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文档简介

专题25极值点偏移之积(x1x2)型不等式的证明

【例题选讲】

1

[例1]已知f(x)＝xlnx－mx2－x，x∈R．

2

(1)当m＝－2时，求函数f(x)的所有零点；

2

(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞e(e为自然对数的底数)．

[例2]已知函数g(x)lnxbx．

函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；

(1)g(x)x1,x2b

在的条件下，求证：2．

(2)(1)x1x2e

[例3]已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

2

(2)当a＝1时，方程f(x)＝m(m＜－2)有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，求证：x1·x2＜2．

已知函数，有两个不同的零点，．

[例4]f(x)lnxaxb(abR)x1x2

(1)求f(x)的最值；

1

(2)证明：xx．

12a2

【对点训练】

1

1．已知函数f(x)＝xlnx的图象与直线y＝m交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证：x1x2<．

e2

2．已知函数f(x)lnxax．

(1)讨论f(x)的单调性；

若函数有两个零点，．

(2)f(x)x1x2(x1x2)

①求的取值范围；②证明：2．

ax1x2e

3．已知函数f(x)xlnxax2xa(aR)在其定义域内有两个不同的极值点．

(1)求a的取值范围．

设的两个极值点为，，证明2．

(2)f(x)x1x2x1x2e

lnx

4．已知函数f(x)＝(a∈R)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直．

x＋a

(1)试比较20182019与20192018的大小，并说明理由；

2

(2)若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点x1，x2，证明：x1x2＞e．

b

5．已知函数f(x)＝lnx＋－a(a∈R，b∈R)有最小值M，且M≥0．

x

(1)求ea－1－b＋1的最大值；

a－1a－1

(2)当e－b＋1取得最大值时，设F(b)＝－m(m∈R)，F(x)有两个零点为x1，x2(x1＜x2)，证明：

b

23．

x1x2e

6．已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)．

(1)当x>1时，求f(x)的单调区间和极值；

(2)若对任意x∈[e，e2]，

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