应用型本科大学物理　下册 课件 第11章简谐振动和简谐波

第11章简谐振动和简谐波11.1简谐振动1.弹簧振子1）特点：（1）弹簧质量不计。（2）所有弹力都集中在弹簧上。（3）质量集中于物体上。（4）不计摩擦。公式：

是相对于平衡位置的位移。3)线性回复力:作用于质点的力与质点相对平衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置。2)平衡位置:质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，该位置即为平衡位置。4)简谐振动:质点在线性回复力作用下围绕平衡位置运动。11.1.1中学物理知识回顾2.简谐振动的特征量1）

振幅A2）

周期T,频率v和角频率

周期:完成一次全振动所用的时间：

频率:单位时间内完成的全振动的次数：单位：Hz=s-1角频率：秒完成的全振动的次数，单位：rad.s-15)运动学方程3）

相位(1)(

t+

)称为t时刻的相位(2)

是t=0时刻的相位——初相mxO(3)相位的意义:

相位确定了振动的状态.初相确定了初始振动状态.

相位每改变2

振动重复一次,相位2

范围内变化,状态不重复.

txOA-A

=2

1.弹簧振子系统令有简谐振动微分方程解微分方程圆频率单位：rad/s11.1.2简谐振动分析动力学特征运动学特征运动方程它们的相位依次超前π/2。

说明，简谐振动的加速度和位移的大小成正比而方向相反。txtvta2.简谐振动的速度、加速度3.振幅和初相位的确定注意:如何确定最后的

.例：简谐交流电中的电压、电流和电动势：

例11.1将一劲度系数为k的轻质弹簧上端固定悬挂起来，下端挂一质量为m=1.0kg的解:(1)平衡时,合力为零.物体在x处受力:

小球，平衡时弹簧伸长为l=9.8cm,今使物体在平衡位置获得v0=1m/s方向向下的初速度。证明小球将作简谐运动并写出以此平衡位置为原点的小球的动力学方程，求物体速度和加速度极其最大值，求最大恢复力。

(2)物体的速度和加速度速度加速度最大值:(3)最大回复力:运动系统除本身的回复力之外还受恒力作用时,该系统仍作简谐振动.例11.2质点作简谐振动的曲线如图所示，试根据图推出该质点的振动方程式。t/s021x/cm[解]由从图得A

=2,t=0时再由在t=0时，从图判知，v>0，即又据图有于是得质点振动式为11.1.3旋转矢量法将物理模型转变成数学模型。矢量A以角速度

逆时针作匀速圆周运动，端点M在x轴上投影点的运动方程为.为简谐振动的运动方程。M点的运动速度在x轴上投影速度振幅A、初相

M点的加速度在x轴上投影加速度1.旋转矢量法M点运动在x轴投影，为谐振动的运动方程。M点速度在x轴投影，为谐振动的速度。M点加速度在x轴投影，为谐振动的加速度。结论：可见，匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方程。A谐振动旋转矢量

t+

T振幅初相相位圆频率谐振动周期半径初始角坐标角坐标角速度园周运动周期物理模型与数学模型比较相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异。设有两个同频率的谐振动，表达式分别为：二者的相位差为：2.相位差xm1xOm2(1)当(2)当toA1

A2

-A2

x1

x2

T同相-A1

x2

TxoA1

-A1

A2

-A2

x1

t反相两振动步调相同,称同相。两振动步调相反,称反相。(4)当时,称第二个振动落后第一个振动。(3)当时,称第二个振动超前第一个；物理知识的理解相位差例11.3

一质点沿Ox轴作简谐运动,振幅A=0.06m,周期T=2s,初始时质点位于x0=0.03m处且向Ox轴正向运动.试求:(1)初相位;(2)在x1=-0.03m处,且向Ox轴负方向运动时物体的速度和加速度,以及从这一位置回到平衡位置所需的最短时间.解:(1)取平衡位置为坐标原点,运动方程为:(2)t=t1时,x1=-0.03m,v1<0.旋转矢量A在M1处.从M1旋转至M2,A转过的最小角度为所需的最短时间为11.2简谐运动的能量简谐振动过程，动能Ek与势能Ep交替变化.

动能:势能:总机械能机械能守恒由公式得此式表明，在平衡位置处，x=0,速度为最大；在最大位移处，x=

A,速度为零。

能量法简谐运动系统的动能和势能在一个周期内的平均值相等,它们都等于总能量的一半.11.2.2能量平均值一个随时间变化的物理量f(t)在一个周期T内的平均值定义为:简谐运动在一个周期内动能和势能的平均值为:11.3同方向同频率谐振动的合成分振动:

合振动:

合振动仍是简谐振动1.解析法:

２.旋转矢量法处理谐振动的合成(1)若两分振动同相,即

2

1=

2k

(k=0,1,2,…)(2)若两分振动反相,即

2

1=

(2k+1)

(k=0,1,2,…)当A1=A2时,A=0则A=A1+A2

,两分振动相互加强，则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱，当A1=A2时,A=2A1讨论

当x3振动与x1振动同相，即时，合振幅最大 当x3振动与x2振动反相，即时，合振幅最小 例11-5质点同时参与两个简谐运动,它们的运动方程为:求:(1)合振动的振幅和初相;(2)另有一同方向简谐运动问

3为何值时,x1+x2的振幅最大?

