然对数的底

数)．

－x3＋x2，x<1，

2．已知函数f(x)＝

alnx，x≥1.

(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值；

(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．

3．已知函数f(x)＝alnx＋x2－ax(a∈R)．

(1)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；

(2)求g(x)＝f(x)－2x在区间[1，e]上的最小值h(a)．

4．已知常数a≠0，f(x)＝alnx＋2x．

(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；

(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．

5．已知函数f(x)＝asinx＋sin2x，a∈R．

π

0，

(1)若f(x)在2上有极值点，求a的取值范围；

2π