3为何值时,x2+x3的振幅最小?幅值各为多少?【解】11.4简谐波的描述····t=T/4··························t=T····················t=00481620············12········

···24··t=T/2·······

··························t=3T/4·················11.4.1中学物理知识回顾1.机械波的产生

弹性介质的质元受外界扰动而发生振动时，因质元之间的弹性联系，会使振动传播开去，这就形成了波动—机械波（mechanicalwave）

“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻于“下游”某处出现。物理知识的理解波动是振动状态的传播，不是介质的传播。条件波源：作机械振动的物体｛弹性介质：承担传播振动的物质2.波的分类介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；如柔绳上传播的波。

介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波；如空气中传播的声波。横波：纵波：按波线与振动方向关系由波面的形状分类：波可分为平面波、球面波、柱面波气体和液体中的声波是纵波，而固体中的声波既可以是纵波，也可以是横波。行波（travellingwave）连续波（continuedwave）简谐波（simpleharmonicwave）按复杂程度复波（compoundwave）按波的性质机械波（mechanicalwave）电磁波（electromagneticwave）

按持续时间脉冲波（pulsatingwave）按是否传播驻波（standingwave）

3.波面和波线在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。

球面波柱面波波面波线波面波线波面xyz沿波的传播方向作的有方向的线。波线波前在某一时刻，波传播到的最前面的波面。在各向同性均匀媒质中，波线⊥波面。振动是描写一个质点振动。传播方向t后的波形图6）判断质点振动方向波动是描写一系列质点在作振动。5）振动与波动的区别4）同相位点----质元的振动状态相同。3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现---波是振动状态的传播。2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。1)波的传播不是介质质元的传播。在同一波线上两相邻的、相位差为2π的振动质点之间的距离。4.描述波动的特征量1）波长

波长反映了波的空间周期性。是单位时间内一定的振动状态所传播的距离.3）波速u频率

：波动在单位时间内传播的完整波的数目.周期T：波传播一个波长的距离所经历的时间.2）波的周期T、频率

周期表征了波的时间周期性。不是质元的振动速度！3）

T、

、

、

u的关系物理知识的理解1）

波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同

。2）

波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；其大小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。1）

拉紧的绳子或弦线中横波的波速为：

2）

均匀细棒中，纵波的波速为：—

张力—

线密度—

固体棒的杨氏模量—

固体棒的密度物理知识拓展3）

液体和气体只能传播纵波—

流体的容变弹性模量—

流体的密度体变ppppV+

V波速4）固体中（切变模量）（杨氏模量）横波F切变

FSl

l

FF线变纵波切应力切应变应力线应变11.4.2平面简谐波平面简谐波：波面为平面的简谐波平面简谐波简谐波：介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各质点作同频率的谐振动。简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础。本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、各向同性、均匀无限大媒质中传播的平面简谐波。平面简谐波的波函数1.平面简谐波的波函数yxPO任务：简谐振动从时间看,P点t时刻的位移是O点时刻的位移;从相位看，P处质点振动相位较O处质点相位落后

若xP为任意点(波函数)波函数的其它形式由波函数可知波的传播过程中任意两质点x1和

x2振动的相位差为x2>x1,Δ<0，说明x2处质点振动的相位总落后于x1处质点的振动；

(1)

u

实际上是振动相位的传播速度。(2)t1时刻x1处的振动状态经Δt时间传播到x1+Δx处，则可得到(3)

若波沿轴负向传播时，同样可得到波函数:其它形式2.波函数的物理意义t=t0，y

x给出t时刻空间各点位移分布。

xy0波动曲线

t

=t0(1)振动状态的空间周期性

说明波线上振动状态的空间周期性(2)波形传播的时间周期性说明波形传播的时间周期性Tyt0振动曲线

x=x0x=x0，y

t给出x点的振动函数。(3)x给定，y=y(t)是x处振动方程(4)t给定，y=y(x)表示t

时刻的波形图(5)y给定,x和t

都在变化，表明波形传播和分布的时空周期性。t1时刻的波形Oyxt1+Δt时刻的波形x13.波动中质点振动的速度和加速度4.平面波的波动微分方程由知(2)不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程；

(1)上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；(3)

若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程为物理知识的理解例11-6：已知波函数求：[1]A、T、

、u。解：[1]由标准方程[2]x=10m处质点振动方程及该质点在t=2s时的振动速度。

[3]x=20m,60m两处质点的相位差。对比得A=0.01

m,u=100

m/s,T=2/10=0.2

s,=uT=20

mt=2s,v=0令x1=20m,x2=60m[2]x=10m处：例11-7如图,是一平面简谐波在t=0,t=1秒时的波形图，由图中所给的数据求：（1）该波的角频率和波速；（2）该波的波动方程；（3）以P为坐标原点写出波动方程。2.0x/mt=0t=1s解（１）由图可见，A=0.1m,=2.0m在0—1s时间内波行进了／４，波速

u=0.5m/sT=/u=4

s,由图可见：所以（３）PO=/2,P点相位比O点落后P点振动方程波动方程（２）设坐标原点处质点的振动方程2.0x/mt=0t=1s例11-8一平面波在介质中以速度沿直线传播，已知在传播路径上某点A振动方程为(1)若以A点为坐标原点，写出波函数，并求出C、D两点的振动方程；(2)若以B点为坐标原点，写出波函数，并求出两C、D点的振动方程。【解】已知以A为坐标原点，则原点振动方程为若以B点为坐标原点，则原点的振动方程为 例2：如图所示，平面简谐波向右移动速度u=0.08m/s，求：①.原点处的振动方程；②.波函数；③.P点的振动方程；④.a、b两点振动方向。解：①.原点t=0时，o点处的质点向y轴负向运动原点的振动方程为：③.P点的振动方程④.a、b振动方向，作出

t后的波形图。②.波函数1）利用旋转矢量法求出O点的初位相为：例3：如图是一平面简谐波在t=0秒时的波形图，由图中的数据求：（1）该波的周期；（2）传播介质O点处的振动方程；（3）该波的波动方程。解：其振动方程为：波动方程：x=5(m)处，由旋转矢量法可知，即：（2）O点的振动方程为：（3）波动方程：例4：在x=